Выпуклые конусы и их свойства

Будем рассматривать произвольное векторное пространство \(V\) над некоторым полем чисел \(\mathcal{F}\), в котором существует понятие "положительного" числа. Примерами таких полей являются рациональные числа \(\mathbb{Q}\) или вещественные числа \(\mathbb{R}\).

Определение

Множество \(C \subseteq V\) называется выпуклым конусом, если для любых векторов \(x, y \in C\) и положительных скаляров \(\alpha, \beta \in \mathcal{F}\) справедливо включение \(\alpha x + \beta y \in C\).

Как видно из определения, любое собственное подпространство \(V' \subset V \) и само пространство \(V\) являются выпуклыми конусами. Также будем полагать, что пустое множество \(\varnothing\) является выпуклым конусом.

Свойства

1. Если \(C\) — выпуклый конус, то \(C \cup \{ \mathbb{0} \}\) также является выпуклым конусом.
2. Выпуклый конус является выпуклым множеством.
3. Если \(C\) — выпуклый конус, то \(\overline{C}\) и \(\operatorname{int} C\) также являются выпуклыми конусами.
4. Любой выпуклый конус, содержащий хотя бы один ненулевой вектор, является неограниченным множеством.
5. Класс выпуклых конусов замкнут относительно любых линейных отображений.
6. Если \(C_i, i \in I\) — выпуклые конусы, то \(\bigcap_{i \in I} C_i\) также является выпуклым конусом, то есть выпуклые конусы образуют замкнутое семейство по операции пересечения.
7. Выпуклый конус может иметь не более одной крайней точки, которая может быть только его вершиной (нулевой вектор).

Связанные понятия

Первое свойство позволяет корректно определить размерность лезвия произвольного непустого \(C\) — \(\operatorname{dim} ((C \cap -C) \cup \{ \mathbb{0} \}).\)

В случае, если конус \(C\) замкнут, очевидно включение \(\mathbb{0} \in C\), но если конус \(C\) открыт, то множество \(C \cap -C\) может быть пустым, и, как следствие, не быть векторным пространством. Если \(C \cap -C\) непусто, то его принято называть наибольшим линейным пространством, содержащимся в \(C\), или лезвием.

Если \(\mathbb{0} \not\in C\), то конус \(C\) называется заострённым, а в противном случае — затупленным. В литературе иногда такие конусы называются острыми и тупыми соответственно, однако данные термины используются и для определения других свойств замкнутых конусов в зависимости от контекста.

Выпуклый конус называется замкнутым, если он замкнут как множество.

Замкнутый выпуклый конус называется острым, если он имеет тривиальное лезвие \(\{ \mathbb{0}\}\), и тупым в противном случае. Заметим, что для замкнутых выпуклых конусов понятие лезвия корректно определено, поскольку \(\mathbb{0} \in C \cap -C\).

Аналогичное определение можно ввести, используя понятие размерности лезвия: замкнутый выпуклый конус называется острым, если он имеет нулевую размерность лезвия, и тупым в противном случае. В литературе такие конусы иногда называют выступающими(строго выпуклым) и плоскими соответственно.

Размерностью выпуклого конуса \(C\) называется размерность наименьшего векторного подпространства \(C - C = \{ x - y| x, y \in C\}\), содержащего данный конус.

Выпуклый конус называется воспроизводящим, если \(C - C = V\).

Сопряжённый конус

Рассмотрим произвольный конус \(C\) в пространстве \(V\). Сопряжённым (или двойственным) конусом \(C^*\) к конусу \(C\) в сопряжённом пространстве \(V^*\) называется множество \(C^* = \{ x^* \in V^*| \forall x \in V: \left<x, x^*\right> \geqslant 0 \}\), где под \(\left< \cdot, x^*\right>\) понимается действие линейного оператора \(x^*\) из сопряжённого пространства. Перечислим несколько важных свойств сопряжённого конуса.

• Сопряжённый конус всегда является выпуклым и замкнутым (следует из знака нестрого неравенства в определении двойственного конуса).
• \(C \subseteq C^{**}\), причём \(C = C^{**}\) тогда и только тогда, когда \(C\) замкнут.
• Если \(C\) представляет собой некоторое подпространство \(V\), то сопряжённый конус \(C^*\) представляет собой ортогональное дополнение \(C\), то есть \(C^* = C^{\perp}\).

Нахождение сопряжённого конуса является важной задачей для приложений и, в частности, для задач линейного программирования при построении двойственных задач. Приведём несколько важных формул для вычисления сопряжённого конуса.

• пусть заданы выпуклые конусы \(C_1, \dots, C_n\) такие, что \(\bigcap_{i = 1}^n \operatorname{int} C_i \not= \varnothing\). Тогда \(\left( \bigcap_{i = 1}^n C_i\right)^* = \sum_{i = 1}^n C^*_i\).
• пусть заданы выпуклые замкнутые конусы \(C_1, \dots, C_n\). Тогда \(\left( \sum_{i = 1}^n C_i\right)^* = \bigcap_{i = 1}^n C^*_i\).
• лемма Фаркаша: пусть \(C = \{ x \in \mathbb{R}^n: Ax = 0, Bx \geqslant 0\}\), \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\), \(B \in \mathbb{R}^{k\times n}\). Тогда \(C^* = \{ y \in \mathbb{R}^n: y = A^T \lambda + B^T \mu, \lambda \in \mathbb{R}^m, \mu \in \mathbb{R}^k_+\}\).

Примеры

• Тривиальными примерами выпуклых конусов являются подпространства \(V\), а также пустое множество \(\varnothing\).
• Коническая оболочка набора векторов: пусть \(S = \{ x_i\} \subset V\) — конечный или бесконечный набор векторов из \(V\). Тогда их коническая оболочка \(\operatorname{cone} S = \{ \sum_i \alpha_i x_i: x_i \in S, \alpha_i \in \mathbb{R}_+ = \{ x \in \mathbb{R}: x \geqslant 0\}\}\) есть множество всевозможных конических комбинаций векторов из набора.

• Конус нормы в \(\mathbb{R}^n\) \(C_{||\cdot ||} = \{ (x, r) \in \mathbb{R}^{n+1}: ||x|| \leqslant r\}.\)

• Коническая оболочка произвольного множества — наименьший выпуклый конус, содержащий заданное множество. Аналогично конической оболочке набора векторов, она определяется как множество всех конических комбинаций всевозможных наборов векторов из рассматриваемого множества:\[\operatorname{cone} S = \{ \sum_i^n \alpha_i x_i: x_i \in S, \alpha_i \in \mathbb{R}_+, n \in \mathbb{N}\}.\]

Также коническая оболочка удовлетворяет следующему равенству:\[\operatorname{cone} S = \bigcup_{\mu \geqslant 0} (\mu \operatorname{conv} S),\] где \(\operatorname{conv} S\) — выпуклая оболочка \(S\). Несмотря на тесную связь с понятием выпуклой оболочки, неограниченность конуса в общем случае означает, что коническая оболочка компактного множества может не быть компактом. Более того, она может быть даже незамкнутой. Например, коническая оболочка шара в \(\mathbb{R}^n\), имеющего начало координат в качестве граничной точки, есть открытое полупространство в объединении с началом координат.

Литература

1. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — ФИЗМАТЛИТ, 2007.
2. Арутюнов А.В. Лекции по выпуклому и многозначному анализу. — ФИЗМАТЛИТ, 2014.