Просмотр кода страницы Циклы в системах с дискретным временем. Теорема Шарковского

__TOC__
==Понятие цикла==
Пусть задана следующая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамическая система] с дискретным временем::
<math>
\begin{equation} 
        \begin{cases}
        v_{t+1}=f(v_t),\ \ t=0,1,2,...\\
	v|_{t=0}=v_0,
	\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>
где <math> f: v \mapsto f(v),\  v\in{U}\subset\mathbb R^n,\  f:U\to U </math>.<br>
<br>
<br>
'''''Определение 1.''''' Несовпадающие точки <math>v_1,v_2,...,v_k</math> фазового пространства системы <math>(\ref{sys1})</math> образуют '''цикл длины''' <math>k</math>, если <math>f(v_1)=v_2,\ f(v_2)=v_3,...,\ f(v_{k-1})=v_k,\ f(v_k)=v_1</math>.
<br>
Обозначим за <math>f^k</math> <math>k</math>-ю степень отображения <math>f</math>: $$f^k(v) = \overbrace{f(f(...f(f}^{k\ раз}(v))))$$. Тогда если в системе <math>(\ref{sys1})</math> есть цикл длины <math>k</math>, где <math> v_i</math> — неподвижные точки этого цикла, <math>i\in\overline{1,k}</math>, то:
# <math>f(v_i)=f^{i-1}(v_1)</math>, то есть любая точка цикла получается из первой (вообще говоря, любой) его точки несколькими итерациями применения отображения <math>f</math>;
# <math>f^k(v_i)=v_i</math>, что как раз показывает цикличность этого отображения — через <math>k</math> итераций мы возвращаемся в ту же точку, откуда стартовали, вне зависимости от самой точки.

==Устойчивость цикла==
Свойство устойчивости цикла неразрывно связано с терминами устойчивости составляющих его точек.
<br>
<br>
'''''Определение 2.'''''
Цикл длины <math>k</math> называют '''устойчивым''', если устойчивы составляющие его [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B неподвижные точки] отображения <math>f^k</math>.
<br>
<br>
Вычислим для начала для <math>1</math>-й неподвижной точки <math>v_1</math> производную отображения <math>f^k</math>::
<math>(f^k(v_1))'=\left(f(f^{k-1}(v_1))\right)'=[по\ формуле\ производной\ сложной\ функции]=
f'(f^{k-1}(v_1)) \cdot (f^{k-1}(v_1))' = f'(f^{k-1}(v_1)) \cdot f'(f^{k-2}(v_1)) \cdot (f^{k-2}(v_1))' =
</math>
:
<math>
=\ ...\ = f'(\overbrace{f^{k-1}(v_1)}^{v_k}) \cdot f'(\overbrace{f^{k-2}(v_1)}^{v_{k-1}}) \cdot ... \cdot f'(v_1)\ =\ f'(v_k)f'(v_{k-1}) \cdot ... \cdot f'(v_1).
</math>

Как уже было описано выше, рассматриваемая конструкция обладает свойством цикличности. Это можно переформулировать как симметричность цикла относительно любой его точки. Поэтому будет получен тот же результат, если будем считать производную <math>f^k</math> не в точке <math>v_1</math>, а в любой другой точке цикла. Также не стоит забывать, что для проверки неподвижной точки на устойчивость необходимо взять модуль полученной производной и сравнить его с единицей.
<br>
<br>
Таким образом, для проверки цикла на устойчивость проводится следующее сравнение::
<math>|f'(v_k)f'(v_{k-1})...f'(v_1)|\vee 1.</math>
Выводы о характере устойчивости, в зависимости от полученного неравенства, можно сделать следующие:
# если получен знак $$<$$, то устойчивость цикла асимптотическая;
# если получен знак $$>$$, то цикл является неустойчивым;
# в противном случае, если получен знак равенства, то требуются дополнительные исследования устойчивости цикла.

