Неподвижные точки системы: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показаны 63 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 +
==Случай динамических систем с дискретным временем==
 +
 
Пусть задана динамическая система:
 
Пусть задана динамическая система:
  
 
\begin{equation} \label{sist1}
 
\begin{equation} \label{sist1}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f : U → \mathbb{R}^n,
+
u_{t+1} = f(u_t), u_{t=0}=u_0,\ u_t \in \mathbb{R}^n,\ f : \mathbb{R}^n → \mathbb{R}^n.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Строка 11: Строка 13:
 
(\ref{sist1}) называются такие точки пространства состояний $$u^{∗}$$, что $$f(u^{∗}) = u^{∗}$$.
 
(\ref{sist1}) называются такие точки пространства состояний $$u^{∗}$$, что $$f(u^{∗}) = u^{∗}$$.
  
Кроме термина "неподвижная точка" используют иногда термины "стационарная точка" или "положение равновесия".
+
Кроме термина ''неподвижная точка'' используют иногда термины ''стационарная точка'' или ''положение равновесия''.
  
== Устойчивость неподвижных точек ==
+
===Устойчивость неподвижных точек===
[[Файл:Fig1staticpoints.jpg|мини|300px|$$r=30, b=3$$, система имеет два различных неотрицательных корня.]]
 
[[Файл:Fig2staticpoints.jpg|мини|300px|$$r=0.9, b=7$$, система имеет единственный корень $$v=0$$.]]
 
  
 
Реальная система подвержена внешним воздействиям, она не может находиться все время в одном и том же состоянии.
 
Реальная система подвержена внешним воздействиям, она не может находиться все время в одном и том же состоянии.
Строка 21: Строка 21:
 
ее состояние окажется в некоторой окрестности положения равновесия, то возможны следующие сценарии: траектории
 
ее состояние окажется в некоторой окрестности положения равновесия, то возможны следующие сценарии: траектории
 
могут покинуть эту окрестность, остаться в этой окрестности, или приблизиться к
 
могут покинуть эту окрестность, остаться в этой окрестности, или приблизиться к
положению равновесия. Естественно назвать положение равновесия неустойчивым
+
положению равновесия. Естественно назвать положение равновесия ''неустойчивым''
в первом случае и устойчивым в двух других.  
+
в первом случае и ''устойчивым'' в двух других.  
  
 
'''Определение 2.'''
 
'''Определение 2.'''
Строка 31: Строка 31:
 
содержится в $$\varepsilon$$-окрестности точки $$u^{*}$$.
 
содержится в $$\varepsilon$$-окрестности точки $$u^{*}$$.
  
$$\forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta(\varepsilon) ~ \forall u(t_0) \in \mathcal{U}_{\delta}(u^{*})$$, $$|u^{*}-u(t)|< \varepsilon, ~\forall t \geqslant t_0$$.
+
$$\forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta(\varepsilon)>0 ~ \forall u(t_0) \in \mathcal{U}_{\delta}(u^{*})$$, $$|u^{*}-u(t)|< \varepsilon, ~\forall t \geqslant t_0$$.
  
 
'''Определение 3.'''
 
'''Определение 3.'''
  
 
Неподвижная точка $$u^{*}$$ отображения (\ref{sist1}) называется '''асимптотически устойчивой''', если она является
 
Неподвижная точка $$u^{*}$$ отображения (\ref{sist1}) называется '''асимптотически устойчивой''', если она является
устойчивой по Ляпунову и кроме того $$\displaystyle{\lim_{t\to\infty}} u(t) = u^{*}$$.
+
устойчивой по Ляпунову и $$\displaystyle{\lim_{t\to\infty}} u(t) = u^{*}$$.
 +
 
 +
Если положение равновесия не является ''устойчивым'', то говорят, что оно ''неустойчиво''.
  
Если положение равновесия не является устойчивым, то говорят, что оно неустойчиво.
 
 
Асимптотически устойчивые неподвижные точки иногда называют
 
Асимптотически устойчивые неподвижные точки иногда называют
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%82%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80 аттракторами],
+
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%82%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80 ''аттракторами''],
а неустойчивые неподвижные точки иногда называют репеллерами.
+
а неустойчивые неподвижные точки иногда называют ''репеллерами''.
  
 
'''Теорема 1.'''
 
'''Теорема 1.'''
Строка 52: Строка 53:
 
Если $$ |f^{'}(u^{*})| = 1$$, то требуются дополнительные исследования.
 
