Гильбертово пространство

Определение

Определение 1. Полное евклидово (унитарное) бесконечномерное пространство называется Гильбертовым. Обозначается как $$H$$ .

Гильбертово пространство это частный случай банахова пространства.

Связь нормы и скалярного произведения

В гильбертовом пространстве, как и во всяком евклидовом или унитарном пространстве, норма согласована со скалярным произведением. В общем случае норма и скалярное произведение никак не связаны между собой.

В гильбертовом пространстве норма связана со скалярным произведением следующим образом: $$ ||x||=\sqrt{\left<x,x\right>} $$

Из аксиом скалярного произведения вытекает неравенство Коши-Буняковкого: $$|\left<x,y\right>| \leq ||x|||y||$$, $$\forall x, y \in H$$

Теорема 1.

Норма порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено тождество параллелограмма.

\[||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2), \forall x, y \in H.\]

Доказательство:

$$\Rightarrow$$ Если норма порождается скалярным произведением, то тогда \[ ||x+y||^2=\left<x+y,x+y\right>=||x||^2+||y||^2+\left<x,y\right>+\left<y,x\right>, \] \[ ||x-y||^2=\left<x-y,x-y\right>=||x||^2+||y||^2-\left<x,y\right>-\left<y,x\right>. \] После сложения (1) и (2) получаем требуемое.

$$\Leftarrow$$ Вещественный случай: \[\left<x,y\right>=\frac{1}{2} \left( ||x+y||^2-||x||^2-||y||^2 \right) \]

Проверим аксиомы скалярного произведения

1) $$\left<x,y\right>=\left<y,x\right>$$, очевидно выполняется.

2) $$\left<x+y,z\right>=\left<x,z\right>+\left<y,z\right>$$,

\[\Delta=2(\left<x+y,z\right>-\left<x,z\right>-\left<y,z\right>)=||x+y+z||^2-||x+y||^2-||z||^2-||x+z||^2+||x||^2+||z||^2-||y+z||^2+||y||^2+||z||^2, \]

Упростим

\[||x+y+z||^2-||x+y||^2-||x+z||^2-||y+z||^2+||x||^2+||y||^2+||z||^2, \]

Применим тождество параллелограмма к вектору $$x+y+2z=(x+y+z)+z=(x+z)+(y+z)$$ и получим: \[||x+y+2z||^2+||x+y||^2=2||x+y+z||^2+2||z||^2 ,\] \[||x+y+2z||^2+||x-y||^2=2||x+z||^2+2||y+z||^2 .\]

Вычитаем из первого второе

\[||x+y||^2-||x-y||^2=2||x+y+z||^2-2||x+z||^2-2||y+z||^2+2||z||^2 ,\]

\[\Delta=\frac{1}{2}\left(||x+y||^2-||x-y||^2\right)+||x+z||^2+||y+z||^2-||z||^2-||x+z||^2-||y+z||^2-||x+y||^2+||x||^2+||y||^2+||z||^2 .\]

После сокращений

\[\frac{1}{2}\left(||x+y||^2-||x-y||^2\right)+||x||^2+||y||^2-||x+y||^2 ,\]

\[||x||^2+||y||^2-\frac{1}{2}\left(||x+y||^2+||x-y||^2\right)=0 .\]

Получили, что вторая аксиома выполняется.

3) Третья аксиомы выводится из второй $$\left<\alpha x,y\right>=\alpha\left<x,y\right>$$.

\[\left<2x,y\right>=\left<x+x,y\right>=\left<x,y\right>+\left<x,y\right>=2\left<x,y\right>.\] Верно для $$\alpha=2$$, покажем для $$\alpha=n$$:

\[\left<nx,y\right>=\left<(n-1)x+x,y\right>.\]

То есть для всех натуральных чисел аксиома выполнена.

