Спектр линейного оператора

Спектр линейного оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Знание структуры спектра позволяет характеризовать оператор и описать многие его свойства.

Конечномерный случай

Пусть \(X\) — конечномерное линейное пространство (например, \(\mathbb{R}^n\) или \(\mathbb{C}^n\)) над полем \(\mathbb{P}\) (например, \(\mathbb{R}\) или \(\mathbb{C}\)), \(A:\ X \rightarrow X\) — линейный оператор.

Определение 1. Множество собственных значений оператора \(\sigma(A)\) называется спектром линейного оператора \(A\).

Бесконечномерный случай

Понятие спектра можно обобщить на случай бесконечномерных пространств, при этом его структура значительно усложнится. Перед тем, как определить спектр, введем несколько необходимых определений.

Пусть теперь \(X\) — банахово пространство (вообще говоря, над \(\mathbb{C}\)), \(A:\ X \rightarrow X\) — линейный оператор.

Определение 2. \(\lambda\) — регулярная точка оператора \(A\), если \(A - \lambda I\) — непрерывно обратимый оператор.

Определение 3. Множество \(\rho(A)\) всех регулярных точек оператора A называется резольвентным множеством.

Определение 4. Пусть \(\lambda \in \rho(A)\). Тогда оператор \(R_\lambda(A) = (A - \lambda I)^{-1}\) называется резольвентой оператора A.

Определение 5. \(\sigma(A) = \mathbb{R} \setminus \rho(A)\) — спектр оператора \(A\).

Перечислим некоторые свойства данных объектов:

Теорема 1. Множество \(\rho(A)\) открыто в \(\mathbb{C}\).

Теорема 2. Пусть \(A\) — линейный непрерывный оператор. Тогда если \(\lambda \in \mathbb{C}\) и \(\left\lvert \lambda \right\lvert > \left\lVert A \right\lVert \Rightarrow \lambda \in \rho(A)\).

Теорема 3. Пусть \(A\) — линейный непрерывный оператор в банаховом пространстве \(X\). Тогда \[\exists\, r_\sigma(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \left\lVert\ A^n \right\rVert^{\frac{1}{n}} \leqslant \left\lVert A \right\lVert,\] где \(r_\sigma(A)\) — спектральный радиус. Если \(\left\lvert \lambda \right\lvert > r_\sigma(A)\), то \(\lambda \in \rho(A)\).

Теорема 4. Пусть \(A\) — линейный непрерывный оператор в банаховом пространстве \(X\). Тогда \(\sigma(A) \neq \varnothing\).

Теорема 5. Пусть \(A\) — линейный непрерывный оператор в банаховом пространстве \(X\). Тогда если \(r_\sigma(A) < 1\), то \(A - I\) — непрерывно обратим, \[(A - I)^{-1} = \sum_{k = 0}^\infty A^k,\] ряд сходится абсолютно. Если \(r_\sigma(A) > 1\), то данный ряд расходится.

В отличие от конечномерного случая, не все элементы спектра являются собственными значениями соответствующего оператора. Вводится следующая классификация точек спектра:

Пусть \(\lambda \in \sigma(A)\)

1. Если \(\mathrm{Ker}(A - \lambda I) \neq \{0\}\), то говорят, что \(\lambda\) принадлежит точечному спектру, то есть \(\lambda \in \sigma_p(A)\).
2. Если существует оператор \((A - \lambda I)^{-1}\), определенный на множестве \(Y\), плотном в \(X\), то говорят, что \(\lambda\) принадлежит непрерывному спектру, то есть \(\lambda \in \sigma_c(A)\).
3. Если существует оператор \((A - \lambda I)^{-1}\), определенный на множестве \(Y\), не плотном в \(X\), то говорят, что \(\lambda\) принадлежит остаточному спектру, то есть \(\lambda \in \sigma_r(A)\).

Данная классификация однозначна и покрывает все точки спектра, то есть \(\sigma(A) = \sigma_p(A) \sqcup \sigma_c(A) \sqcup \sigma_r(A)\)

Замечание. Эквивалентные определения:

• \(\lambda \in \sigma_c(A) \Leftrightarrow \mathrm{Im}(A - \lambda I) \neq X,\, \overline{\mathrm{Im}(A - \lambda I)} = X\).
• \(\lambda \in \sigma_r(A) \Leftrightarrow \overline{\mathrm{Im}(A - \lambda I)} \neq X\).

Замечание. Как видно из определений спектра для конечномерных и бесконечномерных пространств, спектр в конечномерном пространстве действительно является частным случаем бесконечномерного пространства, в котором присутствует только точечный спектр. Элементы точечного спектра также называются собственными значениями.

Примеры

Рассмотрим следующие примеры, показывающие различные структуры спектра:

Пример 1: \(X = C[0, 1],\, (Ax)(t) = tx(t)\). Заметим, что \(A\) — линейный ограниченный оператор, \(\left\lVert A \right\lVert = 1\).

Найдем резольвентное множество A. Для этого рассмотрим уравнение \((A - \lambda I)x = y \Leftrightarrow (t - \lambda)x(t) = y(t)\).

