Компактность и предкомпактность

Пусть $$(X, \rho)$$ $$-$$ метрическое пространство.

Определения

Множество $$A \subset X$$ называется компактным, если из любой последовательности $$\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}$$ его элементов можно выделить сходящуюся подпоследовательность $$\{x_{n_k}\}_{k = 1}^{\infty}$$ к некоторому элементу $$x^{*} \in A$$.

Множество $$A$$ называется компактным, если из любого покрытия его открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.

Множество $$A$$ называется предкомпактным, если из любой последовательности $$\{x_n\}_{n = 1}^{\infty} \subset A \Rightarrow \exists \{x_{n_k}\}_{k = 1}^{\infty}$$ $$-$$ фундаментальная последовательность.

$$\underline{Замечание.}$$ В литературе иногда вместо термина $$\textit{компактность}$$ можно встретить $$\textit{счетная компактность}$$, $$\textit{бикомпактность}$$, а вместо термина $$\textit{предкомпактность}$$ $$ - $$ $$\textit{счетная предкомпактность}$$, $$\textit{относительная компактность}.$$

Примеры

$$\underline{Пример \; 1.}$$ Пусть $$X = [0, 1].$$ Тогда $$X$$ $$-$$ компакт в силу теоремы Больцано.

$$\underline{Пример \; 2.}$$ Пусть $$X = E_1 - $$ одномерное евклидово пространство(числовая прямая). $$X$$ $$-$$ некомпактно. Действительно, его подмножество $$M = \{1, 2, 3, \ldots, n, \ldots\}$$ не содержит никакой сходящейся последовательности.

Вспомогательные определения и утверждения

Определение. Множество $$A$$ называется вполне ограниченным, если $$\forall \varepsilon > 0 \; \exists$$ конечная $$\boldsymbol{\varepsilon}$$-сеть для $$A:$$ т.е. $$\exists \{x_n\}_{n = 1}^{N}, x_n \in X \text{ и } A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{N}B_{\varepsilon}(x_n)$$.

Утверждение 1. Если $$A$$ $$-$$ компакт, то оно замкнуто и ограничено.

Доказательство.

Пусть произвольная последовательность $$\{x_n\} \in A$$ сходится к $$x_0 \in X$$. Так как множество $$A$$ $$-$$ компакт, то из последовательности $$\{x_n\}$$ можно выделить подпоследовательность $$\{x_{n_k}\} \rightarrow x \in A$$. Но любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к пределу последовательности, то есть $$x = x_0$$. Ограниченность очевидна.$$\blacksquare$$

Утверждение 2. Пусть $$Х$$ $$-$$ конечномерное линейное пространство, а $$А \subset Х$$. Тогда $$А$$ $$-$$ компакт $$\Leftrightarrow$$ $$А$$ ограничено и замкнуто.

Доказательство.

Следует из теоремы Больцано-Вейерштрасса.$$\blacksquare$$

Теорема Хаусдорфа (критерий предкомпактности)

Теорема 1. $$M$$ предкомпактно $$\Leftrightarrow$$ оно вполне ограничено.

Доказательство.

($$\Rightarrow$$) Пусть $$M$$ предкомпактно. Зафиксируем $$\forall \varepsilon > 0$$. Выберем произвольный $$x_1 \in M$$ и рассмотрим шар $$B(x_1, \varepsilon)$$. Если $$M \subset B(x_1, \varepsilon)$$, то все доказано, иначе выберем $$x_2 \in M \setminus B(x_1, \varepsilon)$$. Заметим, что $$d(x_1, x_2) \geqslant \varepsilon$$. Если $$M \subset B(x_1, \varepsilon)\bigcup B(x_2, \varepsilon)$$, то все доказано, иначе выберем $$x_3 \in M \setminus (B(x_1, \varepsilon)\bigcup B(x_2, \varepsilon))$$, и т.д. Если этот процесс не обрывается, то получим последовательность $$\{x_n\}, \; d(x_k, x_n) \geqslant \varepsilon \text{ при } k \neq n$$, из которой невозможно выбрать фундаментальную подпоследовательность.

