Приложения преобразования Лапласа

Приведем основные формулы и свойтсва, используемые для решения дифференциальных уравнений и вычисления матричных экспоненциалов с помощью преобразования Лапласа:

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций:

• $$x(t) \supset \frac{1}{p}$$
• $$x(t)t^n \supset \frac{n!}{p^{n+1}}$$
• $$x(t)t^{\alpha}e^{\beta t} \supset \frac{n!}{(p-\beta)^{n+1}}, \beta \in \mathbb{C}$$
• $$x(t)t^{\alpha}\cos{\omega t} \supset \frac{\varGamma (\alpha + 1)}{2}\left(\frac{1}{(p-\omega i)^{\alpha+1}} + \frac{1}{(p+\omega i)^{\alpha+1}} \right)$$
• $$x(t)t^{\alpha}\sin{\omega t} \supset \frac{\varGamma (\alpha + 1)}{2}\left(\frac{1}{(p-\omega i)^{\alpha+1}} - \frac{1}{(p+\omega i)^{\alpha+1}} \right)$$
• $$x(t)\sin{\omega t} \supset \frac{\omega}{p^2 + \omega^2}$$
• $$x(t)\cos{\omega t} \supset \frac{p}{p^2 + \omega^2}$$
• $$x(t)e^{\beta t}\sin{\omega t} \supset \frac{\omega}{(p-\beta)^2 + \omega^2}$$
• $$x(t)e^{\beta t}\cos{\omega t} \supset \frac{p-\beta}{(p-\beta)^2 + \omega^2}$$
• $$x(t)e^{\beta t} \supset \frac{1}{p-\beta}$$
• $$x(t)\operatorname{sh}{\omega t} \supset \frac{\omega}{p^2 - \omega^2}$$
• $$x(t)\operatorname{ch}{\omega t} \supset \frac{p}{p^2 - \omega^2}$$
• $$x(t)e^{\beta t}\operatorname{sh}{\omega t} \supset \frac{\omega}{(p-\beta)^2 - \omega^2}$$
• $$x(t)e^{\beta t}\operatorname{ch}{\omega t} \supset \frac{p-\beta}{(p-\beta)^2 - \omega^2}$$,
  $$\text{где } x(t)$$ - функция Хевисайда.

Свойства:

• $$f(at) \supset \frac{1}{a}F(\frac{p}{a}) \, , \, a > 0$$
• $$\frac{1}{b}\,f(\frac{t}{b}) \supset F(pb) \, , \, b > 0 \,;\, b=\frac{1}{a}$$
• $$x(t-a)f(t-a) \supset e^{-ap}F(p)$$
• $$x(t)f(t+a) \supset e^{ap}\left(F(p)-\int\limits_0^a f(t)e^{-pt} dt \right) $$
• $$x(t)e^{\beta t} \supset F(p+\beta)$$

Дифференцируемость:

• $$f^{(k)}(t) \supset p^{k}F(p) - p^0f^{(k-1)}(0) - pf^{(k-2)}(0) - \ldots - p^{k-1}f(0)$$
• $$x(t)(-t)^k \supset F^{(k)}(p)$$

Интегрируемость:

• $$\int\limits_0^t f(\tau) d\tau \supset \frac{F(p)}{p}$$
• $$\frac{f(t)}{t} \supset \int\limits_0^{+\infty}F(z) dz$$

Примеры:

Нахождение фундаментальной матрицы:

\( \dot X = AX\, , \, X \in \mathbb{R}^{n}, \,A \in \mathbb{R}^{n \times n} \)
X(t) - фундаментальная матрица, если: \(\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{dX}{dt}=AX \\ X(0) = I \end{array} \right. \)
Пусть $$X(t) \leftrightarrow Y(p)$$, тогда преобразуем систему по Лапласу $$\Rightarrow$$
$$\Rightarrow PY-I=AY \Rightarrow Y = (PI-A)^{-1}$$

Пример:

\(\left\{ \begin{array}{} \dot X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}X \\ X(0) = I \end{array} \right.,\quad Y = \begin{pmatrix} p-1 & -2 \\ 3 & p-1 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{(p-1)^2+6}\begin{pmatrix} p-1 & 2 \\ -3 & p-1 \end{pmatrix} \)
От каждого элемента матрицы Y нужно вычислить преобразование Лапласа, и получим:
\( X(t) = \begin{pmatrix} e^t\cos{\sqrt{6}t} & \frac{2}{\sqrt{6}}e^t\sin{\sqrt{6}t} \\ -\frac{3}{\sqrt{6}}e^t\sin{\sqrt{6}t} & e^t\cos{\sqrt{6}t} \end{pmatrix} \)

Решение дифференциальных уравнений:

Неоднородное дифференциальное уравнение:

\( \left\{ \begin{array}{} x''(t) + x(t) = 2\cos{t} \\ x(0) = 0, \, x'(0) = -1 \end{array} \right. \\ x(t) \supset X(p) \Rightarrow p^2X + 1 + X = 2\frac{p}{p^2+1} \\ X(p^2+1) = \frac{2p}{p^2+1}-1 \\ X(p) = \frac{2p}{(p^2+1)^2} - \frac{1}{(p^2+1)} \subset x(t) = t\sin{t} - \sin{t} \)

Система линейных неоднородных уравнений:

\( \left\{ \begin{array}{} x'(t) -y'(t) - 2x +2y = 1-2t \\ x''(t) + 2y'(t) + x = 0\\ x(0) = y(0) = x'(0) = 0 \end{array} \right. \\ \text{Преобразуем оба уравнение по Лапласу:} \\ \left\{ \begin{array}{} pX - pY -2(X-Y) = \frac{1}{p}-\frac{2}{p^2} \\ p^2X + 2pY + X = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} X-Y = \frac{1}{p^2} \\ p^2X + 2pY + X = 0 \end{array} \right. \\ p^2(Y+\frac{1}{p^2}) + 2pY + Y + \frac{1}{p^2} = 0 \\ Y(p) = -\frac{1}{(p+1)^2} - \frac{1}{p^2(p+1)} = -\frac{2}{(p+1)^2} - \frac{1}{p^2} + \frac{2}{p} - \frac{2}{p+1} \\ X(p) = -\frac{2}{(p+1)^2} + \frac{2}{p} - \frac{2}{p+1} \\ \text{И получим: } \\ X(p) \subset x(t) = -2te^{-t} + 2 - 2e^{-t} \\ Y(p) \subset y(t) = -2te^{-t} - t + 2 - 2e^{-t} \)