Пространства Соболева

Определение

Рассмотрим X: класс непрерывно дифференцируемых функций, заданных на [0,1]. Определим скалярное произведение \[ \left< u, v \right> = \int\limits_0^1 u(t) v(t) dt + \int\limits_0^1 u^{\prime}(t) v^{\prime} (t) dt . \]

Данное скалярное произведение порождает норму \[ \left\lVert u \right\rVert^2 = \int\limits_0^1 u^2(t) dt + \int\limits_0^1 (u^{\prime} (t))^2 dt . \]

Данное пространство не является полным. Рассмотрим последовательность функций

\begin{align*} f_n(x) = \begin{cases} -x, & x \in (-1, -\frac{1}{n}], \\ \frac{n}{2} x^2, & x \in (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n|}) \\ x, & x \in [\frac{1}{n}, 1). \end{cases} \end{align*}

Все элементы последовательности действительно являются непрерывно дифференцируемыми функциями: функции, заданные на кусках, непрерывно дифференцируемы и в точках склейки значения функций совпадают, а также левая и правая производная равны. Очевидно, что эта последовательность является фундаментальной. Пределом данной последовательности является функция $$f(x) = |x|$$:

\[ \left\lVert f_n - f \right\rVert^2 = \int\limits_{-1}^1 (f_n(x) - f(x)) dx + \int\limits_{-1}^1 (f_n^{\prime}(x) - f^{\prime}(x))^2 dt = 2 \int\limits_{-\frac{1}{n}}^{0} \left( \frac{n}{2} x^2 - x \right) dx + \int\limits_{-\frac{1}{n}}^0 (nx + 1)^2 dt + \int\limits_{0}^{\frac{1}{n}} (nx - 1)^2 dt = \] \[ = 2 \left.\left( \frac{n}{6} x^3 - \frac{x^2}{2} \right)\right|_{-\frac{1}{n}}^{0} + \left.\left( \frac{(nx + 1)^3}{3n}\right)\right|_{-\frac{1}{n}}^{0} + \left.\left( \frac{(nx - 1)^3}{3n}\right)\right|_{0}^{\frac{1}{n}} = -\frac{1}{3n^2} + \frac{1}{3n} + 0 + 0 + \frac{1}{3n} \longrightarrow 0 \ \ \text{при} \ \ n \rightarrow +\infty \]

Таким образом, пределом рассматриваемой фундаментальной последовательности является функция, не являющаяся непрерывно дифференцируемой. А значит определенное выше пространство не является полным.

Определение. Пусть $$M$$ — метрическое пространство. Полное метрическое пространство $$R^*$$ называется пополнением пространства $$R$$, если

• $$R$$ является подпространством пространства $$R^*$$
• $$R$$ всюду плотно в $$R^*$$

Пример: $$\mathbb{R}$$ является пополнением $$\mathbb{Q}$$.

Теорема 1. Каждое метрическое пространство имеет пополнение

Доказательство теоремы можно найти в [2].

Определение. Пространство, полученное в результате пополнения пространства непрерывно дифференцируемых функций по указанной норме, называется соболевским пространством. Обозначение. $$W_2^1 (0,1)$$.

Аналогично можно ввести пространства $$W_p^k(a,b)$$. За основу возьмем класс $$k$$ раз непрерывно дифференцируемых функций и определим норму \[ \left\lVert u \right\rVert = \left( \sum\limits_{i=0}^k \int\limits_a^b (u^{(i)} (t))^p dt \right)^{\frac{1}{p}} . \]

Пополнением данного пространства будет $$W_p^k(a,b)$$.

Возьмем некоторую фундаментальную последовательность $$u_n(x) \in X$$. Тогда

\[ \left\lVert u_n - u_m \right\rVert_{W_2^1}^2 = \left\lVert u_n - u_m \right\rVert_{L_2}^2 + \left\lVert u_n^{\prime} - u_m^{\prime} \right\rVert_{L_2}^2 . \]

и последовательности $${u_n}, \ {u_n^{\prime}}$$ являются фундаментальными в $$L_2(0,1)$$. Поскольку $$L_2(0,1)$$ полное, то в нём существуют пределы $$u_n \rightarrow u, \ u_n^{\prime} \rightarrow v$$.

