Просмотр кода страницы Теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.