• Если \(\lambda \notin [0,\,1]\), то \(x(t) = \frac{y(t)}{t - \lambda} \in C[0,\,1]\), а значит, оператор \(A - \lambda I\) непрерывно обратим и \(\lambda \in \rho(A)\).
• Если \(\lambda \in [0,\,1]\), то уравнение разрешимо только для \(y(t):\ y(\lambda) = 0\), то есть не для всех \(y\) а значит, оператор \(A - \lambda I\) не обратим и \(\lambda \in \sigma(A)\).

Найдем компоненты спектра:

\[(t - \lambda)x(t) = 0 \Leftrightarrow x(t) \equiv 0 \Rightarrow \mathrm{Ker}(A - \lambda I) = \{0\}\ \forall \lambda \Rightarrow \sigma_p(A) = \varnothing\].

\[\mathrm{Im}(A - \lambda I) = {y:\ y(\lambda) = 0} = \overline{\mathrm{Im}(A - \lambda I)} \neq X \Rightarrow \lambda \in \sigma_r(A)\].

Таким образом, \(\sigma(A) = \sigma_r(A) = [0, 1]\).

Пример 2: \(X = L_p[0,\,1],\, (Ax)(t) = tx(t)\). Аналогично примеру 1:

• \(\lambda \notin [0,\,1] \Rightarrow x(t) = \frac{y(t)}{t - \lambda} \in L_p[0,\,1] \Rightarrow \lambda \in \rho(A)\).
• \(\lambda \in [0,\,1] \Rightarrow \lambda \in \sigma(A)\).

Найдем компоненты спектра:

\[(t - \lambda)x(t) = 0 \Leftrightarrow x(t) \equiv 0\ \text{почти всюду} \Rightarrow \sigma_p(A) = \varnothing\].

Далее рассмотрим функцию \[y_\varepsilon(t) = \begin{cases} y(t),\, \left\lvert t - \lambda \right\rvert \geqslant \varepsilon \\ 0,\, \left\lvert t - \lambda \right\rvert < \varepsilon \\ \end{cases}\]

Она обращается в 0 в некоторой окрестности точки \(\lambda\), а значит \(y_\varepsilon(t) \in \mathrm{Im}(A - \lambda I)\). Множество \(\{y_\varepsilon(t),\, \varepsilon > 0\}\) плотно в \(X\), и при этом \(\{y_\varepsilon(t),\, \varepsilon > 0\} \subset \mathrm{Im}(A - \lambda I)\), а значит, \(\overline{\mathrm{Im}(A - \lambda I)} = X \Rightarrow \lambda \in \sigma_c(A)\).

Таким образом, \(\sigma(A) = \sigma_c(A) = [0, 1]\).

Пример 3: \(X = l_2,\, A(x_1,\,x_2,\,x_3,\,\dots) = (0,\, x_1,\, x_2,\,\dots)\) — оператор сдвига.

\[A^*x = (x_2,\,x_3,\, \dots),\ \left\lVert A \right\lVert = \left\lVert A* \right\lVert = 1.\]

По свойству спектрального радиуса,

\[\left\lvert \lambda \right\lvert > 1 \Rightarrow \lambda \in \rho(A).\]

Рассмотрим \(\mathrm{Ker}(A - \lambda I)\): \[y \in \mathrm{Ker}(A - \lambda I) \Leftrightarrow \exists x:\ (A - \lambda I)x = 0 \Leftrightarrow Ax = \lambda x\] \[(0,\, x_1,\, x_2,\,\dots) = (\lambda x_1,\,\lambda x_2,\,\lambda x_3,\,\dots)\] \[\lambda \neq 0: x_1 = 0 \Rightarrow x_2 = 0 \Rightarrow \dots \Rightarrow x = 0 \Rightarrow \mathrm{Ker}(A - \lambda I) = \{0\}\] \[\lambda = 0 \Rightarrow x = 0.\]

Рассмотрим \(A^*:\) \[A^*x = \lambda x \Leftrightarrow ((x_2,\,x_3,\,x_4,\,\dots) = (\lambda x_1,\,\lambda x_2,\,\lambda x_3,\,\dots))\] \[x_2 = \lambda x_1,\, x_3 = \lambda x_2 = \lambda^2 x_1,\, \dots \Rightarrow x = (1,\,\lambda,\,\lambda^2,\,\dots) \text{ – собственный вектор}.\ x \in l_2 \Leftrightarrow \left\lvert \lambda \right\lvert < 1\] \[\{\lambda:\ \left\lvert \lambda \right\lvert < 1\} \subset \sigma_p(A^*)\] \[\mathrm{Ker}(A^* - \lambda I) = \{\alpha(1,\,\lambda,\,\lambda^2,\,\dots),\, \left\lvert \lambda \right\lvert < 1,\,\alpha \in \mathbb{C}\}\]

