Просмотр кода страницы Выпуклые конусы и их свойства

Будем рассматривать произвольное векторное пространство <math>V</math> над некоторым полем чисел <math>\mathcal{F}</math>, в котором существует понятие "положительного" числа. Примерами таких полей являются рациональные числа <math>\mathbb{Q}</math> или вещественные числа <math>\mathbb{R}</math>.
==Определение==
Множество <math>C \subseteq V</math> называется '''выпуклым конусом''', если для любых векторов <math>x, y \in C</math> и положительных скаляров <math>\alpha, \beta \in \mathcal{F}</math> справедливо включение <math>\alpha x + \beta y \in C</math>.

Как видно из определения, любое собственное подпространство <math>V' \subset V </math> и само пространство <math>V</math> являются выпуклыми конусами. Также будем полагать, что пустое множество <math>\varnothing</math> является выпуклым конусом.
==Свойства==
# Если <math>C</math> — выпуклый конус, то <math>C \cup \{ \mathbb{0} \}</math> также является выпуклым конусом.
# Выпуклый конус является [[Выпуклое множество и его свойства|выпуклым множеством]].
# Если <math>C</math> — выпуклый конус, то <math>\overline{C}</math> и <math>\operatorname{int} C</math> также являются выпуклыми конусами.
# Любой выпуклый конус, содержащий хотя бы один ненулевой вектор, является неограниченным множеством.
# Класс выпуклых конусов замкнут относительно любых линейных отображений.
# Если <math>C_i, i \in I</math> — выпуклые конусы, то <math>\bigcap_{i \in I} C_i</math> также является выпуклым конусом, то есть выпуклые конусы образуют замкнутое семейство по операции пересечения.
# Выпуклый конус может иметь не более одной крайней точки, которая может быть только его вершиной (нулевой вектор).
==Связанные понятия==
Первое свойство позволяет корректно определить '''размерность лезвия''' произвольного непустого <math>C</math> — <math>\operatorname{dim} ((C \cap -C) \cup \{ \mathbb{0} \}).</math>

В случае, если конус <math>C</math> замкнут, очевидно включение <math>\mathbb{0} \in C</math>, но если конус <math>C</math> открыт, то множество <math>C \cap -C</math> может быть пустым, и, как следствие, не быть векторным пространством. Если <math>C \cap -C</math> непусто, то его принято называть наибольшим линейным пространством, содержащимся в <math>C</math>, или '''лезвием'''. 

Если <math>\mathbb{0} \not\in C</math>, то конус <math>C</math> называется '''заострённым''', а в противном случае — '''затупленным'''. В литературе иногда такие конусы называются '''острыми''' и '''тупыми''' соответственно, однако данные термины используются и для определения других свойств замкнутых конусов в зависимости от контекста.

Выпуклый конус называется '''замкнутым''', если он замкнут как множество.

Замкнутый выпуклый конус называется '''острым''', если он имеет тривиальное лезвие <math>\{ \mathbb{0}\}</math>, и '''тупым''' в противном случае. Заметим, что для замкнутых выпуклых конусов понятие лезвия корректно определено, поскольку <math>\mathbb{0} \in C \cap -C</math>.

Аналогичное определение можно ввести, используя понятие размерности лезвия: замкнутый выпуклый конус называется '''острым''', если он имеет нулевую размерность лезвия, и '''тупым''' в противном случае. В литературе такие конусы иногда называют '''выступающими'''('''строго выпуклым''') и '''плоскими''' соответственно.

'''Размерностью''' выпуклого конуса <math>C</math> называется размерность наименьшего векторного подпространства <math>C - C = \{ x - y| x, y \in C\}</math>, содержащего данный конус. 

Выпуклый конус называется '''воспроизводящим''', если <math>C - C = V</math>.

==Сопряжённый конус==
Рассмотрим произвольный конус <math>C</math> в пространстве <math>V</math>. '''Сопряжённым''' (или '''двойственным''') '''конусом''' <math>C^*</math> к конусу <math>C</math> в сопряжённом пространстве <math>V^*</math> называется множество <math>C^* = \{ x^* \in V^*| \forall x \in V: \left<x, x^*\right> \geqslant 0 \}</math>, где под <math>\left< \cdot, x^*\right></math> понимается действие линейного оператора <math>x^*</math> из сопряжённого пространства. Перечислим несколько важных свойств сопряжённого конуса.
* Сопряжённый конус всегда является выпуклым и замкнутым (следует из знака нестрого неравенства в определении двойственного конуса).
* <math>C \subseteq C^{**}</math>, причём <math>C = C^{**}</math> тогда и только тогда, когда <math>C</math> замкнут.
* Если <math>C</math> представляет собой некоторое подпространство <math>V</math>, то сопряжённый конус <math>C^*</math> представляет собой ортогональное дополнение <math>C</math>, то есть <math>C^* = C^{\perp}</math>.