Для нуля: \[\left<0,y\right>=\frac{||0+y||^2-||0||^2-||y||^2}{2},\] \[0=\left<0,y\right>=\left<x-x,y\right>=\left<x+(-x),y\right>=\left<x,y\right>+\left<-x,y\right>: \left<(-x),y\right>=-\left<x,y\right>.\]

Таким образом распространили на все целые $$\alpha$$, далее распространим на рациональные $$\alpha \in Q$$:

\[ \left<x,y\right>=n\left<\frac{x}{n},y\right>=n\left<\frac{x}{n},y\right>, \left<\frac{x}{n},y\right>=\frac{1}{n}\left<x,y\right> ,\] \[ \left<\frac{m}{n}x,y\right>=m\left<\frac{x}{n},y\right>=\frac{m}{n} \left<x,y\right> .\]

Случай $$\alpha \in R$$ докажем через предельный переход и непрерывность нормы.

Норма непрерывна. Раз скалярное произведение вводится через норму, то будет непрерывным и предполагаемое скалярное произведение. Значит, можно совершать предельный переход под знаком скалярного произведения. Вещественное число приближаем последовательностью рациональных чисел, которая сходится к этому числу. Переходя к пределу получим, что для вещественных чисел 3 аксиома справедлива.

4) $$\left<x,x\right>\geq 0$$, причем $$\left<x,x\right>=0 \leftrightarrow x=0$$. Очевидно.

Все 4 аксиомы проверены. Для вещественного случая доказано.

Теперь для комплексного случая. \[ ||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2 Re\left<x,y\right> ,\] \[ ||x+iy||^2=||x||^2+||y||^2-2 Im\left<x,y\right> ,\] \[ \left<x,y\right>=\frac{||x+y||^2-||x-y||^2}{4}-i \frac{||x+iy||^2-||x-iy||^2}{4} .\]

Справедливость аксиом вытекает из вещественного случая. Здесь они автоматически будут выполнены.

Теорема доказана. $$\blacksquare$$

Теорема об элементе с наименьшей нормой

Определение 2. Множество называется выпуклым, если вместе с любой парой своих элементов оно содержит и соединяющий их отрезок

$$x=tx_1+(1-t)x_2, t \in [0,1]$$.

Теорема 2 (об элементе с наименьшей нормой).

Пусть $$M$$ выпуклое замкнутое множество в гильбертовом пространстве, тогда в $$M$$ существует единственный элемент с наименьшей нормой.

Доказательство

Пусть $$d=\displaystyle{\inf_{x\in M}||x||}$$. Точная нижняя грань всегда существует, так как ограничена нулем. Нужно доказать, что она достигается, и что элемент, на котором это происходит, определяется однозначно.

Пусть $$\{x_n\}: x_n \in M, ||x_n|| \to d,$$

тогда рассмотрим

\[ \frac{x_n+x_m}{2} \in M, \left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right|\geq d ,\] \[ \left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right|=\left|\left|\frac{x_n}{2}+\frac{x_m}{2}\right|\right|\leq \frac{||x_n||}{2} + \frac{||x_m||}{2} ,\] \[ d \leq \left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right| \leq \frac{||x_n||+||x_m||}{2}, \] \[\frac{||x_n||+||x_m||}{2} \to d .\]

Устремим $$ n,m \to \infty $$. Правая часть стремится к $$d$$, значит \[ \left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right| \to d .\]

Воспользуемся тождеством параллелограмма. Запишем его как: \[ ||x_n-x_m||^2=2||x_m||^2+2||x_n||^2-4\left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right|^2, n,m \to \infty .\]

Получим $$||x_n-x_m||^2 \to 0$$. $$\{x_n\}$$ — фундаментальная последовательность, так как $$M$$ — гильбертово, то существует предел $$\tilde{x} = \displaystyle{\lim_{n\to\infty}}x_n, \tilde{x} \in H $$. $$||\tilde{x}||=d$$. $$M$$ замкнуто, значит содержит все свои предельные элементы, значит $$\tilde{x} \in M$$. Мы нашли элемент из $$M$$, на котором достигается значение $$d$$, таким образом доказали существование.

