Формула Коши
Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение: \[ \begin{cases} \dot x(t) = A(t)x(t) + c(t), \\ x(t_0) = x^0. \end{cases} \] В оптимальном управлении в неоднородность включено еще и управление, то есть $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$.
Пусть $$X(t, \tau)$$ — фундаментальная матрица Коши. Тогда решение данного уравнения находится по формуле Коши: \[ x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau, \] Причем $$t$$ может быть как больше, так и меньше $$t_0$$, вид формулы не меняется.
Вывод формулы Коши
Рассмотрим, как на данное дифференциальное уравнение действует линейная замена переменных $$y(t) = F(t)x(t)$$, где матрица $$F(t)$$ не вырождена в любой момент времени. Тогда: \[ \dot y(t) = \dot F(t)x(t) + F(t) \dot x(t) = \dot F(t) F^{-1}(t) y(t) + F(t) \left( A(t) F^{-1}(t) y(t) + c(t) \right) = \\ = \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t) y(t) + F(t) c(t). \] Заметим, что тогда $$y(t)$$ удовлетворяет дифференциальному уравнению: \[ \dot y(t) = \tilde A(t) y(t) + \tilde c(t), \] где $$\tilde A(t) = \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t)$$ и $$\tilde c(t) = F(t) c(t)$$. Тогда мы можем выбрать такую замену переменной, что $$\tilde A(t) \equiv 0$$. Для этого должно выполняться: \[ \dot F(t) = -F(t)A(t). \] Тогда положим $$F(t) = X(t_0, t)$$, чтобы также выполнялось $$y(t_0) = F(t_0)x^0 = x^0$$. Таким образом, пришли к следующей задаче Коши для $$y(t)$$: \[ \begin{cases} \dot y(t) = X(t_0, t)c(t), \\ y(t_0) = x^0, \end{cases} \] Причем правая часть не зависит от $$y(t)$$, а значит решением будет просто интеграл: \[ y(t) = x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau. \] Возвращаясь к исходной переменной и используя полугрупповое свойство и его следствие $$\left( X(t_0, t)\right)^{-1} = X(t, t_0)$$, получаем формулу Коши: \[ x(t) = F^{-1} y(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, t_0) X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau =\\ = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau. \] В оптимальном управлении обычно $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$, и формула Коши принимает вид: \[ x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau) \left[B(\tau)u(\tau) + f(\tau)\right]\,d\tau. \]
Обобщение на случай матричных ЛДУ
Рассмотрим следующую задачу Коши: \[ \begin{cases} \dot X(t) = A(t)X(t) - X(t)B(t) + C(t), \\ X(t_0) = X^0. \end{cases} \] Тогда ее решением будет: \[ X(t) = U(t,t_0) X^0 V(t_0,t)+\int\limits_{t_0}^t U(t,\tau)C(\tau)V(\tau,t)\,d\tau, \] где $$U(t, \tau)$$ и $$V(t, \tau)$$ — фундаментальные матрицы для задач Коши с матрицами $$A(t)$$ и $$B(t)$$ соответственно.