Если $$ |f^{'}(u^{*})| = 1$$, то требуются дополнительные исследования.
  
'''Доказательство.'''
+
'''Доказательство:'''
  
 
Пусть $$|f^{'}(u^{*})| < 1$$ и пусть $$u$$ принадлежит малой окрестности $$u^{*}$$.
 
Пусть $$|f^{'}(u^{*})| < 1$$ и пусть $$u$$ принадлежит малой окрестности $$u^{*}$$.
Строка 76: Строка 77:
 
$$\blacksquare$$
 
$$\blacksquare$$
  
== Пример поиска неподвижных точек с помощью графического метода ==
+
===Пример поиска неподвижных точек с помощью графического метода===
 
 
[[Файл:Fig3staticpoints.jpg|мини|300px|Аттрактор в точке $$v_2^*$$ при параметрах $$r=10, b=2, v_0=1.$$]]
 
[[Файл:Fig4staticpointsjpg.jpg|мини|300px|Аттрактор в точке $$v_2^*$$ при параметрах $$r=3, b=0.9, v_0=4.5$$.]]
 
  
 
Пусть задана система $$v_{t+1} = \frac{r v_t}{(1+ v_t)^b}$$.
 
Пусть задана система $$v_{t+1} = \frac{r v_t}{(1+ v_t)^b}$$.
Строка 93: Строка 91:
 
     \end{cases}
 
     \end{cases}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
при любых $$v \geqslant 0, ~r,b > 0$$ имеет хотя бы один корень, а именно $$v=0$$. Второй корень $$v=r^{1/b}-1$$ система может иметь только при значении параметра $$r> 1$$. Больше двух неотрицательных корней система (\ref{sist2}) не имеет.
+
при любых $$v \geqslant 0, ~r,b > 0$$ имеет хотя бы один корень, а именно $$v=0$$. Второй корень $$v=r^{1/b}-1$$ система может иметь только при значении параметра $$r>1$$. Больше двух неотрицательных корней система (\ref{sist2}) не имеет.
  
 +
[[Файл:mergedstaticpoints1.png|мини|центр|750px|$$r=30, b=3$$, система имеет два различных неотрицательных корня. $$r=0.9, b=7$$, система имеет единственный корень $$v=0$$.]]
  
[[Файл:Fig4staticpoints.jpg|мини|300px|Аттрактор в точке $$v_1^*$$ при параметрах $$r=0.9, b=0.7, v_0=4.$$]]
+
===Пример исследования неподвижных точек на устойчивость===
[[Файл:Fig5staticpoints.jpg|мини|300px|Репеллер в точке $$v_1^*$$ при параметрах $$r=2, b=0.9, v_0=2.$$]]
 
 
 
== Пример исследования неподвижных точек на устойчивость ==
 
  
 
Исследуем на устойчивость неподвижные точки $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ и $$v^{*}=0$$ для системы (\ref{sist2}).
 
Исследуем на устойчивость неподвижные точки $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ и $$v^{*}=0$$ для системы (\ref{sist2}).
Строка 117: Строка 113:
 
Согласно теореме 1 точка $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ будет:
 
Согласно теореме 1 точка $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ будет:
  
Асимптотически устойчивой, при $$r^{-1/b}<1$$.
+
''Асимптотически устойчивой'', при $$r^{-1/b}<1$$.
  
Неустойчивой, при $$r^{-1/b}>1$$.
+
''Неустойчивой'', при $$r^{-1/b}>1$$.
  
 
Отметим, что точка $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ (отличная от нуля) существует только при значении параметра $$r > 1$$,
 
Отметим, что точка $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ (отличная от нуля) существует только при значении параметра $$r > 1$$,
 
таким образом $$r^{-1/b}$$ принимает значения меньше единицы при любых $$r> 1$$, значит,
 
таким образом $$r^{-1/b}$$ принимает значения меньше единицы при любых $$r> 1$$, значит,
точка $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ асимптотически устойчива всегда, если она существует.
+
точка $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ ''асимптотически устойчива'' всегда, если она существует.
 +
 
 +
[[Файл:mergedstaticpoints2.png|мини|центр|750px|''Аттрактор'' в точке $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ при параметрах $$r=10, b=2, v_0=1$$. ''Аттрактор'' в точке $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ при параметрах $$r=3, b=0.9, v_0=4.5$$.]]
  
