Сопряжённые пространства

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая гильбертовых пространств.

Основные определения

Пусть \( E \) — нормированное пространство над полем \(\mathbb{R}\) или \(\mathbb{C}\).

• Линейный функционал — это отображение \( f: E \to \mathbb{F} \) (где \( \mathbb{F} \) — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:

\[ f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}. \]

• Непрерывный (ограниченный) линейный функционал — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в \( E \). Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы \( C > 0 \), что \( |f(x)| \leq C \|x\| \) для всех \( x \in E \). Наименьшая из таких констант называется нормой функционала:

\[ \|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|. \]

• Сопряжённое пространство \( E^* \) — множество всех непрерывных линейных функционалов на \( E \). Это множество само образует нормированное пространство относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если \( E \) — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с \( E^* \). В бесконечномерном случае это не так.

Топологии в сопряжённом пространстве

На сопряжённом пространстве \( E^* \) можно ввести различные топологии.

• Сильная (нормированная) топология — топология, порождённая нормой \( \|f\|_{E^*} \). Сходимость \( f_n \to f \) в сильной топологии означает, что \( \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 \).

• Слабая* топология (топология поточечной сходимости) — это топология на \( E^* \), в которой непрерывны все отображения \( f \mapsto f(x) \) для каждого фиксированного \( x \in E \). Последовательность функционалов \( \{f_n\} \) слабо* сходится к \( f \), если для любого \( x \in E \) выполнено \( f_n(x) \to f(x) \) (сходимость числовых последовательностей).

Конечномерный случай и двойственный базис

В конечномерном пространстве \( E \) размерности \( n \) сопряжённое пространство \( E^* \) имеет ту же размерность \( n \) и изоморфно \( E \).

Пусть \( \{e_1, \ldots, e_n\} \) — базис в \( E \). Тогда сопряжённый (двойственный) базис \( \{e^1, \ldots, e^n\} \) в пространстве \( E^* \) определяется условиями: \[ e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases} \] Любой функционал \( f \in E^* \) однозначно раскладывается по этому базису: \( f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i \).

Пример: В пространстве \( \mathbb{R}^2 \) рассмотрим базис \( e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) \). Сопряжённый базис \( \{e^1, e^2\} \) в \( (\mathbb{R}^2)^* \) состоит из функционалов, заданных как \( e^1(x, y) = 2x \) и \( e^2(x, y) = -x + y \), поскольку \( e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 \).

Бесконечномерные пространства и примеры

В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

• Пространство \( L_p \). Пусть \( (X, \mu) \) — пространство с мерой, \( 1 < p < \infty \). Сопряжённым к пространству \( L_p(X, \mu) \) (функций, интегрируемых в степени \( p \)) является пространство \( L_q(X, \mu) \), где \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \) (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу \( g \in L_q \) ставится в соответствие функционал \( h_g \in (L_p)^* \), действующий по формуле:

\[ h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x). \] Неравенство Гельдера гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: \( (\ell_p)^* \cong \ell_q \).

• Пространство \( L_1 \). Сопряжённое к \( L_1(X, \mu) \) изоморфно \( L_\infty(X, \mu) \) (пространству существенно ограниченных функций), если мера \( \mu \) является сигма-конечной.

Функция \( f: X \to \mathbb{R} \) (или \( \mathbb{C} \)) называется существенно ограниченной, если существует такое число \( M \ge 0 \), что \[ |f(x)| \le M \quad \text{для почти всех } x \in X, \] то есть множество \(\{x \in X : |f(x)| > M\}\) имеет меру нуль.

• Гильбертово пространство \( L_2 \). Частный случай пространств \( L_p \) при \( p=2 \). Поскольку для \( p=2 \) сопряжённый показатель \( q \) также равен 2, получаем \( (L_2)^* \cong L_2 \). Это проявление общего факта: всякое гильбертово пространство самосопряжено (см. ниже).

• Пространство \( C[a, b] \). Пусть \( C[a, b] \) — пространство непрерывных функций на отрезке \( [a, b] \) с супремум-нормой:

\[ \| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|. \] Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на \( [a, b] \).

Знакопеременная мера Радона ограниченной вариации

Пусть \( [a, b] \subset \mathbb{R} \) — отрезок, \( \mathcal{B}([a, b]) \) — его борелевская σ-алгебра. Знакопеременной мерой Радона на \( [a, b] \) называется вещественнозначная функция множеств \( \mu: \mathcal{B}([a, b]) \to \mathbb{R} \), удовлетворяющая условиям:

1. \( \mu(\varnothing) = 0 \).
2. σ-аддитивность: для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств \( \{E_n\}_{n=1}^\infty \) выполняется

\[ \mu\!\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n), \] где ряд сходится абсолютно.

1. Регулярность: для любого \( E \in \mathcal{B}([a, b]) \) и любого \( \varepsilon > 0 \) существуют компактное множество \( K \subset E \) и открытое множество \( U \supset E \) такие, что \( |\mu(U \setminus K| < \epsilon \).

Полной вариацией (или просто вариацией) знакопеременной меры Радона \(\mu\) называется функция множеств \( |\mu| \), определяемая для \( E \in \mathcal{B}([a, b]) \) как \[ |\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |\mu(E_n)| : \{E_n\} \text{ — измеримое разбиение } E \right\}. \]

Знакопеременная мера Радона \(\mu\) называется мерой ограниченной вариации на \( [a, b] \), если её полная вариация на всём отрезке конечна: \[ \|\mu\|_{\text{TV}} := |\mu|([a, b]) < \infty. \]

Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на \( [a, b] \) называется множество \[ \mathcal{M}[a, b] = \{\mu : \mu \text{ — знакопеременная мера Радона на } [a, b] \text{ с } \|\mu\|_{\text{TV}} < \infty\}, \] с нормой полной вариации \[ \|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{\text{TV}} = |\mu|([a, b]). \]

Гильбертовы пространства и теорема Рисса

Для гильбертовых пространств \( H \) структура сопряжённого пространства описывается теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве.

Теорема Рисса.
Для всякого непрерывного линейного функционала \( f \in H^* \) в гильбертовом пространстве \( H \) существует единственный элемент \( y_f \in H \) такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения: \[ f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H. \] При этом \( \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H \). См. доказательство.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между \( H^* \) и \( H \), но и изометрический изоморфизм, сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если \( f \mapsto y_f \) и \( g \mapsto y_g \), то \( (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g \).

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие самосопряжённого оператора (\( A = A^* \)) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

Второе сопряжённое пространство и рефлексивность

Поскольку \( E^* \) само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — второе сопряжённое пространство \( E^{**} = (E^*)^* \).

Для любого элемента \( x \in E \) можно канонически построить функционал \( F_x \in E^{**} \), действующий на элементы \( f \in E^* \) по правилу: \[ F_x(f) = f(x). \] Отображение \( \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x \) называется каноническим вложением. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть \( \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E \).

• Рефлексивное пространство — это пространство, для которого каноническое вложение \( \mathcal{J} \) является сюръективным, то есть \( \mathcal{J}(E) = E^{**} \). В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:

• Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
• Все гильбертовы пространства рефлексивны.
• Пространства \( L_p \) (и \( \ell_p \)) рефлексивны при \( 1 < p < \infty \).

Примеры нерефлексивных пространств:

• Пространства \( L_1, L_\infty, C[a,b] \) не являются рефлексивными.

Список источников

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
2. Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024.