Просмотр кода страницы Предельное поведение траекторий. Предельные циклы. Теорема Дюлака-Бендиксона

__TOC__

=Предельное поведение траекторий=
Рассмотрим [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамическую систему]
\[
 \begin{cases}
  \dot{u} = f(u), \\
  u(0) = u_0.
  \label{*} \tag{*}
 \end{cases}
    u \in U \subset \mathbb{R}^n.
\]

[[Файл:Stable cycle.png|мини|Пример устойчивого цикла]]

[[Файл:Non stable cycle.png|мини|Пример неустойчивого цикла]]

[[Файл:Semi Stable cycle.png|мини|Пример полуустойчивого цикла_1]]

[[Файл:Semi Stable2.png|мини|Пример полуустойчивого цикла_2]]


'''Определение.'''
Кривая $$\gamma$$ - предельный цикл \eqref{*}, если
# $$\gamma$$ - траектория системы,
# $$\gamma$$ - замкнутая кривая,
# в малой окрестности $$\gamma$$ нет других замкнутых траекторий.

Предельные циклы могут быть трёх видов
# устойчивые
# неустойчивые
# полуустойчивые.


''' Определение.''' 
$$u^{*}$$ - предельная точка системы \eqref{*}, если $$\exists \{ t_k \} : ~ t_k \to \infty$$ при  $$k \to \infty$$ - последовательность моментов времени и начальное условие $$u_0$$:
\[
  \lim\limits_{k \to \infty} u(t_k, u_0) = u^{*}.
\]
Если $$t_0 < t_1 < \ldots < t_n < \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\omega$$-предельная точка. <br>
Если же $$t_0 > t_1 > \ldots > t_n > \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\alpha$$-предельная точка,

'''Определение''' Инвариантное множество $$L$$ относительно системы \eqref{*} - множество точек $$\hat{x}: \forall \hat{x} \in L ~ x(t,\hat{x}) \in L,~ \forall t \geqslant 0$$.

'''Определение.''' 
Предельное множество $$w_{lim}(u_0)$$ - совокупность всех предельных точек.

'''Свойства предельного множества $$ w_{lim}(u_0):$$'''
# Предельное множество является замкнутым(точечным) множеством
# Предельное множество является инвариантным и состоит из целых траекторий.
# Для того, чтобы $$w_{lim}(u_0)$$ состояло из единственной точки необходимо и достаточно, чтобы вся траектория стремилась к $$ x^{*} \equiv w_{lim}(u_0),~ x(t,x_0) \to x^{*} $$ при $$ t \to +\infty$$.
# Чтобы $$w_{lim}(u_0) = \varnothing$$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось $$ \sum\limits_{i=1}^n x_i^2(t, x_0) \to +\infty$$ при $$ t \to +\infty$$.

''' Необходимое условие инвариантности:'''
Пусть у нас есть вектор-функция  $$f$$ из задачи \eqref{*}.
Рассмотрим область $$D$$ с гладкой границей $$\partial D$$ и вектор нормали $$n$$: <br>
Если $$ <f, n> \leqslant 0$$ выполняется для любой точки на границе $$\partial D$$, то область $$D$$ инвариантна относительно \eqref{*}.

=Теорема Дюлака-Бендиксона=

Теперь рассмотрим двумерную область $$(x_1, x_2) \in D \subset \mathbb{R}^2$$ и в ней систему
\[
 \begin{cases}
  \dot{x_1} = f_1(x_1, x_2), \\
  \dot{x_2} = f_2(x_1, x_2).
  \label{**} \tag{**}
 \end{cases}
\]
Далее будут рассматриваться случаи, где $$D$$ - односвязная область.

Для доказательства теоремы нам потребуется Формула Грина, напомним, что это такое. <br>
Пусть у нас есть некоторая вектор-функция $$(P(x,y), Q(x,y))$$

\[
 \int\limits_{\partial D} \Big(P(x,y) dx +  Q(x,y) dy \Big) = 
 \iint\limits_{D} \Big( \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \Big)dxdy
 \tag{G} \label{Формула Грина}
\]

'''Теорема Дюлака-Бендиксона.'''
Если $$div f = \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2}$$ знакоопределена, то есть либо $$div f > 0$$, либо $$div f < 0$$ в области $$D$$, тогда в $$D$$ нет замкнутых траекторий системы \eqref{**}.

'''Доказательство:'''
Доказательство будет построено от противного. <br>

Предположим обратное, пусть в $$D$$ существует замкнутая траектория (будет обозначать её $$\gamma$$, а область, соответствующую ей - $$\Gamma$$). <br>
В равенстве \eqref{Формула Грина} возьмём 
\[
 Q(x_1,x_2) = f_1(x_1,x_2), \\
 P(x_1,x_2) = - f_2(x_1,x_2).
\]

\[
 \int\limits_{\partial \gamma} \Big(P(x_1,x_2) dx_1 +  Q(x_1,x_2) dx_2 \Big) = 
 \iint\limits_{\Gamma} \Big( \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2} \Big)dx_1 dx_2 = \iint\limits_{\Gamma} div f dx_1 dx_2.
 \tag{G1} \label{G1}
\]
С другой стороны, воспользуемся \eqref{**} и перепишем левую часть равенства \eqref{G1}
\[
 \int\limits_{\partial \gamma} \Big(-f_2(x_1,x_2) f_1(x_1,x_2) dt +  f_1(x_1,x_2) f_2(x_1,x_2) dt \Big) = 0.
\]
Таким образом, мы получаем противоречие со знакоопределенностью $$div f$$. <br>
Следовательно, в $$D$$ нет замкнутых траекторий \eqref{**}.

'''Теорема доказана'''

= Список литературы =
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.