 
'''2. Исследование второй точки $$v^{*}=0$$:'''
 
'''2. Исследование второй точки $$v^{*}=0$$:'''
Строка 133: Строка 131:
 
Таким образом, по теореме 1, точка $$v^{*}=0$$ будет:
 
Таким образом, по теореме 1, точка $$v^{*}=0$$ будет:
  
Асимптотически устойчивой, при $$r<1$$.
+
''Асимптотически устойчивой'', при $$r<1$$.
 +
 
 +
''Неустойчивой'', при $$r>1$$.
 +
 
 +
[[Файл:mergedstaticpoints3.png|мини|центр|750px|''Аттрактор'' в точке $$v^*=0$$ при параметрах $$r=0.9, b=0.7, v_0=4.$$ ''Репеллер'' в точке $$v^*=0$$ при параметрах $$r=2, b=0.9, v_0=2.$$]]
 +
 
 +
==Случай динамических систем с непрерывным временем==
 +
Пусть задана динамическая система:
 +
 
 +
\begin{equation} \label{sistnepr}
 +
\dot{u} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f : U → \mathbb{R}^n.
 +
\end{equation}
 +
 
 +
'''Определение 4.'''
 +
 
 +
'''Неподвижными точками'''
 +
[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамической системы]
 +
(\ref{sistnepr}) называются такие точки пространства состояний $$u^{∗}$$, что $$f(u^{∗}) = 0$$.
 +
 
 +
===Устойчивость неподвижных точек===
 +
 
 +
Определения для устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости полностью повторяют определения из раздела, посвященному динамическим системам с дискретным временем.
 +
 
 +
'''Теорема 2.'''
 +
 
 +
Пусть $$u^*$$ — положение равновесия системы (\ref{sistnepr}). Функция $$f(u)$$ и ее производная $$f'(u)$$ определены и непрерывны для любых $$u \in \mathcal{U}$$. Тогда
 +
 +
1) если $$f'(u^*)<0$$, то $$u^*$$ — асимптотически устойчиво.
 +
 
 +
2) если $$f'(u^*)>0$$, то $$u^*$$ — неустойчиво.
 +
 
 +
'''Доказательство:'''
 +
 
 +
Пусть $$u^*$$ — положение равновесия системы (\ref{sistnepr}).
 +
Зададим небольшое отклонение $$\xi$$ переменной $$u$$ от ее стационарного значения $$u^*$$ : $$u=u^*+\xi$$, такое, что $$\frac{\xi}{u^*} \ll 1$$. Таким образом получим:
 +
 
 +
\begin{equation}
 +
\frac{d(u^* + \xi)}{dt} = f(u^* + \xi)
 +
\end{equation}
 +
 
 +
Так как $$\frac{d u^*}{d t}=0$$, перейдем от переменной $$u$$ к переменной $$\xi$$:
 +
 
 +
\begin{equation} \label{ur1}
 +
\frac{d\xi}{dt} = f(u^* + \xi)
 +
\end{equation}
 +
 
 +
Уравнение (\ref{ur1}) определяет поведение во времени отклонения $$\xi=u-u^*$$ от стационарного состояния. Решение уравнения (\ref{ur1}) $$\xi(t)$$ вблизи нулевой точки $$\xi = 0$$ будет совпадать с решением $$u(t)$$ динамической системы (\ref{sistnepr}) вблизи стационарного состояния $$u^*$$.
 +
Правая часть уравнения (\ref{ur1}) указывает величину скорости, с которой отклонение $$\xi(t)$$ будет увеличиваться или уменьшаться с течением времени.
 +
 
 +
В терминах новой переменной $$\xi(t)$$ стационарное состояние
 +
будет ''устойчивым по Ляпунову'', если, задав любое сколь угодно
 +
малое $$\varepsilon>0$$, всегда можно найти такое $$\delta>0$$, что
 +
$$\xi(t)<\varepsilon$$ для $$t_0 \leqslant t$$, если $$|\xi(t_0)|<\delta$$,
 +
и ''асимптотически устойчивым'', если отклонение $$\xi(t)$$ стремится
 +
к нулю, т.е. $$\displaystyle{\lim_{t\to\infty}}|\xi(t)|=0$$.
 +
 
 +
Разложим функцию $$f(u^*+\xi)$$ в
 +
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0 ряд Тейлора]
 +
в точке $$\xi_0=0$$:
 +
 
 +
\[
 +
\frac{d \xi}{dt}=f(u^*)+f'(u^*)\xi+\frac{1}{2}f''(u^*)\xi^2+...
 +
\]
 +
 
 +
Учитывая, что $$f(u^*)=0$$, получим
 +
\[
 +
\frac{d \xi}{dt}=a_1 \xi+a_2\xi^2+...,
 +
\]
 +
где $$a_1=f'_u(u^*), a_2=\frac{1}{2}f'_{uu}(u^*),...$$ .
  