Докажем единственность:

Пусть $$\tilde{x}, \tilde{x}' \in M$$, $$||\tilde{x}||=||\tilde{x}'||=d$$, тогда

\[ \left|\left|\frac{\tilde{x} + \tilde{x}'}{2}\right|\right| = d.\]

Применим тождество параллелограмма к этим двум векторам, тогда \[||\tilde{x} - \tilde{x}'||^2 = 2||\tilde{x}||^2 + 2|| \tilde{x}'||^2 - 4 \left|\left| \frac{\tilde{x} + \tilde{x}'}{2}\right|\right|^2=2d^2+2d^2-4d^2=0.\]

Значит $$\tilde{x} = \tilde{x}'$$.

Теорема полностью доказана. $$\blacksquare$$

Разложение гильбертова пространства в прямую ортогональную сумму подпространств

Определение 3. Множество элементов, ортогональных данному множеству $$L$$, называется ортогональным дополнением. Обозначается как $$L^{\perp}$$.

Теорема 3 (о разложении гильбертова пространства).

Если $$L$$ подпространство (то есть замкнутое линейное подмножество) $$H$$, то $$H = L \oplus L^{\perp}$$, то есть $$\forall x \in H ~\exists ! ~x_1 \in L, x_2 \in L^{\perp}: x=x_1+x_2.$$

Доказательство

$$L$$ замкнутое линейное подмножество, значит $$x_1$$ элемент доставляющий минимум расстояния между $$x$$ и $$L$$.

1) Существование: \[ x_1 = \operatorname{argmin} \rho(x_1, H_1) = \displaystyle{ \operatorname{argmin_{y \in H_1}} } ||x-y|| \].

$$x_2=x-x_1$$, так что $$\rho(x_1, H_1) = ||x_2||$$. Покажем, что $$x_2 \perp x_1$$. Если $$x_1=0$$, то утверждение справедливо, так что можно считать, что $$x_1 \neq 0$$.

Пусть $$x_2 \not\perp x_1$$, тогда положим $$e_1 = \frac{x_1}{||x_1||}$$ и выберем $$x_{1}^{'}$$ и $$x_{2}^{'}$$ следующим образом: \[ x_{2}^{'} = x_2 - \left<x_2, e_1\right>e_1 ,\] \[ x_{1}^{'} = x_1 + \left<x_2, e_1\right>e_1 .\]

Очевидно, что $$x_{1}^{'} + x_{2}^{'} =x$$, $$\rho(x, H_1) \leq ||x_{2}^{'}||$$, \[ ||x_{2}^{'}||=||x_{2}||^2 + |\left<x_2,e_1\right>|^2 - |\left<x_2,e_1\right>|^2 - |\left<x_2,e_1\right>|^2 = \] \[ =||x_2||^2 - |\left<x_2, e_1\right>|^2 < ||x_2||^2 .\]

Откуда следует неравенство $$\rho (x, H_1) \leq ||x_{2}^{'}|| < ||x_2|| = \rho(x, H_1)$$, противоречие.

2) Единственность:

Пусть существуют два разложения: \[ x=x_1+x_2 ,\] \[ x=x_{1}^{'}+x_{2}^{'} ,\]

где $$x_1, x_{1}^{'} \in H_1$$ и $$x_2, x_{2}^{'} \in H_1^{\perp}$$. Тогда

\[ x_1 - x_{1}^{'} = x_2 - x_{2}^{'} \Rightarrow x_1 = x_{1}^{'},~ x_2 = x_{2}^{'}.\]

Теорема доказана. $$\blacksquare$$

Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала

Опеделение 4. Рассмотрим отображение $$f: X \rightarrow Y$$. Коядром $$f$$ назовем $$\coker (f)=Y \backslash \im(f).$$

Вспомогательная лемма.

Пусть линейный ограниченный функционал $$f(x), x \in H$$ не является аннулирующим $$f \not\equiv 0$$, тогда размерность коядра $$\dim \coker f = 1$$.

Доказательство:

$$\ker f \neq H$$. Пусть $$x_1$$ и $$x_2 \notin \ker f$$. Тогда $$f(x_2)x_1 - f(x_1)x_2 \in \ker f$$. Значит $$0 < \dim \coker f<2$$. $$\blacksquare$$

Теорема Рисса Для $$\forall f(x), x \in H$$, где $$f$$ линейно ограниченный функционал, $$\exists ! h \in H: f(x)=\left<x,h\right>$$, причем $$||f|| = ||h||$$.

