Фазовый объём. Теорема Лиувилля
Определения
Определение 1.
Пусть рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений:
\begin{gather*}
\frac{dx_i}{dt}=f_i(\vec{x}),\quad \text{где}\quad \vec{x}\in \mathbb{R}^n\quad \text{и}\quad \vec{f}\in \mathbb{R}^n;\\
\vec{x}(0)=\vec{x}_0\in D_0.
\end{gather*}
Введём обозначение для множества решений системы в фиксированный момент времени:
\begin{gather*}
D_t=\left\{\,\vec{x}(\,t\, ;\,\vec{x}_0),\quad \vec{x}_0\in D_0\right\}.
\end{gather*}
Подсчитаем объём множества $$D_t,$$ воспользовавшись определением кратного интеграла.
\begin{gather*}
%V_t=\underbrace{\int...\int}_{D_t} dx_1\,dx_2...dx_n.
V_t=\int\limits_{D_t} dx_1 dx_2...dx_n.\\
\end{gather*}
Это и есть определение фазового объёма $$D_t.$$
Определение 2.
Величина $$\frac{dv_t}{dt}$$ называется изменением фазового объёма.
Вспомогательные леммы
Лемма 1. (Уравнение в вариациях)
\begin{equation} \label{1} \frac{d\vec{x}}{dt}=\vec{f}(\vec{x}),\quad \text{где}\quad \vec{x}\in \mathbb{R}^n\quad \text{и}\quad \vec{f}\in \mathbb{R}^n; \end{equation}
\begin{equation} \label{2} \vec{x}(0)=\vec{y}\in D_0. \end{equation}