Изучим спектр \(A\). Пусть \(\left\lvert \lambda \right\lvert < 1\) \[X = \overline{\mathrm{Im}(A - \lambda I)} \oplus \mathrm{Ker}(A^* - \overline{\lambda} I)\] \[\mathrm{Ker}(A^* - \overline{\lambda} I) \neq \{0\} \Rightarrow \overline{\mathrm{Im}(A - \lambda I)} \neq X \Rightarrow \lambda \in \sigma_r(A)\]

Пусть \(\left\lvert \lambda \right\lvert = 1\). В силу замкнутости спектра \[\lambda \in \sigma(A),\, \lambda \in \sigma(A^*)\] \[\mathrm{Ker}(A^* - \overline{\lambda} I) = \{0\} \Rightarrow \overline{\mathrm{Im}(A - \lambda I)} = X \Rightarrow \lambda \in \sigma_c(A)\] \[X = \overline{\mathrm{Im}(A^* - \lambda I)} \oplus \mathrm{Ker}(A - \overline{\lambda} I)\] \[\mathrm{Ker}(A - \overline{\lambda} I) = \{0\} \Rightarrow \overline{\mathrm{Im}(A^* - \lambda I)} = X \Rightarrow \lambda \in \sigma_c(A^*)\]

Таким образом, \[\sigma_p(A) = \varnothing,\ \sigma_c(A) = \{\lambda: \left\lvert \lambda \right\lvert = 1\},\ \sigma_r(A) = \{\lambda: \left\lvert \lambda \right\lvert < 1\}\] \[\sigma_p(A^*) = \{\lambda: \left\lvert \lambda \right\lvert < 1\},\ \sigma_c(A^*) = \{\lambda: \left\lvert \lambda \right\lvert = 1\},\ \sigma_r(A^*) = \varnothing\]

Спектр вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве

Далее рассмотрим частный случай вполне непрерывного линейного оператора.

Пусть \(H\) — гильбертово пространство, \(A: H \rightarrow H\) — вполне непрерывный линейный оператор.

Теорема 6. \(\lambda \in \sigma(A),\, \lambda \neq 0 \Rightarrow \lambda \in \sigma_p(A)\).

Теорема 7. \(\mathrm{dim} H = \infty \Rightarrow 0 \in \sigma(A)\).

Пример. \(H = L_2[0, 1],\, (Ax)(t) = \int_0^tx(s)ds\)

Рассмотрим \(\lambda \neq 0\): \[Ax = \lambda x \Leftrightarrow \int_0^tx(s)ds = \lambda x(t)\] \[x(t + \delta) - x(t) = \frac{1}{\lambda}\int_t^{t+\delta}x(s)ds \xrightarrow[\delta \to 0]{} 0 \Rightarrow x\ —\ \text{непрерывная функция.}\]

Интеграл \(\int_0^tx(s)ds\) непрерывно дифференцируем, следовательно \(x(t)\) — дифференцируемая функция, а значит, она удовлетворяет дифференциальному уравнению \[\lambda x'(t) = x(t),\, x(0) = 0 \Rightarrow x(t) \equiv 0, \Rightarrow \mathrm{Ker}(A - \lambda I) = \{0\}.\]

Таким образом, если \(\lambda\) принадлежит спектру, то она принадлежит непрерывному или остаточному спектру. Но, по теореме 6, \(\lambda\) может принадлежать только точечному спектру. Таким образом, \(\lambda \in \rho(A)\).

Теперь рассмотрим \(\lambda = 0\). Так как по теореме 4 спектр непуст (либо по теореме 7), \(0 \in \sigma(A)\). Заметим, что \(Ax = 0 \Rightarrow x \equiv 0\) почти всюду \(\Rightarrow x \notin \sigma_p(A)\). При этом \(C[0, 1] \in \mathrm{Im}(A - \lambda I) = \mathrm{Im}(A),\, C[0, 1]\) всюду плотно в \(L_2[0, 1] \Rightarrow 0 \in \sigma_c(A)\).

Теорема 8. Если \(\lambda_n \in \sigma(A),\, n=1,\,2,\,\dots\), то \(\lambda_n \to 0\).

Замечание. Любой конечномерный оператор вполне непрерывен. Поэтому свойства спектра таких операторов ближе к конечномерному случаю.

Спектр ограниченного самосопряженного оператора

Наконец, рассмотрим случай ограниченного самосопряженного оператора.

Пусть \(H\) — гильбертово пространство, \(A: H \to H\) — линейный ограниченный самосопряженный оператор. Известны следующие его свойства:

• \(\left \lVert A \right \rVert = \sup_{\left \lVert x \right \rVert = 1}\left \lvert \left<Ax,\, x\right> \right \rvert\).
• Линейный ограниченный оператор является самосопряженным \(\Leftrightarrow \left<Ax,\, x\right> \in \mathbb{R}\).

Теорема 9. A — ограниченный самосопряженный оператор \(\Rightarrow \sigma(A) \subset \mathbb{R}\).

Лемма. Собственные векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, ортогональны.

Литература

• Полосин А. А. Лекции по функциональному анализу 2024-2025
• Точилин П. А., Паршиков М. В. Семинары по функциональному анализу 2024-2025