Фундаментальная матрица Коши: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Alice1 (обсуждение | вклад) |
Alice1 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 28: | Строка 28: | ||
# Рассмотрим $$I=X(t,\tau)X(\tau,t)$$. <br> Продифференцируем по $$\tau$$: $$0=\frac{\partial X(t,\tau)}{\partial\tau}X(\tau,t)+X(t,\tau)\frac{\partial X(\tau,t)}{\partial\tau}$$. При этом $$\frac{\partial X(\tau,t)}{\partial\tau} = A(\tau)X(\tau,t)$$. <br> Отсюда следует, что $$\frac{\partial X(t,\tau)}{\partial\tau}=-X(t,\tau)A(\tau)$$. | # Рассмотрим $$I=X(t,\tau)X(\tau,t)$$. <br> Продифференцируем по $$\tau$$: $$0=\frac{\partial X(t,\tau)}{\partial\tau}X(\tau,t)+X(t,\tau)\frac{\partial X(\tau,t)}{\partial\tau}$$. При этом $$\frac{\partial X(\tau,t)}{\partial\tau} = A(\tau)X(\tau,t)$$. <br> Отсюда следует, что $$\frac{\partial X(t,\tau)}{\partial\tau}=-X(t,\tau)A(\tau)$$. | ||
# $$S(t,\tau)=X^T(\tau,t)$$ <br> $$\frac{\partial S(t,\tau)}{\partial t}=-A^T(t)S(t,\tau)$$ <br> $$\frac{\partial X(\tau,t)}{\partial t}=-X(\tau,t)A(t)$$ <br> $$\Rightarrow S(t)=-A^T(t)S(t)$$ - '''сопряжённая система'''. | # $$S(t,\tau)=X^T(\tau,t)$$ <br> $$\frac{\partial S(t,\tau)}{\partial t}=-A^T(t)S(t,\tau)$$ <br> $$\frac{\partial X(\tau,t)}{\partial t}=-X(\tau,t)A(t)$$ <br> $$\Rightarrow S(t)=-A^T(t)S(t)$$ - '''сопряжённая система'''. | ||
| + | |||
| + | == Нахождение == | ||
| + | Один из возможных способов нахождения фундаментальной матрицы можно найти на вкладке [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0 "Приложение преобразования Лапласа"] | ||
Версия 14:02, 4 декабря 2020
Фундаментальная матрица системы линейных однородных дифференциальных уравнений - матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений этой системы.
Определение
Фундаментальная матрица Коши $$X(t,\tau)$$ - решение задачи Коши \[ \left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau),\\ & X(\tau,\tau) = I. \end{aligned} \right. \]
$$X(t,\tau) = [x^1(t,\tau),\ldots,x^n(t,\tau)]$$, где $$x^j$$ - решение \[ \left\{ \begin{aligned} & \dot x(t) = A(t)x(t),\\ & x(t_0)=x^0. \end{aligned} \right. \]
Свойства
- Полугрупповое свойство: $$X(t,\tau) = X(t,s)X(s,\tau)$$.
$$\left\{ \begin{aligned} & \dot x(t)=A(t)x(t),\\ &x(\tau)=\xi. \end{aligned} \right.$$
$$\qquad \Downarrow$$
$$x(t)=X(t,\tau)\xi \Rightarrow \begin{aligned} & x(t) = X(t,s)x(s)\\ & x(s)=X(s,\tau)\xi \end{aligned} \Rightarrow X(t,\tau)\xi = X(t,s)X(s,\tau)\xi \quad \forall \xi.$$ - $$\tau = t$$
$$I=X(t,s)X(s,t)$$
$$X(s,t)=X^{-1}(t,s)$$ - Рассмотрим $$I=X(t,\tau)X(\tau,t)$$.
Продифференцируем по $$\tau$$: $$0=\frac{\partial X(t,\tau)}{\partial\tau}X(\tau,t)+X(t,\tau)\frac{\partial X(\tau,t)}{\partial\tau}$$. При этом $$\frac{\partial X(\tau,t)}{\partial\tau} = A(\tau)X(\tau,t)$$.
Отсюда следует, что $$\frac{\partial X(t,\tau)}{\partial\tau}=-X(t,\tau)A(\tau)$$. - $$S(t,\tau)=X^T(\tau,t)$$
$$\frac{\partial S(t,\tau)}{\partial t}=-A^T(t)S(t,\tau)$$
$$\frac{\partial X(\tau,t)}{\partial t}=-X(\tau,t)A(t)$$
$$\Rightarrow S(t)=-A^T(t)S(t)$$ - сопряжённая система.
Нахождение
Один из возможных способов нахождения фундаментальной матрицы можно найти на вкладке "Приложение преобразования Лапласа"