==Теорема Шарковского==
При анализе существования циклов разных длин полезна теорема [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9,_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80_%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87 Шарковского]. Прежде, чем её формулировать, введём упорядочивание всех натуральных чисел особым образом:
<br>
<br>
	$$
	\begin{array}{ll}
  		3\succ5\succ7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, кроме 1} \\
  		\succ 2\cdot3\succ2\cdot5\succ2\cdot7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, умноженные на 2, кроме 1} \\
  		\succ 2^2\cdot3\succ2^2\cdot5\succ2^2\cdot7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, умноженные на } 2^2\text{, кроме 1} \\
  		\succ 2^3\cdot3\succ2^3\cdot5\succ2^3\cdot7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, умноженные на } 2^3\text{, кроме 1} \\
  		\succ...\succ & \\
  		\succ2^3\succ2^2\succ2\succ1. &
	\end{array}
	$$
<br>
<br>
	'''''Определение 2.''''' Такое упорядочивание называют упорядочиванием '''по Шарковскому'''.
<br>
<br>
	'''''Теорема Шарковского.'''''
	Пусть функция <math>f</math>, задающая систему <math>(\ref{sys1})</math>, [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F непрерывна]. Если в такой дискретной динамической системе есть цикл длины <math>k</math>, то в ней есть и циклы любых длин, стоящих после <math>k</math> в порядке по Шарковскому.
<br>
Доказательство этой теоремы можно найти в [https://www.math.arizona.edu/~dwang/BurnsHasselblattRevised-1.pdf].
<br>
<br>
'''''Замечание.''''' Теорема Шарковского ничего не говорит об устойчивости каких-либо циклов в исследуемой системе.
<br>
<br>
	'''''Следствие 1.'''''
	Если в системе есть цикл длины <math>3</math>, то есть и цикл любой другой длины, что рождает хаос в системе.
<br>
<br>
	'''''Следствие 2.'''''
	Если в системе нет циклов длины <math>2</math>, то циклы в системе отсутствуют вовсе.
<br>
<br>
	Поэтому на начальном этапе исследования системы на наличие циклов особый интерес представляют циклы именно этих длин.

==Пример исследования системы на предмет циклов==
[[Файл:F(f(u)), r = 2, 3 экстремума.png|мини|3 точки экстремума функции f(f(v)), значение параметра r=2.]]
[[Файл:F(f(v)), r = 1.5, 3 экстремума.png|мини|3 точки экстремума функции f(f(v)), значение параметра r=1.5.]]
[[Файл:F(f(u)), r = 2, 1 экстремум.png|мини|1 точка экстремума функции f(f(v)), значение параметра r=1.2.]]
Продемонстрируем применение определения цикла на отображении, относящемся к классу так называемых [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8_%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&action=edit&redlink=1 ''логистических отображений'']. Рассматриваемое нами задаётся следующим уравнением::
<math> v_{t+1} = rv_t(1-v_t^3).</math>
Уравнение для поиска [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B ''неподвижной точки''] тогда будет выглядеть следующим образом::
<math>v^* = rv^*(1-{v^*}^3).</math>

Решим это уравнение::
<math>
v^*(1 - r + r{v^*}^3) = 0 \Leftrightarrow
\left[
    \begin{array}{l}
    v^* = 0, \\
    v^* = \sqrt[3]{1-\frac{1}{r}}. \\
    \end{array}\right.
</math>
Таким образом, получены две неподвижные точки: $$v^*_1 = 0,\ v^*_2 = \sqrt[3]{1-\frac{1}{r}}$$.
<br>
===== Наличие цикла длины 2 =====
Для проверки наличия цикла длины $$2$$ необходимо решить уравнение $$f(f(v))=v$$, причем найти корни, не совпадающие с уже найденными $$v_1^*$$ и $$v_2^*$$.:
<math>
	f(f(v))=v \ \ \Rightarrow \ \ r\left(rv\left(1-v^3\right)\right)\left(1-\left(rv\left(1-v^3\right)\right)^3\right)=v \ \ \Rightarrow
	 \ \ v\left( r^2\left(1-v^3\right)\left(1-\left(rv\left(1-v^3\right)\right)^3\right) - 1  \right) = 0.
</math>
	Аналитическое получение решения данного уравнения достаточно трудоёмко. В таких случаях помогает качественный анализ функции $$g(v)=f(f(v))$$. Её производная по $$v$$ после упрощений выглядит следующим образом::
<math>
	\frac{\partial g(v)}{\partial v} = r^2 v (1 - v^3) (1 - (r v (1 - v^3))^3).
</math>
	Она всегда обращается в ноль при $$v=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$$ — в этой точке всегда будем иметь экстремум функции $$g(v)=f(f(v))$$. Два других возникают по разные стороны от $$v=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$$ при $$r>\frac{4}{3}$$. При $$r\in(0,\frac{4}{3}]$$ у $$g(v)$$ всего $$1$$ экстремальная точка. На графиках справа наглядно представлено изменение количества точек, где производная обращается в $$0$$, в зависимости от $$r$$.
<br>
<br>
Вернемся к уравнению $$g(v)=v$$. У него всегда есть $$2$$ решения, совпадающих с $$v_1^*$$ и $$v_2^*$$. Значит, для существования цикла длины $$2$$ необходимо существование ещё двух действительных решений этого уравнения. При этом из проведенного исследования видно, что $$r$$ должно быть как минимум больше $$\frac{4}{3}$$, иначе будет только $$2$$ пересечения с биссектрисой первой координатной четверти — в уже упомянутых точках. Численно можно установить, что при $$r>\tilde{r}\approx \frac{5}{3}$$ решений у рассматриваемого уравнения будет уже $$4$$. Значит, при таких $$r$$ в системе будет образовываться цикл длины $$2$$. При $$r\leqslant\tilde{r}$$ цикла длины $$2$$ образовываться не будет. 
<br>
<br>
Приведём пример цикла длины $$2$$ при $$r=2$$. Его составляют две точки:
$$v_{1}' = \frac{1}{2} \sqrt[3]{7 - \sqrt{13} - \sqrt{2 (\sqrt{13} - 1)}}$$ и $$v_{2}' = \frac{1}{2} \sqrt[3]{7 - \sqrt{13} + \sqrt{2 (\sqrt{13} - 1)}}$$. Этот случай проиллюстрирован на графике ниже.
<br>
[[Файл:Цикл длины 2 в примере, r=2.png|мини|центр|Наличие цикла длины 2 при r=2. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(v)).]]
<br>