Неустойчивой, при $$r>1$$.
+
Поскольку вблизи точки $$\xi_0=0$$ всегда можно выделить достаточно малую окрестность, где вклад нелинейных членов разложения
 +
становится пренебрежимо малым по сравнению с вкладом линейных членов, можно отбросить члены порядка 2 и
 +
выше. Получим линеаризованное уравнение, или уравнение первого приближения, которое, опуская нижний индекс, можно записать как:
 +
\[
 +
\frac{d \xi}{dt}=a \xi,
 +
\]
 +
где $$a=f'_u(u^*)$$.
 +
 
 +
Решим полученное линейное уравнение. Разделяя переменные,
 +
проинтегрируем обе части уравнения:
 +
 
 +
\[
 +
\int \frac{d \xi}{d \xi}=a \int dt,
 +
\]
 +
 
 +
\[
 +
\ln|\xi|=at + C,
 +
\]
 +
 
 +
Переходя от логарифмов к значениям переменной $$\xi$$ и определяя произвольную постоянную $$С$$ из начальных условий, получим:
 +
 
 +
\[
 +
\xi(t) = \xi(t_0) e^{at},
 +
\]
 +
где $$\xi(t_0)$$ — значение переменной $$\xi(t)$$ в начальный момент времени.
 +
 
 +
 
 +
Если $$a<0$$, то $$\xi \to \infty$$ при $$t \to \infty$$, следовательно, отклонение от
 +
стационарного состояния $$u^*$$ со временем затухает, тогда стационарное состояние $$u^*$$ по определению устойчиво.
 +
 
 +
Если $$a>0$$, то $$\xi \to \infty$$ при $$t \to \infty$$, то есть отклонение от стационарного состояния $$u^*$$ будет со временем возрастать, тогда стационарное состояние $$u^*$$ неустойчиво.
 +
 
 +
Если $$a=0$$, то анализ уравнения первого приближения не может дать ответа на вопрос об устойчивости стационарного состояния системы.
 +
$$\blacksquare$$
  
 
== Связанные теоремы ==
 
== Связанные теоремы ==
  
'''Теорема 2. (Банах)'''
+
'''Теорема 3. (Банах)'''
  
 
Пусть $$(X, d)$$ — полное [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE метрическое пространство] с метрикой $$d$$.
 
Пусть $$(X, d)$$ — полное [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE метрическое пространство] с метрикой $$d$$.
Строка 150: Строка 249:
 
точке $$\xi$$.
 
точке $$\xi$$.
  
'''Теорема 3. (Брауэр)'''
+
'''Теорема 4. (Брауэр)'''
  
 
Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном
 
Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном
Строка 158: Строка 257:
 
Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в $$n$$-мерном пространстве <math>B^n\subset \mathbb R^n</math>. Пусть <math>f \colon B^n\to B^n</math> — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка <math>x\in B^n</math>, что <math>f(x)=x</math>.
 
Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в $$n$$-мерном пространстве <math>B^n\subset \mathbb R^n</math>. Пусть <math>f \colon B^n\to B^n</math> — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка <math>x\in B^n</math>, что <math>f(x)=x</math>.
  
'''Теорема 4. (Шаудер — Тихонов)'''
+
'''Теорема 5. (Шаудер — Тихонов)'''
  
 
В локально выпуклом топологическом векторном пространстве любое непрерывное отображение $$f : K\to K$$ выпуклого  
 
В локально выпуклом топологическом векторном пространстве любое непрерывное отображение $$f : K\to K$$ выпуклого  

Текущая версия на 22:54, 20 декабря 2023

Случай динамических систем с дискретным временем

Пусть задана динамическая система:

\begin{equation} \label{sist1} u_{t+1} = f(u_t), u_{t=0}=u_0,\ u_t \in \mathbb{R}^n,\ f : \mathbb{R}^n → \mathbb{R}^n. \end{equation}

Определение 1.

