Приложения преобразования Лапласа: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Miron1 (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Приведем некоторые основные формулы, используемые для решения дифференциальных уравне...») |
Miron1 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | Приведем некоторые основные формулы, используемые для решения дифференциальных уравнений и вычисления матричных экспоненциалов с помощью преобразования Лапласа: <br \> | + | Приведем некоторые основные формулы, используемые для решения дифференциальных уравнений и вычисления матричных экспоненциалов с помощью преобразования Лапласа: <br \> |
+ | * $$x(t) \supset \frac{1}{p}$$ | ||
+ | * $$x(t)t^n \supset \frac{n!}{p^{n+1}}$$ | ||
+ | * $$x(t)t^{\alpha}e^{\beta t} \supset \frac{n!}{(p-\beta)^{n+1}}, \beta \in \mathbb{C}$$ | ||
+ | * $$x(t)t^{\alpha}\cos{\omega t} \supset \frac{\varGamma (\alpha + 1)}{2}\left(\frac{1}{(p-\omega i)^{\alpha+1}} + \frac{1}{(p+\omega i)^{\alpha+1}} \right)$$ | ||
+ | * $$x(t)t^{\alpha}\sin{\omega t} \supset \frac{\varGamma (\alpha + 1)}{2}\left(\frac{1}{(p-\omega i)^{\alpha+1}} - \frac{1}{(p+\omega i)^{\alpha+1}} \right)$$ | ||
+ | * $$x(t)\sin{\omega t} \supset \frac{\omega}{p^2 + \omega^2}$$ | ||
+ | * $$x(t)\cos{\omega t} \supset \frac{p}{p^2 + \omega^2}$$ | ||
+ | * $$x(t)e^{\beta t}\sin{\omega t} \supset \frac{\omega}{(p-\beta)^2 + \omega^2}$$ | ||
+ | * $$x(t)e^{\beta t}\cos{\omega t} \supset \frac{p-\beta}{(p-\beta)^2 + \omega^2}$$ | ||
+ | * $$x(t)e^{\beta t} \supset \frac{1}{p-\beta}$$ | ||
+ | * $$x(t)\operatorname{sh}{\omega t} \supset \frac{\omega}{p^2 - \omega^2}$$ | ||
+ | * $$x(t)\operatorname{ch}{\omega t} \supset \frac{p}{p^2 - \omega^2}$$ | ||
+ | * $$x(t)e^{\beta t}\operatorname{sh}{\omega t} \supset \frac{\omega}{(p-\beta)^2 - \omega^2}$$ | ||
+ | * $$x(t)e^{\beta t}\operatorname{ch}{\omega t} \supset \frac{p-\beta}{(p-\beta)^2 - \omega^2}$$ | ||
+ | |||
+ | ===Свойства:=== | ||
+ | *$$f(at) \supset \frac{1}{a}F(\frac{p}{a}) \, , \, a > 0$$ | ||
+ | *$$\frac{1}{b}\,f(\frac{t}{b}) \supset F(pb) \, , \, b > 0 \,;\, b=\frac{1}{a}$$ | ||
+ | *$$x(t-a)f(t-a) \supset e^{-ap}F(p)$$ | ||
+ | *$$x(t)f(t+a) \supset e^{ap}\left(F(p)-\int\limits_0^a f(t)e^{-pt} dt \right) $$ | ||
+ | *$$x(t)e^{\beta t} \supset F(p+\beta)$$ | ||
+ | |||
+ | ====Дифференцируемость==== | ||
+ | *$$f^{(k)}(t) \supset p^{k}F(p) - p^0f^{(k-1)}(0) - pf^{(k-2)}(0) - \ldots - p^{k-1}f(0)$$ | ||
+ | *$$x(t)(-t)^k \supset F^{(k)}(p)$$ |
Версия 18:17, 20 ноября 2020
Приведем некоторые основные формулы, используемые для решения дифференциальных уравнений и вычисления матричных экспоненциалов с помощью преобразования Лапласа:
- $$x(t) \supset \frac{1}{p}$$
- $$x(t)t^n \supset \frac{n!}{p^{n+1}}$$
- $$x(t)t^{\alpha}e^{\beta t} \supset \frac{n!}{(p-\beta)^{n+1}}, \beta \in \mathbb{C}$$
- $$x(t)t^{\alpha}\cos{\omega t} \supset \frac{\varGamma (\alpha + 1)}{2}\left(\frac{1}{(p-\omega i)^{\alpha+1}} + \frac{1}{(p+\omega i)^{\alpha+1}} \right)$$
- $$x(t)t^{\alpha}\sin{\omega t} \supset \frac{\varGamma (\alpha + 1)}{2}\left(\frac{1}{(p-\omega i)^{\alpha+1}} - \frac{1}{(p+\omega i)^{\alpha+1}} \right)$$
- $$x(t)\sin{\omega t} \supset \frac{\omega}{p^2 + \omega^2}$$
- $$x(t)\cos{\omega t} \supset \frac{p}{p^2 + \omega^2}$$
- $$x(t)e^{\beta t}\sin{\omega t} \supset \frac{\omega}{(p-\beta)^2 + \omega^2}$$
- $$x(t)e^{\beta t}\cos{\omega t} \supset \frac{p-\beta}{(p-\beta)^2 + \omega^2}$$
- $$x(t)e^{\beta t} \supset \frac{1}{p-\beta}$$
- $$x(t)\operatorname{sh}{\omega t} \supset \frac{\omega}{p^2 - \omega^2}$$
- $$x(t)\operatorname{ch}{\omega t} \supset \frac{p}{p^2 - \omega^2}$$
- $$x(t)e^{\beta t}\operatorname{sh}{\omega t} \supset \frac{\omega}{(p-\beta)^2 - \omega^2}$$
- $$x(t)e^{\beta t}\operatorname{ch}{\omega t} \supset \frac{p-\beta}{(p-\beta)^2 - \omega^2}$$
Свойства:
- $$f(at) \supset \frac{1}{a}F(\frac{p}{a}) \, , \, a > 0$$
- $$\frac{1}{b}\,f(\frac{t}{b}) \supset F(pb) \, , \, b > 0 \,;\, b=\frac{1}{a}$$
- $$x(t-a)f(t-a) \supset e^{-ap}F(p)$$
- $$x(t)f(t+a) \supset e^{ap}\left(F(p)-\int\limits_0^a f(t)e^{-pt} dt \right) $$
- $$x(t)e^{\beta t} \supset F(p+\beta)$$
Дифференцируемость
- $$f^{(k)}(t) \supset p^{k}F(p) - p^0f^{(k-1)}(0) - pf^{(k-2)}(0) - \ldots - p^{k-1}f(0)$$
- $$x(t)(-t)^k \supset F^{(k)}(p)$$