Предельное поведение траекторий. Предельные циклы. Теорема Дюлака-Бендиксона

Предельное поведение траекторий

Рассмотрим динамическую систему \[ \begin{cases} \dot{u} = f(u), \\ u(0) = u_0. \label{*} \tag{*} \end{cases} u \in U \subset \mathbb{R}^n. \]

Пример устойчивого цикла

Пример неустойчивого цикла

Пример полуустойчивого цикла_1

Пример полуустойчивого цикла_2

Определение. Кривая $$\gamma$$ - предельный цикл \eqref{*}, если

1. $$\gamma$$ - траектория системы,
2. $$\gamma$$ - замкнутая кривая,
3. в малой окрестности $$\gamma$$ нет других замкнутых траекторий.

Предельные циклы могут быть трёх видов

1. устойчивые
2. неустойчивые
3. полуустойчивые.

Определение. $$u^{*}$$ - предельная точка системы \eqref{*}, если $$\exists \{ t_k \} : ~ t_k \to \infty$$ при $$k \to \infty$$ - последовательность моментов времени и начальное условие $$u_0$$: \[ \lim\limits_{k \to \infty} u(t_k, u_0) = u^{*}. \] Если $$t_0 < t_1 < \ldots < t_n < \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\omega$$-предельная точка.
Если же $$t_0 > t_1 > \ldots > t_n > \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\alpha$$-предельная точка,

Определение Инвариантное множество $$L$$ относительно системы \eqref{*} - множество точек $$\hat{x}: \forall \hat{x} \in L ~ x(t,\hat{x}) \in L,~ \forall t \geqslant 0$$.

Определение. Предельное множество $$w_{lim}(u_0)$$ - совокупность всех предельных точек.

Свойства предельного множества $$ w_{lim}(u_0):$$

1. Предельное множество является замкнутым(точечным) множеством
2. Предельное множество является инвариантным и состоит из целых траекторий.
3. Для того, чтобы $$w_{lim}(u_0)$$ состояло из единственной точки необходимо и достаточно, чтобы вся траектория стремилась к $$ x^{*} \equiv w_{lim}(u_0),~ x(t,x_0) \to x^{*} $$ при $$ t \to +\infty$$.
4. Чтобы $$w_{lim}(u_0) = \varnothing$$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось $$ \sum\limits_{i=1}^n x_i^2(t, x_0) \to +\infty$$ при $$ t \to +\infty$$.

Необходимое условие инвариантности: Пусть у нас есть вектор-функция $$f$$ из задачи \eqref{*}. Рассмотрим область $$D$$ с гладкой границей $$\partial D$$ и вектор нормали $$n$$:
Если $$ <f, n> \leqslant 0$$ выполняется для любой точки на границе $$\partial D$$, то область $$D$$ инвариантна относительно \eqref{*}.

Теорема Дюлака-Бендиксона

Теперь рассмотрим двумерную область $$(x_1, x_2) \in D \subset \mathbb{R}^2$$ и в ней систему \[ \begin{cases} \dot{x_1} = f_1(x_1, x_2), \\ \dot{x_2} = f_2(x_1, x_2). \label{**} \tag{**} \end{cases} \] Далее будут рассматриваться случаи, где $$D$$ - односвязная область.

Для доказательства теоремы нам потребуется Формула Грина, напомним, что это такое.
Пусть у нас есть некоторая вектор-функция $$(P(x,y), Q(x,y))$$

\[ \int\limits_{\partial D} \Big(P(x,y) dx + Q(x,y) dy \Big) = \iint\limits_{D} \Big( \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \Big)dxdy \tag{G} \label{Формула Грина} \]

Теорема Дюлака-Бендиксона. Если $$div f = \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2}$$ знакоопределена, то есть либо $$div f > 0$$, либо $$div f < 0$$ в области $$D$$, тогда в $$D$$ нет замкнутых траекторий системы \eqref{**}.

Доказательство: Доказательство будет построено от противного.

Предположим обратное, пусть в $$D$$ существует замкнутая траектория (будет обозначать её $$\gamma$$, а область, соответствующую ей - $$\Gamma$$).
В равенстве \eqref{Формула Грина} возьмём \[ Q(x_1,x_2) = f_1(x_1,x_2), \\ P(x_1,x_2) = - f_2(x_1,x_2). \]

\[ \int\limits_{\partial \gamma} \Big(P(x_1,x_2) dx_1 + Q(x_1,x_2) dx_2 \Big) = \iint\limits_{\Gamma} \Big( \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2} \Big)dx_1 dx_2 = \iint\limits_{\Gamma} div f dx_1 dx_2. \tag{G1} \label{G1} \] С другой стороны, воспользуемся \eqref{**} и перепишем левую часть равенства \eqref{G1} \[ \int\limits_{\partial \gamma} \Big(-f_2(x_1,x_2) f_1(x_1,x_2) dt + f_1(x_1,x_2) f_2(x_1,x_2) dt \Big) = 0. \] Таким образом, мы получаем противоречие со знакоопределенностью $$div f$$.
Следовательно, в $$D$$ нет замкнутых траекторий \eqref{**}.

Теорема доказана

Список литературы

1. Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2024.
2. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.