Поляра множества и ее свойства

Определение

Пусть $$A$$ непустое подмножество $$\mathbb{R}^n$$. Полярой множества $$A$$ называется множество \[ A^{\circ}=\left\{y \in \mathbb{R}^n~|~ \langle x, y \rangle \leqslant 1 , \forall x \in A\right\}. \] Поляра множества $$A^{\circ}$$ называется биполярой $$A$$.

Примеры

$$K_1^\circ = K_\infty, ~K_2^\circ = K_2, ~K_\infty^\circ = K_1$$

Поляра ромба с параметрами $$a = (1,1), c = (1,1)$$

1. $$ (\bar{B}_r(0))^{\circ} = \bar{B}_{1/r}(0)$$, где $$B_r(0)$$ − шар радиуса $$r$$ с центром в нуле;
2. $$ \{0\}^{\circ} = \mathbb{R}^n$$;
3. для $$p \neq 0, \{p\}^{\circ}$$ − замкнутое полупространство:\begin{gather*} \{p\}^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n : \langle x,p \rangle \leqslant 1 \};\end{gather*}
4. если $$A$$ − линейное подпространство, то $$A^{\circ} = A^{\perp}$$;
5. пусть $$R$$ − ромб с центром в точке $$c=(c_1, c_2)$$ и диагоналями длины $$a_1, a_2$$:\begin{gather*} R = \left\{ x \in \mathbb{R}^2~\Big| ~\sum_{i=1}^2\frac{2|x_i-c_i|}{a_i} \leqslant 1 \right\}. \end{gather*} Тогда поляра ромба имеет вид:\begin{gather*} R^{\circ} = \left\{ l \in \mathbb{R}^2~\Big|~ \max_{i=1,2}\frac{|a_il_i|}{2} + \langle l, c \rangle \leqslant 1 \right\}. \end{gather*}
6. Поляра может быть неограниченным множеством. Пример − ромб с параметрами $$a = (1,1), c = (2,2)$$. Из формулы в прошлом примере следует, что границу поляры будет задавать кривая: $$\max\{x(\frac{a_1}{2} + c_1) + yc_2, xc_1 + y(\frac{a_2}{2} + c_2)\} = 1$$.

Свойства

1. Если $$\lambda > 0$$, то $$(\lambda A)^{\circ} = \frac{1}{\lambda}A^{\circ}$$.

2. $$A^{\circ} = \{y \in \mathbb{R}^n | \rho(y,A) \leqslant 1\}$$, где $$\rho$$ — опорная функция.

3. Антимонотонность: если $$A \subset B$$, то $$A^{\circ} \supset B^{\circ}$$.

Следствие 1. Если $$A$$ − ограничено, то $$0 \in \mathrm{int}(A^{\circ})$$.

Доказательство:

$$A$$ ограничено $$\Rightarrow \exists R > 0: A \subset \bar{B}_R(0)$$. Тогда из свойства антимонотонности: $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/R}(0)$$. Тогда $$0 \in \mathrm{int}(A^{\circ})$$. $$\blacksquare$$

Следствие 2. Если $$0 \in \mathrm{int}(A)$$, то $$A^{\circ}$$ ограничено.

Доказательство:

$$0 \in \mathrm{int}(A) \Rightarrow \exists r > 0: \bar{B}_r(0) \subset A$$. Тогда $$A^{\circ} \subset \bar{B}_{1/r}(0) \Rightarrow A^{\circ}$$ − ограничено. $$\blacksquare$$

4. Поляра объединения множеств: $$\forall A,B \subset \mathbb{R}^n, (A \cup B)^{\circ} = A^{\circ} \cap B^{\circ}$$.

Доказательство: \begin{gather*} (A \cup B)^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in (A \cup B), \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in A, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} \cap \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in B, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = A^{\circ} \cap B^{\circ}. \end{gather*} $$\blacksquare$$

Примечание: свойство выполняется в случае бесконечных объединений − пусть $$A = \cup A_i$$, тогда $$(\cup A_i)^{\circ} = \cap A_i^{\circ}$$. Доказывается аналогично.