($$\Leftarrow$$) Пусть $$M$$ вполне ограничено. Выберем произвольную последовательность $$\{x_n\}$$. Положим $$\varepsilon_m = 2^{-m}$$. Некоторый конечный набор шаров радиуса $$\varepsilon_1$$ накрывает $$M$$, поэтому по крайней мере один из них содержит бесконечное число членов $$\{x_n\}$$ (подпоследовательность). Накроем этот шар конечным набором шаров радиуса $$\varepsilon_2$$; один из них опять содержит бесконечное число членов подпоследовательности, и т.д. Выбрав на каждом этапе по элементу, построим подпоследовательность, которая будет фундаментальной. $$\blacksquare$$

Лемма Гейне-Бореля (критерий компактности)

Лемма 1. $$A$$ компактно $$\Leftrightarrow$$ из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Доказательство.

($$\Leftarrow$$) Рассмотрим произвольную последовательность $$\{x_n\}$$. Пусть $$X_n = \{x_n, x_{n + 1}, \ldots\}$$.

1. Покажем, что $$\bigcap_{n = 1}^{\infty}\overline{X_n} \neq \varnothing$$. Действительно, пусть это не так, тогда $$M = M \setminus \bigcap_{n = 1}^{\infty}\overline{X_n} = \bigcup_{n = 1}^{\infty}\overline{X_n}\big{(}M \setminus \overline{X_n}\big{)}$$, т.е. открытые множества $$M \setminus \overline{X_n}$$ образуют покрытие пространства $$M$$. По условию $$\exists N: M = \bigcup_{n = 1}^{N}\big{(}M \setminus \overline{X_n}\big{)}$$, следовательно, $$\bigcap_{n = 1}^{N}\overline{X_n} = \varnothing$$, что противоречит тому, что $$x_N \in \bigcap_{n = 1}^{N}X_n$$.
2. Пусть $$x \in \bigcap_{n = 1}^{\infty}\overline{X_n}$$ (конечно, $$x \in M$$). Возможны следующие случаи:
   1. $$x \in X_{n_1}, X_{n_2}, \ldots$$ (бесконечная последовательность): в качестве фундаментальной можно взять стационарную подпоследовательность $$x, x, \ldots$$;
   2. $$x \in X_{n_1}, X_{n_2}, \ldots, X_{n_m}: x \notin X_{n_m + 1}, X_{n_m + 2}, \ldots:$$ в этом случае $$x$$ $$-$$ предельная точка для всех $$X_n$$, начиная с номера $$n_m + 1$$, а следовательно, в любой окрестности точки $$x$$ найдется точка из $$X_n$$, что и позволяет выбрать $$\{x_n\}$$ сходящуюся подпоследовательность.

($$\Rightarrow$$) От противного. Пусть $$\{G_{\alpha}\} - $$ открытое покрытие $$M$$, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Так как $$M$$ компактно, то по теореме Хаусдорфа оно вполне ограничено. Пусть $$\varepsilon_m = 2^{-m}$$. Накроем $$M$$ конечным набором шаров радиуса $$\varepsilon_1$$. По предположению среди них существует шар $$B_1 = B(x_1, \varepsilon_1)$$, из покрытия $$\{G_{\alpha}\}$$ которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Накроем $$B_1$$ конечным набором шаров радиуса $$\varepsilon_2$$. Среди них снова найдется шар $$B_2$$, из покрытия $$\{G_{\alpha}\}$$ которого нельзя выделить конечное подпокрытие, и т.д. Видно, что центры шаров $$B_l$$ образую фундаментальную последовательность. В силу компактности $$M$$ эта последовательность сходится; пусть $$y \in M$$ $$-$$ ее предел. Так как $$y$$ содержится в одном из открытых множеств $$\{G_{\alpha}\}$$, то существует шар с центром в $$y$$, содержащийся в $$\{G_{\alpha}\}$$, причем ясно, что все шары $$B_l$$, начиная с некоторого номера, попадают в этот шар $$-$$ противоречие. $$\blacksquare$$

Критерии предкомактности в $$C[a,b],~L_p[a,b],~l_p$$

Определение 1. Пространство $$L_p[a,b]$$. Пусть $$p\geq1.$$ Тогда $$L_p[a,b]=\{f(\cdot):~[a,b]\rightarrow\mathbb{R}:~\exists\int_a^b|f(x)|^pdx<\infty\}$$.

Определение 2. Пространство $$l_p$$. Пусть $$p>0.$$ Тогда $$l_p=\{(x_1,x_2,\ldots):~\sum_{k=1}^\infty x_k^p<\infty\}$$.

