Циклы в системах с дискретным временем. Теорема Шарковского: различия между версиями
Taisia23 (обсуждение | вклад) (Новая страница: «==Циклы в системах с дискретным временем== Пусть задана следующая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%...») |
Taisia23 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | Несмотря на кажущуюся простоту, одномерные дискретные динамические системы могут иметь достаточно сложное поведение. В частности, скалярные динамические системы с дискретным временем могут иметь решения в виде циклов. Введём и исследуем понятие цикла в динамической системе с дискретным временем. | |
| + | __TOC__ | ||
| + | ==Понятие цикла== | ||
Пусть задана следующая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамическая система] с дискретным временем:: | Пусть задана следующая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамическая система] с дискретным временем:: | ||
<math> | <math> | ||
| Строка 12: | Строка 14: | ||
'''''Определение 1.''''' Несовпадающие точки <math>v_1,v_2,...,v_k</math> фазового пространства системы <math>(\ref{sys1})</math> образуют '''цикл длины k''', если <math>f(v_1)=v_2,\ f(v_2)=v_3,...,\ f(v_{k-1})=v_k,\ f(v_k)=v_1</math>. | '''''Определение 1.''''' Несовпадающие точки <math>v_1,v_2,...,v_k</math> фазового пространства системы <math>(\ref{sys1})</math> образуют '''цикл длины k''', если <math>f(v_1)=v_2,\ f(v_2)=v_3,...,\ f(v_{k-1})=v_k,\ f(v_k)=v_1</math>. | ||
| + | |||
| + | ===Пример исследования системы на наличие цикла=== | ||
| + | Продемонстрируем применение определения цикла на так называемом [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8_%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&action=edit&redlink=1 ''логистическом отображении'']. Оно задаётся следующим уравнением:: | ||
| + | <math> v_{t+1} = ru_t(1-u_t).</math> | ||
| + | <br> | ||
Версия 21:50, 26 октября 2023
Несмотря на кажущуюся простоту, одномерные дискретные динамические системы могут иметь достаточно сложное поведение. В частности, скалярные динамические системы с дискретным временем могут иметь решения в виде циклов. Введём и исследуем понятие цикла в динамической системе с дискретным временем.
Понятие цикла
Пусть задана следующая динамическая система с дискретным временем:\[
\begin{equation}
\begin{cases}
N_{t+1}=f(N_t),\ \ t=0,1,2,...\\
N|_{t=0}=N_0,
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
\]
где \( f: u \mapsto f(u),\ u\in{U}\subset\mathbb R^n,\ f:U\to U \).
Определение 1. Несовпадающие точки \(v_1,v_2,...,v_k\) фазового пространства системы \((\ref{sys1})\) образуют цикл длины k, если \(f(v_1)=v_2,\ f(v_2)=v_3,...,\ f(v_{k-1})=v_k,\ f(v_k)=v_1\).
Пример исследования системы на наличие цикла
Продемонстрируем применение определения цикла на так называемом логистическом отображении. Оно задаётся следующим уравнением:\[ v_{t+1} = ru_t(1-u_t).\]