Определение. Полученный предел $$u_n^{\prime} \rightarrow v$$ называется обобщенной производной по Соболеву.

Таким образом, получили план нахождения обобщенной производной по Соболева для функции $$u(t)$$: находим последовательность функций $$u_n(t) \in L_2(0,1)$$, далее находим предел $$u_n^{\prime} (t)$$. Им и будет являться обобщенная производная по Соболеву.

Пример. Найдем обобщенную производную по Соболеву функции $$f(x) = |x|$$. Для этого воспользуемся определенной в прошлом примере последовательностью функции $$f_n(x)$$. Их производные равны \begin{align*} f_n^{\prime}(x) = \begin{cases} -1, & x \in (-1, -\frac{1}{n}], \\ nx, & x \in (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \\ 1, & x \in [\frac{1}{n}, 1). \end{cases} \end{align*} Покажем, что в $$L_2(0,1)$$ последовательность производных сходится к функции (точнее, к классу эквивалентных функций) \begin{align*} v (x) = \begin{cases} -1, & x \in (-1, 0), \\ 0, & x =0 \\ 1, & x \in (0, 1). \end{cases} \end{align*}

\[ \left\lVert f_n^{\prime} - v \right\rVert_{L_2(-1,1)}^2 = \int\limits_{-1}^1 (f_n^{\prime}(x) - v(x))^2 \, dt = \int\limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} n^2 x^2 \, dx = \left.\left( \frac{n^2x^3}{3}\right)\right|_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} = \frac{2}{3n} \longrightarrow 0 \ \ \text{при} \ \ n \rightarrow +\infty \] Следовательно, $$v(x)$$ — производная по Соболеву для функции $$f(x) = |x|$$.

Теорема о вложении

Теорема 2. Пусть $$u \in W_2^1 (0,1)$$. Тогда существует непрерывная на $$[0, 1]$$ функция $$\tilde{u}$$, такая что $$\tilde{u} = u$$ почти всюду и $$\max_{t \in [0, 1]} |\tilde{u}| \leq C \| u \|_{W_2^1 (0,1)}$$.

Доказательство. Пусть $$\{u_n\} \in C^1(0, 1)$$ — фундаментальная последовательность в $$W_2^1 (0,1)$$.

1. Сперва докажем, что $$\{u_n(0)\}$$ — фундаментальная числовая последовательность. \[ u_n(t) = u_n(0) + \int\limits_0^t u_n'(\tau) \mathrm{d}\tau, \] \[ u_n(0) - u_m(0) = u_n(t) - u_m(t) - \int\limits_0^t \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right) \mathrm{d}\tau. \] Воспользовавшись неравенством $$(a+b)^2 \leqslant 2a^2 + 2b^2$$, получим:

\[ \left[u_n(0) - u_m(0) \right]^2 \leqslant 2 [u_n(t) - u_m(t)]^2 + 2[\int\limits_0^t \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right) \mathrm{d}\tau]^2. \]

По неравенству Коши-Буняковского:

\[ [\int\limits_0^t \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right) \mathrm{d}\tau]^2 \leqslant \int\limits_0^t 1 \mathrm{d}\tau \int\limits_0^t \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau \leqslant \int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau, \] поэтому

\[ \left[u_n(0) - u_m(0) \right]^2 \leqslant 2 [u_n(t) - u_m(t)]^2 + 2\int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau. \]

Проинтегрируем это неравенство от 0 до 1 по $$t$$ (учитываем, что выражение в левой части и второй интеграл справа являются константами):

\[ \left[u_n(0) - u_m(0) \right]^2 \leqslant 2\int\limits_0^1 [u_n(t) - u_m(t)]^2 \mathrm{d} t + 2\int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau) -u'_m(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau, \]

\[ \left[u_n(0) - u_m(0) \right]^2 \leqslant 2 \| u_n - u_m \|_{W_2^1 (0,1)} \rightarrow 0. \]

Следовательно, $$\{u_n(0)\}$$ фундаментальна.