Определение 3. Множество $$X\subset C[a,b]$$ называется равностепенно непрерывным, если $$\forall \varepsilon>0~\exists\delta=\delta(\varepsilon)>0:~\forall x_1,x_2\in[a,b]:~|x_1-x_2|<\delta,~\forall f(\cdot)\in X\Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|\leq\varepsilon.$$

Теорема 1 (Арцела-Асколи). Пусть $$X\subset C[a,b]$$. Тогда $$X -$$ предкомпактно $$\Leftrightarrow$$

1. $$X$$ ограничено по метрике $$C[a,b]$$.

2. $$X$$ равностепенно непрерывно.

Доказательство.

1. ($$\Rightarrow$$) Итак, пусть $$X$$ является предкомпактом $$\Rightarrow$$ вполне ограничено. Фиксируем $$\varepsilon>0$$ и построим конечную $$(\varepsilon/3)$$-сеть вида: $$\{\varphi_i\}_{i=1}^n$$. Так как $$\forall\varphi_i\in C[a,b]\Rightarrow\exists K_i:~\forall x\in[a,b]\Rightarrow|\varphi_i(x)|<K_i$$.

Поскольку таких функций конечное множество, то $$\exists K=\max_{i} K_i+\varepsilon/3<\infty$$. Теперь $$\forall f(\cdot)\in X~\exists\varphi_i\in\{\varphi_i\}_{i=1}^n:~\forall x\in[a,b]\Rightarrow |f(x)-\varphi_i(x)|<\varepsilon/3$$. Очевидно, что в этом случае функция $$f(\cdot)$$ будет ограничена константой $$K$$.

Поскольку выбор функции $$f(\cdot)$$ был произвольным, $$X$$ является ограниченным по метрике $$C[a,b]$$.

Опять же, в силу непрерывности каждого элемента $$(\varepsilon/3)$$-сети, этот элемент оказывается также и равномерно непрерывным и, следовательно, по $$(\varepsilon/3)$$ можно подобрать такое $$\delta_i$$ такое, что $$|\varphi_i(x_1)-\varphi_i(x_2)|<\varepsilon/3$$ для любых точек $$x_1,x_2\in[a,b]$$ таких, что $$|x_1-x_2|<\delta_i$$.

Положим $$\delta=\min_{i}\delta_i$$. Если теперь рассмотреть произвольную функцию $$f(\cdot)\in X$$, то для заданного $$\varepsilon>0$$ будет иметь место строгое неравенство $$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$ для любых точек $$x_1,x_2\in[a,b]$$ таких, что $$|x_1-x_2|<\delta$$.

Действительно, $$|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant |f(x_1)-\varphi_i(x_1)|+|\varphi_i(x_1)-\varphi_i(x_2)|+|\varphi_i(x_2)-f(x_2)|<\varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon$$, где $$\varphi_i$$ — подходящий элемент $$(\varepsilon/3)$$-сети.

Тем самым показано, что $$X$$ является равностепенно непрерывным.

2. ($$\Leftarrow$$) Фиксируем $$\varepsilon>0$$. Пусть $$K$$ — это константа, которая фигурирует в определении ограниченности $$X$$. Выберем такое $$\delta>0$$, которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует величине $$\varepsilon/5$$. Рассмотрим прямоугольник $$[a,b]\times[-K,K]$$ и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем $$\delta$$ по горизонтали и $$\varepsilon/5$$ по вертикали. Пусть $$x_1$$, $$x_2$$, $$\dots$$ , $$x_N$$ — узлы этой решётки по оси абсцисс.

Если теперь рассмотреть произвольную функцию $$f(\cdot)\in X$$, то для каждого узла $$x_i$$ решётки обязательно найдётся такая точка $$(x_i,y_j)$$ решётки, что $$|f(x_i)-y_j|<\varepsilon/5$$. Если теперь рассмотреть ломаную функцию $$\varphi$$, которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на $$\varepsilon/5$$, то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на $$\varepsilon/5$$, ломаная на каждом таком отрезке уклоняется не более чем на $$3\varepsilon/5$$.

Поскольку каждая точка $$x$$ отрезка $$[a,b]$$ оказывается на одном из таких отрезков, скажем, $$[x_k,x_k+1]$$, то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит $$\varepsilon$$:

$$|f(x)-\varphi(x)|\leqslant|f(x)-f(x_k)|+|f(x_k)-\varphi(x_k)|+|\varphi(x_k)-\varphi(x)| <\varepsilon/5+\varepsilon/5+3\varepsilon/5=\varepsilon$$.

Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является $$\varepsilon$$-сетью для заданного $$\varepsilon>0$$. $$\blacksquare$$

Теорема 2. Пусть $$p\geq1$$, конечно, $$X\subset L_p[a,b]$$. Тогда $$X$$ предкомпактно $$\Leftrightarrow$$

1. $$X -$$ ограничено.

2. $$\forall\varepsilon>0~\exists\delta=\delta(\varepsilon)>0:~\forall h>0:~h>\delta,~\forall f(\cdot)\in X\Rightarrow \int_a^{b-h}|f(x+h)-f(x)|^pdx<\varepsilon^p$$.

Доказательство.

1. ($$\Rightarrow$$) Аналогично предыдущей теореме.

2. ($$\Leftarrow$$) Построим предкомпактную $$\varepsilon$$-сеть, опираясь на понятие усреднения. Пусть $$S_1 -$$ единичная одномерная сфера. Положим $$ \omega(r)=\left\{\begin{array}{l} A(1-r),~ 0 \leq r \leq 1, \\ 0, ~r>1, \end{array}\right. $$

где постоянная $$A$$ такова, что $$1=\int_{\mathbb{R}} \omega(|x|) d x=\{$$сферические координаты$$\}=A\left|S_1\right| \int_0^1(1-r)dr=\dfrac{A\left|S_1\right|}{2}, ~A=\dfrac{2}{\left|S_1\right|}$$

$$\omega_{\Delta}(|x|)=\dfrac{1}{\Delta} \omega\left(\dfrac{|x|}{\Delta}\right)$$.

Очевидно, $$\int_{\mathbb{R}} \omega_{\Delta}(|x|)dx=1$$ и $$\omega_{\Delta}=0$$ при $$|x|>\Delta$$. Определим теперь усреднение: всякой функции $$f(\cdot) \in L_p([a,b])$$ сопоставим функцию $$ f_{\Delta}(x)=\int_{\mathrm{R}}\omega_{\Delta}(|y-x|)f(y)dy=\int_{\mathrm{R}}\omega_{\Delta}(|z|)f(z+x)dz . $$

Так как $$ f_{\Delta}(x)-f(x)=\int_{\mathbb{R}} \omega_{\Delta}(|z|)(f(z+x)-f(x)) d z, $$

то в силу неравенства Гёльдера и теоремы Фубини

$$\left\|f_{\Delta}-f\right\|_{L_p}^p=\int_{\mathbb{R}}\left|f_{\Delta}(x)-f(x)\right|^p d x \leq \int_{\mathrm{R}}\left(\int_{\mathrm{R}}|f(x+z)-f(x)|^p \omega_{\Delta}(|z|)dz\right)\left(\int_{\mathrm{R}} \omega_{\Delta}(|z|) d z\right)^{p / q} d x= \\ =\int_{\mathrm{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}|f(x+z)-f(x)|^p d x\right) \omega_{\Delta}(|z|) d z \leq \varepsilon^p \int_{\mathrm{R}} \omega_{\Delta}(|z|) d z=\varepsilon^p,$$

т.е. $$\left\|f_{\Delta}-f\right\|_p \leq \varepsilon$$, следовательно, $$\left\{f_{\Delta}\right\}$$ образует $$\varepsilon$$-сеть.

В силу неравенства Гельдера эта сеть равномерно ограничена и равностепенно непрерывна в $$C([a,b])$$. Следовательно, она предкомпактна в $$C([a,b])$$. Осталось заметить, что из равномерной сходимости в $$C([a,b])$$ вытекает сходимость в $$L_p([a,b])$$. $$\blacksquare$$

Будем обозначать $$x=\left(x_1, x_2, \ldots\right),~ P_N(x)=\left(x_1, x_2, \ldots, x_N, 0,0, \ldots\right), ~R_N(x)=x-P_N(x)$$. Очевидно, $$\left\|P_N(x)\right\|_{l_p} \leq\|x\|_{l_p}, ~\forall x \in l_p,~ \forall \varepsilon>0 ~\exists N:\left\|R_N(x)\right\|_{l_p}<\varepsilon$$.