Нахождение сопряжённого конуса является важной задачей для приложений и, в частности, для задач линейного программирования при построении двойственных задач. Приведём несколько важных формул для вычисления сопряжённого конуса.
* пусть заданы выпуклые конусы <math>C_1, \dots, C_n</math> такие, что <math>\bigcap_{i = 1}^n \operatorname{int} C_i \not= \varnothing</math>. Тогда <math>\left( \bigcap_{i = 1}^n C_i\right)^* = \sum_{i = 1}^n C^*_i</math>.
* пусть заданы выпуклые замкнутые конусы <math>C_1, \dots, C_n</math>. Тогда <math>\left( \sum_{i = 1}^n C_i\right)^* = \bigcap_{i = 1}^n C^*_i</math>.
* лемма Фаркаша: пусть <math>C = \{ x \in \mathbb{R}^n: Ax = 0, Bx \geqslant 0\}</math>, <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math>, <math>B \in \mathbb{R}^{k\times n}</math>. Тогда <math>C^* = \{ y \in \mathbb{R}^n: y = A^T \lambda + B^T \mu, \lambda \in \mathbb{R}^m, \mu \in \mathbb{R}^k_+\}</math>.

==Примеры==
* Тривиальными примерами выпуклых конусов являются подпространства <math>V</math>, а также пустое множество <math>\varnothing</math>.
* Коническая оболочка набора векторов: пусть <math>S = \{ x_i\} \subset V</math> — конечный или бесконечный набор векторов из <math>V</math>. Тогда их коническая оболочка <math>\operatorname{cone} S = \{ \sum_i \alpha_i x_i: x_i \in S, \alpha_i \in \mathbb{R}_+ = \{ x \in \mathbb{R}: x \geqslant 0\}\}</math> есть множество всевозможных конических комбинаций векторов из набора.
[[Файл:Vector conhull.png|400px|center|Пример конической оболочки набора векторов в трёхмерном пространстве]]
* Конус нормы в <math>\mathbb{R}^n</math> <math>C_{||\cdot ||} = \{ (x, r) \in \mathbb{R}^{n+1}: ||x|| \leqslant r\}.</math>
[[Файл:NormCone.png|400px|center|Пример конуса нормы, заданной на плоскости]]
* Коническая оболочка произвольного множества — наименьший выпуклый конус, содержащий заданное множество. Аналогично конической оболочке набора векторов, она определяется как множество всех конических комбинаций всевозможных наборов векторов из рассматриваемого множества:: <math>\operatorname{cone} S = \{ \sum_i^n \alpha_i x_i: x_i \in S, \alpha_i \in \mathbb{R}_+, n \in \mathbb{N}\}.</math>
[[Файл:ConeCovering.png|400px|center|Пример конической оболочки квадрата на плоскости]]
Также коническая оболочка удовлетворяет следующему равенству:: <math>\operatorname{cone} S = \bigcup_{\mu \geqslant 0} (\mu \operatorname{conv} S),</math> где <math>\operatorname{conv} S</math> — [[Выпуклое множество и его свойства|выпуклая оболочка]] <math>S</math>. Несмотря на тесную связь с понятием выпуклой оболочки, неограниченность конуса в общем случае означает, что коническая оболочка компактного множества может не быть компактом. Более того, она может быть даже незамкнутой. Например, коническая оболочка шара в <math>\mathbb{R}^n</math>, имеющего начало координат в качестве граничной точки, есть открытое полупространство в объединении с началом координат.
[[Файл:SphereConeHull.png|400px|center|Коническая оболочка шара, имеющего начало координат в качестве граничной точки, в плоскости]]

==Литература==
# ''Половинкин Е.С., Балашов М.В.'' Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — ФИЗМАТЛИТ, 2007.
# ''Арутюнов А.В.'' Лекции по выпуклому и многозначному анализу. — ФИЗМАТЛИТ, 2014.