2. Аналогично предыдущему пункту доказательства можем записать

\[ \left[u_n(t) - u_m(t) \right]^2 \leqslant 2 [u_n(0) - u_m(0)]^2 + 2\int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau. \]

Тогда

\[ \max_{t \in [0, 1]} \left[u_n(t) - u_m(t) \right]^2 \leqslant 2 [u_n(0) - u_m(0)]^2 + 2\int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau \rightarrow 0. \]

Так как $$[u_n(0) - u_m(0)]^2 \rightarrow 0$$ в силу фундаментальности, а

\[ \int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau) - u_m'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau \leqslant \| u_n - u_m \|_{W_2^1 (0,1)} \rightarrow 0. \]

Следовательно, $$\{u_n\}$$ — последовательность непрерывных на $$[0, 1]$$ функций, которая равномерно сходится к $$\tilde{u} \in C[0, 1]$$.

Из сходимости в пространстве $$C$$ следует сходимость в $$L_2$$, но $$u_n \rightarrow u$$ в $$L_2$$. Поскольку предел в $$L_2$$ определяется однозначно (с точностью до меры нуль), то $$u = \tilde{u}$$ почти всюду.

3. Для доказательства оценки вновь проделаем аналогичные выкладки и перейдем к пределу:

\[ u_n(0) = u_n(t) - \int\limits_0^t u_n'(\tau) \mathrm{d}\tau, \]

\[ u_n^2(0) \leqslant 2 \int\limits_0^1 u_n^2(\tau) \mathrm{d}\tau + 2\int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau)\right)^2 \mathrm{d}\tau = 2 \| u_n \|_{W_2^1}, \]

\[ u_n^2(t) \leqslant 2 u_n^2(0) + 2\int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau)\right)^2 \mathrm{d}\tau = \tilde{C} \| u_n \|_{W_2^1}, \]

\[ \max_{t \in [0, 1]} |\tilde{u}(t)| \leq C \| u \|_{W_2^1 (0,1)} \]

Теорема доказана.

Теорема о компактности вложения

Теорема 3. Если $$\| u_n \|_{W_2^1} \leqslant C$$, то существует подпоследовательность $$\tilde{u}_{n_k}$$ соответствующих непрерывных функций, которая равномерно сходится на $$[0, 1]$$.

Доказательство. Для доказательства воспользуемся теоремой Арцела-Асколи (критерий предкомпактности множества в пространстве $$C$$).

1. $$| \tilde{u}_n(t)| \leqslant C_1 \| u_n \|_{W_2^1} \leqslant const.$$ Следовательно, $$\{u_n\}$$ равномерно ограничена.

2. Из формулы Ньютона-Лейбница следует $$\tilde{u}_n(t+\delta) - \tilde{u}_n(t) = \int\limits_t^{t+\delta} \tilde{u}_n'(\tau) \mathrm{d}\tau$$, откуда с учетом неравенства Коши-Буняковского получим:

\[ |\tilde{u}_n(t+\delta) - \tilde{u}_n(t)|^2 \leqslant \delta \int\limits_t^{t+\delta} \left(\tilde{u}_n'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau \leqslant \delta \|u_n\|_{W_2^1} \leqslant \delta C. \]

Тогда \[ \lim_{\delta \to 0} |\tilde{u}_n(t+\delta) - \tilde{u}_n(t)| = 0. \]

Следовательно, $$\{u_n\}$$ равностепенно непрерывна.

Условия теоремы Арцела-Асколи выполнены, а значит, $$\{u_n\}$$ — предкомпакт, т.е. любая фундаментальная подпоследовательность $$\{u_n\}$$ сходится к некоторой непрерывной функции в метрике $$C$$, что и означает равномерную сходимость на $$[0, 1]$$. Теорема доказана.

Список литературы

1. Точилин П. А. Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976г.

3. Полосин А. А. Лекции по функциональному анализу, 2023г.