===== Устойчивость цикла длины 2 =====
Проверим цикл длины $$2$$ системы на устойчивость. Для этого надо исследовать функцию $$q(v, r) = f'(v_{r,1}')f'(v_{r,2}')$$ (где $$v_{r,i}'$$ — $$i$$-я точка цикла, записанная в общем виде для произвольного $$r$$) и проверим, при каких $$r$$ она будет лежать в отрезке $$[-1,1]$$. Значения $$r$$ берутся из луча $$(\frac{5}{3},+\infty)$$ — при этих значениях параметра существует цикл длины $$2$$.
<br>
<br>
В данном примере цикл длины $$2$$ неустойчив на всей области определения, поскольку $$|q(v, r)| > 60\ \forall r$$ из описанного промежутка, что нетрудно проверить. В качестве иллюстрации неустойчивости цикла при $$r=2$$ приведен рисунок ниже, где в качестве начальной точки взята точка $$\tilde{v} = v_{1}' - 0.01$$. При небольшом смещении от начального положения цикла траектории не приближаются к траекториям цикла.
[[Файл:Неустойчивость цикла длины 2, r=2.png|мини|центр|Неустойчивость цикла длины 2 при r=2. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(v)).]]

===== Наличие цикла длины 3 =====
[[Файл:Цикл длины 3 в примере, r=1.981.png|мини|справа|Наличие цикла длины 3 при r=1.981. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(f(v))).]]
Аналогично действиям при нахождении цикла длины $$2$$, необходимо найти решения уравнения $$f^{(3)}(v)=v$$, не совпадающие с неподвижными точками заданной системы. Аналитически это уравнение решается достаточно сложно, поэтому полезным будет применить графический подход, аналогичный уже рассмотренному. 
<br>
<br>
При $$r\approx \overline{r}=1.981$$ график $$f^{(3)}(v)$$ касается $$h(v)=v$$ в $$3$$-х точках одновременно. При этом возникает цикл длины $$3$$ (график справа), состоящий из точек $$\{0.3383,0.6442,0.9352\}$$. При $$r\in(1,\overline{r})$$ в заданной системе цикла длины $$3$$ не существует. 
<br>
<br>
Если $$r>\overline{r}$$, то решений у исследуемого нами уравнения будет $$6$$. При таких значениях параметра будут образовываться $$2$$ цикла длины $$3$$. На графиках ниже представлены $$2$$ цикла для $$r=2.06$$: $$\{0.277252,0.558967,0.950372\},$$ и $$\{0.366477,0.717785,0.931817\}$$.
[[Файл:Циклы длины 3 в примере, r=2.06.png|600px|мини|центр|Наличие двух циклов длины 3 при r=2.06. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(f(v))).]]

===== Устойчивость цикла длины 3 =====
Для проверки цикла длины $$3$$ на устойчивость проведем аналогичные анализу на устойчивость цикла длины $$2$$ действия. Исследуется функция $$q(v, r) = f'(v_{r,1}')f'(v_{r,2}')f'(v_{r,3}')$$, ищутся такие $$r$$, при которых её значения будут лежать в отрезке $$[-1,1]$$.
<br>
Проведя эти рассуждения, получается, что при $$r\in[1.981,+\infty)$$ циклы длины $$3$$ будут неустойчивыми. Это иллюстрирует рисунок справа — траектории цикла, выпущенного вблизи одной из его точек (из $$v=0.28$$) не приближаются к траекториям цикла, наблюдаемого на предыдущем рисунке.
[[Файл:Неустойчивость цикла длины 3, r=2.06.png|мини|центр|Неустойчивость цикла длины 3 при r=2.06. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(v)).]]

===== Существование циклов других длин =====
Согласно приведенной ранее теореме Шарковского и её следствиям, в рассматриваемой системе имеются циклы всех возможных длин при соответствующих им значениях параметра $$r$$, так как существует цикл длины $$3$$. При этом из существования цикла длины $$3$$ действительно следует существование цикла длины $$2$$ — область существования цикла длины $$3$$ входит в область существования в системе цикла длины $$2$$.

==Список литературы==
# К. Бернс, Б. Хассельблатт, [https://www.math.arizona.edu/~dwang/BurnsHasselblattRevised-1.pdf "Теорема Шарковского: естественное прямое доказательство"], 2008.
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011