Неподвижными точками динамической системы (\ref{sist1}) называются такие точки пространства состояний $$u^{∗}$$, что $$f(u^{∗}) = u^{∗}$$.

Кроме термина неподвижная точка используют иногда термины стационарная точка или положение равновесия.

Устойчивость неподвижных точек

Реальная система подвержена внешним воздействиям, она не может находиться все время в одном и том же состоянии. Если немного возмутить состояние системы так, что ее состояние окажется в некоторой окрестности положения равновесия, то возможны следующие сценарии: траектории могут покинуть эту окрестность, остаться в этой окрестности, или приблизиться к положению равновесия. Естественно назвать положение равновесия неустойчивым в первом случае и устойчивым в двух других.

Определение 2.

Неподвижная точка $$u^{*}$$ отображения (\ref{sist1}) называется устойчивой по Ляпунову, если для любого $$\varepsilon > 0$$ существует такое $$\delta > 0$$, что для любых начальных данных $$u(t_0)$$ из $$\delta$$-окрестности точки $$u^{*}$$ вся траектория системы $$u(t)$$ содержится в $$\varepsilon$$-окрестности точки $$u^{*}$$.

$$\forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta(\varepsilon)>0 ~ \forall u(t_0) \in \mathcal{U}_{\delta}(u^{*})$$, $$|u^{*}-u(t)|< \varepsilon, ~\forall t \geqslant t_0$$.

Определение 3.

Неподвижная точка $$u^{*}$$ отображения (\ref{sist1}) называется асимптотически устойчивой, если она является устойчивой по Ляпунову и $$\displaystyle{\lim_{t\to\infty}} u(t) = u^{*}$$.

Если положение равновесия не является устойчивым, то говорят, что оно неустойчиво.

Асимптотически устойчивые неподвижные точки иногда называют аттракторами, а неустойчивые неподвижные точки иногда называют репеллерами.

Теорема 1.

Пусть $$u^{*}$$ — неподвижная точка отображения (\ref{sist1}), т.е. $$u^{*}$$ = $$f(u^{*})$$, и пусть $$f$$ обратима в малой окрестности $$u^{*}$$. Тогда $$u^{*}$$ асимптотически устойчива, если $$|f^{'}(u^{*})| < 1$$, и неустойчива, если $$|f^{'}(u^{*})| > 1$$. Если $$ |f^{'}(u^{*})| = 1$$, то требуются дополнительные исследования.

Доказательство:

Пусть $$|f^{'}(u^{*})| < 1$$ и пусть $$u$$ принадлежит малой окрестности $$u^{*}$$. Так как \[ \displaystyle{\lim_{t\to\infty}} \frac{|f(u)-f(u^{*})|}{|u-u^{*}|}=|f^{'}(u^{*})|, \] поэтому существует такая окрестность $$u^{*}$$, что \[ \frac{|f(u)-f(u^{*})|}{|u-u^{*}|} \leqslant a, \] для всех $$u$$ из этой окрестности; здесь $$a$$ — некоторое число, такое что $$|f^{'}(u^{*})| \leqslant a < 1$$. Таким образом, $$f(u)$$ остается в той же окрестности, что и $$u$$, и, кроме того, ближе к неподвижной точке $$u^{*}$$, по крайней мере, на множитель $$a$$. Отсюда следует, что \[|f(f(u)) − f(f(u^{*}))| \leqslant a |f(u) − f(u^{*})| \leqslant a^2|u − u^{*}|, \] или, по индукции, \[|f^{k}(u) − u^{*}| \leqslant a^{k}|u − u^{*}|, \] где $$f^{k}$$ обозначает $$k$$-ую суперпозицию отображения $$f$$. Таким образом мы доказали, что последовательность $$f^{k}(u)$$ будет сходиться к $$u^{*}$$, то есть является асимптотически устойчивой.

Вторая часть утверждения доказывается сходным образом. $$\blacksquare$$

Пример поиска неподвижных точек с помощью графического метода

Пусть задана система $$v_{t+1} = \frac{r v_t}{(1+ v_t)^b}$$.

Графически неподвижные точки — это точки пересечения графика функции $$f(v)$$ и биссектрисы первого координатного угла $$v_{t+1} = v_{t}$$ (нас интересуют только неотрицательные решения). Для нахождения неподвижных точек заданной системы рассмотрим возможные пересечения графика функции $$f(v)=\frac{rv}{(1+v)^b}$$ с прямой $$g(v)=v$$.