Следствие: поляра любого множества замкнута, выпукла и содержит 0.

Доказательство:

Представим множество $$A$$ в виде $$A = \cup_{x \in A} \{x\}$$. Тогда $$A^{\circ} = \cap_{x \in A} \{x\}^{\circ}$$ − пересечение замкнутых полупространств, содержащих ноль. $$\blacksquare$$

5. Теорема о биполяре: для того чтобы $$A^{\circ\circ} = A$$, необходимо и достаточно, чтобы $$A$$ было выпуклым замкнутым множеством, содержащим нуль.

Доказательство:

1. Докажем, что $$A \subset A^{\circ\circ}$$. Если $$a \in A$$, то $$\forall b \in A^{\circ}: \langle a,b \rangle \leqslant 1$$. Из определения поляры легко следует, что $$a \in A^{\circ\circ}$$.
2. Докажем, что $$A \supset A^{\circ\circ}$$. Пусть $$\exists p \in A^{\circ\circ} \backslash A$$. Существует гиперплоскость $$H$$, строго отделяющая $$A$$ от $$p$$. Так как $$0 \in A$$, $$0 \notin H$$. Тогда $$H$$ имеет вид

\begin{gather*} H = \{x \in \mathbb{R}^n:\langle x, v \rangle = 1\}, \end{gather*} где $$v \in \mathbb{R}^n$$. Пусть $$H^+ = \{x \in \mathbb{R}^n:\langle x, v \rangle > 1\}$$, $$H^- = \{x \in \mathbb{R}^n:\langle x, v \rangle < 1\}$$. $$0 \in H^- \Rightarrow A \subset H^-, p \in H^+$$. $$A \subset H^- \Rightarrow \langle a, v \rangle < 1, \forall a \in A$$. Поэтому $$ v \in A^{\circ}$$. $$p \in H^+ \Rightarrow \langle p, v \rangle > 1$$. Поэтому $$p \notin A^{\circ\circ}$$, что противоречит начальному предположению.

Операции над множеством, не меняющие поляру

1. $$(A \cup \{0\})^{\circ} = A^{\circ} $$.

Доказательство: $$(A \cup \{0\})^{\circ} = A^{\circ} \cap \{0\}^{\circ} = A^{\circ}$$. $$\blacksquare$$

2. $$(\mathrm{conv}(A))^{\circ} = A^{\circ}$$.

Доказательство: из свойства 2 и равенства $$\rho(y,A) = \rho(y,\mathrm{conv}(A))$$. $$\blacksquare$$

3. ($$\mathrm{cl}(A))^{\circ} = A^{\circ}$$.

Доказательство:

• Докажем, что $$A^{\circ} \subset (\mathrm{cl}(A))^{\circ}$$. Пусть $$p \in \mathrm{cl}(A) \Rightarrow p = \lim_{i \rightarrow \infty} a_i, a_i \in A$$. Рассмотрим скалярное произведение $$\langle x, p \rangle$$, $$\forall x \in A^{\circ}, \forall p \in \mathrm{cl}(A)$$:

\begin{gather*} \langle x, p \rangle = \langle x, \lim_{i \rightarrow \infty} a_i \rangle = \lim_{i \rightarrow \infty} \langle x, a_i \rangle \leqslant 1. \end{gather*} Следовательно, $$A^{\circ} \subset (\mathrm{cl}(A))^{\circ}$$.

• $$A \subset \mathrm{cl}(A)$$, следовательно, по свойству антимонотонности: $$A^{\circ} \supset (\mathrm{cl}(A))^{\circ}$$.

Из этого следует доказываемое утверждение. $$\blacksquare$$

Список литературы

1. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. "Выпуклый анализ и его приложения", М.: Едиториал УРСС, 2003.