Доказательство:

1) Существование: Воспользуемся леммой: $$\dim(\ker f)^{\perp} = 1$$. $$\ker f$$ замкнутое множество, значит $$H = \ker f \oplus (\ker f)^{\perp}$$.

\[\forall x \in H ~\exists! ~x_1 \in \ker f, x_2 \in (\ker f)^{\perp},\] \[ x = x_1 + x_2, ~f(x)=f(x_1)+f(x_2)=f(x_2),\] \[ (\ker f)^{\perp} = \mathcal{L}(e) ,\] \[ x_2 = \left<x,e\right>e, f(x_2)=\left<x,e\right>f(e)=\left<x,h\right>.\] Тогда $$h=\overline{f(e)}e$$. Существование доказано.

2) Норма: $$f \not\equiv 0: f(x)=\left<x,h\right>.$$ \[ |f(x)| \leq ||x||||h|| \Rightarrow ||f|| \leq ||h|| .\] Пусть $$x_0 = \frac{h}{||h||}:$$ \[ f(x_0) = \left<\frac{h}{||h||},h\right> = \frac{||h||^2}{||h||} = ||h|| \Rightarrow ||f|| = ||h||.\]

3) Единственность: \[ f(x) = \left<x,h_1\right> = \left<x,h_2\right> , \left<x, h_1 - h_2\right> = 0, \forall x \in H \Rightarrow h_1 = h_2.\]

Теорема доказана. $$\blacksquare$$

Следствия:

1. $$f \leftrightarrow h$$, всякому $$f$$ соответствует единственное $$h$$ и наоборот.
2. Оператор соответствия $$f \rightarrow h$$ антилинейный.
3. $$H \cong H^* \cong H^{**}$$.

Примеры

Определение. Пространство \(\ell^2\) состоит из всех последовательностей \(x = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}\) комплексных чисел, для которых конечна сумма:

\[\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty\]

Скалярное произведение определяется формулой: \[\left<x,y\right> = \sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y_n}\]

Норма: \[\|x\| = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2}\]

Теорема 4. Пространство \(\ell^2\) полно.

Доказательство:

1. Пусть \(\{x^{(k)}\}\) — фундаментальная последовательность в \(\ell^2\)
2. Для каждого фиксированного \(n\) последовательность \(\{x_n^{(k)}\}_{k=1}^{\infty}\) фундаментальна в \(\mathbb{C}\)
3. Существует предел \(x_n = \displaystyle{\lim_{k\to\infty}} x_n^{(k)}\)
4. Проверим, что \(x = \{x_n\} \in \ell^2\)
5. Используя неравенство Фату получаем:

\[\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 \leq \liminf_{k \to \infty} \sum_{n=1}^{\infty} |x_n^{(k)}|^2 < \infty\] $$\blacksquare$$

Определение. Пространство \(L^2[a,b]\) состоит из измеримых функций \(f: [a,b] \to \mathbb{C}\), для которых:

\[\int_a^b |f(x)|^2 dx < \infty\]

Скалярное произведение: \[(f,g) = \int_a^b f(x)\overline{g(x)} dx\]

Норма: \[\|f\| = \sqrt{\int_a^b |f(x)|^2 dx}\]

Теорема 5. Пространство \(L^2[a,b]\) полно.

Доказательство:

1. Пусть \(\{f_n\}\) — фундаментальная последовательность
2. Существует подпоследовательность \(\{f_{n_k}\}\), сходящаяся почти всюду
3. По лемме Фату:

\[\int_a^b |f(x)|^2 dx \leq \liminf_{k \to \infty} \int_a^b |f_{n_k}(x)|^2 dx < \infty\] $$\blacksquare$$

Список литературы

1. Полосин А.А. Лекции по курсу "Функциональный анализ", 2023.

2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976

3. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М: Наука, 1966