Заметим, что система \begin{equation} \label{sist2} \begin{cases} f(v)=\frac{rv}{(1+v)^b},\\g(v)=v. \end{cases} \end{equation} при любых $$v \geqslant 0, ~r,b > 0$$ имеет хотя бы один корень, а именно $$v=0$$. Второй корень $$v=r^{1/b}-1$$ система может иметь только при значении параметра $$r>1$$. Больше двух неотрицательных корней система (\ref{sist2}) не имеет.

$$r=30, b=3$$, система имеет два различных неотрицательных корня. $$r=0.9, b=7$$, система имеет единственный корень $$v=0$$.

Пример исследования неподвижных точек на устойчивость

Исследуем на устойчивость неподвижные точки $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ и $$v^{*}=0$$ для системы (\ref{sist2}).

\[ f_v(v^{*})=\frac{r((1+v)^b-bv(1+v)^{b-1})}{(1+v)^{2b}}. \]

1. Исследование первой точки $$v^{*}=r^{1/b}-1$$:

Подставим $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ в выражение (\ref{sist2}) и с учетом наложенных ограничений $$r>1, b>0$$ для существования точки получим

\[ f_v(v^{*})=b(r^{-1/b}-1)+1. \]

Согласно теореме 1 точка $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ будет:

Асимптотически устойчивой, при $$r^{-1/b}<1$$.

Неустойчивой, при $$r^{-1/b}>1$$.

Отметим, что точка $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ (отличная от нуля) существует только при значении параметра $$r > 1$$, таким образом $$r^{-1/b}$$ принимает значения меньше единицы при любых $$r> 1$$, значит, точка $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ асимптотически устойчива всегда, если она существует.

Аттрактор в точке $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ при параметрах $$r=10, b=2, v_0=1$$. Аттрактор в точке $$v^{*}=r^{1/b}-1$$ при параметрах $$r=3, b=0.9, v_0=4.5$$.

2. Исследование второй точки $$v^{*}=0$$:

Подставим $$v^{*}=0$$ в выражение (\ref{sist2}) и получим \[ f_v(v^{*})=r. \] Таким образом, по теореме 1, точка $$v^{*}=0$$ будет:

Асимптотически устойчивой, при $$r<1$$.

Неустойчивой, при $$r>1$$.

Аттрактор в точке $$v^*=0$$ при параметрах $$r=0.9, b=0.7, v_0=4.$$ Репеллер в точке $$v^*=0$$ при параметрах $$r=2, b=0.9, v_0=2.$$

Случай динамических систем с непрерывным временем

Пусть задана динамическая система:

\begin{equation} \label{sistnepr} \dot{u} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f : U → \mathbb{R}^n. \end{equation}

Определение 4.

Неподвижными точками динамической системы (\ref{sistnepr}) называются такие точки пространства состояний $$u^{∗}$$, что $$f(u^{∗}) = 0$$.

Устойчивость неподвижных точек

Определения для устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости полностью повторяют определения из раздела, посвященному динамическим системам с дискретным временем.

Теорема 2.

Пусть $$u^*$$ — положение равновесия системы (\ref{sistnepr}). Функция $$f(u)$$ и ее производная $$f'(u)$$ определены и непрерывны для любых $$u \in \mathcal{U}$$. Тогда

1) если $$f'(u^*)<0$$, то $$u^*$$ — асимптотически устойчиво.

2) если $$f'(u^*)>0$$, то $$u^*$$ — неустойчиво.

Доказательство:

Пусть $$u^*$$ — положение равновесия системы (\ref{sistnepr}). Зададим небольшое отклонение $$\xi$$ переменной $$u$$ от ее стационарного значения $$u^*$$ : $$u=u^*+\xi$$, такое, что $$\frac{\xi}{u^*} \ll 1$$. Таким образом получим:

\begin{equation} \frac{d(u^* + \xi)}{dt} = f(u^* + \xi) \end{equation}

Так как $$\frac{d u^*}{d t}=0$$, перейдем от переменной $$u$$ к переменной $$\xi$$:

\begin{equation} \label{ur1} \frac{d\xi}{dt} = f(u^* + \xi) \end{equation}

Уравнение (\ref{ur1}) определяет поведение во времени отклонения $$\xi=u-u^*$$ от стационарного состояния. Решение уравнения (\ref{ur1}) $$\xi(t)$$ вблизи нулевой точки $$\xi = 0$$ будет совпадать с решением $$u(t)$$ динамической системы (\ref{sistnepr}) вблизи стационарного состояния $$u^*$$. Правая часть уравнения (\ref{ur1}) указывает величину скорости, с которой отклонение $$\xi(t)$$ будет увеличиваться или уменьшаться с течением времени.