Теорема 3. Пусть $$p\geq1$$, конечно, тогда $$X \subset l_p$$ предкомпактно $$\Leftrightarrow$$

1. $$\exists M \geq 0:\|x\|_{l_p} \leq M \quad \forall x \in X$$ и

2. $$\forall \varepsilon>0 \quad \exists N=N(\varepsilon):\left\|R_N(x)\right\|_{l_p}<\varepsilon \quad \forall x \in X$$.

Доказательство.

1. ($$\Rightarrow$$) Ограниченность вытекает из предкомпактности. Далее, $$\forall \varepsilon>0$$ существует конечная $$\varepsilon$$-сеть: $$X \subset \bigcup_{k=1}^n B\left(z^k, \varepsilon\right), z^k \in l_p$$. В силу конечности числа узлов $$\exists N$$ : $$\left\|R_N\left(z^k\right)\right\|_{l_p}<\varepsilon$$ сразу для всех узлов. Так как $$\forall x \in X ~\exists k:\left\|x-z^k\right\|_{l_p}<\varepsilon$$, то $$\left\|R_N(x)\right\|_{l_p}<2 \varepsilon$$.

2. ($$\Leftarrow$$) $$\left\{P_N(x)\right\}$$ образует $$\varepsilon$$-сеть и фактически составляет конечномерное пространство. Из его предкомпактности вытекает предкомпактность $$X$$. $$\blacksquare$$

Примеры

Пример 1. Пусть $$X=\{\operatorname{sin}(t+a)|a\in\mathbb{R},~t\in[0,1]\}\subset C[0,1]$$. Исследуем предкомактность данного множества с помощью теоремы Арцела-Асколи:

1. $$X$$ равномерно ограничено, так как $$\forall t,a\in\mathbb{R}\Rightarrow|\operatorname{sin}(t+a)|\leq1.$$

2. $$X$$ равностепенно непрерывно, так как $$\forall \varepsilon>0,~\forall a\in\mathbb{R},~\forall t_1,t_2\in[0,1]:~|t_1-t_2|<\delta=\varepsilon\Rightarrow|\operatorname{sin}(t_1+a)-\operatorname{sin}(t_2+a)|=\left|2\operatorname{sin}\dfrac{t_1-t_2}{2}\operatorname{cos}\dfrac{t_1+t_2+2a}2\right|\leq|t_1-t_2|<\varepsilon.$$

Таким образом, по теореме Арцела-Асколи множество $$X$$ предкомпактно.

Пример 2. Пусть $$X=\{x\in l_1:~|x_{2k}|<\frac{1}{2^k},~|x_{2k+1}|<\frac{1}{3^{2k}},~x_1=1\}$$.

Проверим критерий предкомпактности в $$l_1$$.

1. $$\forall n\geq2~|x_n|<2^{-\frac{n}{2}}\Rightarrow\forall x\in X~\sum_{n=1}^\infty|x_n|<1+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(\sqrt{2})^n}=2-\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

2. Так как ряд $$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(\sqrt{2})^n}$$ сходится, то его остаток стремится к нулю:

$$\forall\varepsilon>0~\exists N_\varepsilon\in\mathbb{R}:~\sum_{n=N_\varepsilon+1}^\infty\frac{1}{(\sqrt{2})^n}<\varepsilon$$.

Поэтому $$\forall x\in X ~ \sum_{n=N_\varepsilon+1}^\infty|x_n|<\sum_{n=N_\varepsilon+1}^\infty\frac{1}{(\sqrt{2})^n}<\varepsilon$$.

Значит $$X$$ предкомпактно.

Пример 3. Пусть $$X=\{t^n|n\in\mathbb{N}\,~t\in[0,1]\}\subset C[0,1]$$.

Пусть $$\varepsilon=\dfrac{1}{4}$$. Тогда $$\forall\delta>0~\exists n\in\mathbb{N}:~t_1=1,~t_2=\dfrac{1}{\sqrt[n]2}\in[0,1]$$ удовлетворяют неравенству $$|t_1-t_2|=\left|1-\dfrac{1}{\sqrt[n]2}\right|<\delta$$, однако $$|t_1^n-t_2^n|=\left|1-\dfrac{1}{2}\right|>\varepsilon$$, следовательно, по теореме Арцела-Асколи множество $$X$$ не является предкомпактным.

Список литературы

1. Точилин П. А. Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.