В терминах новой переменной $$\xi(t)$$ стационарное состояние будет устойчивым по Ляпунову, если, задав любое сколь угодно малое $$\varepsilon>0$$, всегда можно найти такое $$\delta>0$$, что $$\xi(t)<\varepsilon$$ для $$t_0 \leqslant t$$, если $$|\xi(t_0)|<\delta$$, и асимптотически устойчивым, если отклонение $$\xi(t)$$ стремится к нулю, т.е. $$\displaystyle{\lim_{t\to\infty}}|\xi(t)|=0$$.

Разложим функцию $$f(u^*+\xi)$$ в ряд Тейлора в точке $$\xi_0=0$$:

\[ \frac{d \xi}{dt}=f(u^*)+f'(u^*)\xi+\frac{1}{2}f''(u^*)\xi^2+... \]

Учитывая, что $$f(u^*)=0$$, получим \[ \frac{d \xi}{dt}=a_1 \xi+a_2\xi^2+..., \] где $$a_1=f'_u(u^*), a_2=\frac{1}{2}f'_{uu}(u^*),...$$ .

Поскольку вблизи точки $$\xi_0=0$$ всегда можно выделить достаточно малую окрестность, где вклад нелинейных членов разложения становится пренебрежимо малым по сравнению с вкладом линейных членов, можно отбросить члены порядка 2 и выше. Получим линеаризованное уравнение, или уравнение первого приближения, которое, опуская нижний индекс, можно записать как: \[ \frac{d \xi}{dt}=a \xi, \] где $$a=f'_u(u^*)$$.

Решим полученное линейное уравнение. Разделяя переменные, проинтегрируем обе части уравнения:

\[ \int \frac{d \xi}{d \xi}=a \int dt, \]

\[ \ln|\xi|=at + C, \]

Переходя от логарифмов к значениям переменной $$\xi$$ и определяя произвольную постоянную $$С$$ из начальных условий, получим:

\[ \xi(t) = \xi(t_0) e^{at}, \] где $$\xi(t_0)$$ — значение переменной $$\xi(t)$$ в начальный момент времени.


Если $$a<0$$, то $$\xi \to \infty$$ при $$t \to \infty$$, следовательно, отклонение от стационарного состояния $$u^*$$ со временем затухает, тогда стационарное состояние $$u^*$$ по определению устойчиво.

Если $$a>0$$, то $$\xi \to \infty$$ при $$t \to \infty$$, то есть отклонение от стационарного состояния $$u^*$$ будет со временем возрастать, тогда стационарное состояние $$u^*$$ неустойчиво.

Если $$a=0$$, то анализ уравнения первого приближения не может дать ответа на вопрос об устойчивости стационарного состояния системы. $$\blacksquare$$

Связанные теоремы

Теорема 3. (Банах)

Пусть $$(X, d)$$ — полное метрическое пространство с метрикой $$d$$.

Пусть задано отображение $$f : X \rightarrow X$$ и существует число $$a, 0 \leqslant a < 1$$, такое, что для любых $$x, y \in X: d(f(x), f(y)) \leqslant a \cdot d(x, y)$$.

Тогда существует единственная точка $$\xi \in X$$ такая, что $$f(\xi) = \xi$$, и начиная с любой точки $$x_0 \in X$$, последовательность итераций $${f_n(x_0)}_{n=1,2,...}$$ сходится к точке $$\xi$$.

Теорема 4. (Брауэр)

Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в $$n$$-мерном пространстве \(B^n\subset \mathbb R^n\). Пусть \(f \colon B^n\to B^n\) — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка \(x\in B^n\), что \(f(x)=x\).

Теорема 5. (Шаудер — Тихонов)

В локально выпуклом топологическом векторном пространстве любое непрерывное отображение $$f : K\to K$$ выпуклого компактного множества $$K$$ в себя имеет неподвижную точку.

Список литературы

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии, 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

3. Banach S. Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur applications aux équations integrales, Fund. Math, 1922

4. Шашкин Ю.А. Неподвижные точки, М.: Наука, 1989

5. J. Schauder, Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen, Studia Math. 2, 1930