Замкнутый линейный оператор

Прямая сумма линейных пространств

Определение. Прямой суммой $$Z = X \oplus Y$$ двух линейных пространств $$X$$ и $$Y$$ называется совокупность пар $$z = (x, y)$$ $$(x \in X, y \in Y)$$, для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если $$z_1 = (x_1, y_1)$$, а $$z_2 = (x_2, y_2)$$ и $$\alpha_1, \alpha_2$$ — скаляры, то \begin{equation*} \alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2 = (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2). \end{equation*}

Если $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, то норма в $$X \oplus Y$$ вводится по формуле $$\|z\| = \|x\|_X + \|y\|_Y$$.

Утверждение. Если $$X$$ и $$Y$$ банаховы, то $$X \oplus Y$$ банахово.

График оператора

Пусть $$y = F(x)$$ — оператор с областью определения $$D(F)$$ в банаховом пространстве $$X$$ и с областью значений в банаховом пространстве $$Y$$.

Определение. Графиком оператора $$F$$ называется совокупность пар $$(x, F(x))$$, где $$x \in D(F)$$.

График оператора является подмножеством пространства $$X \oplus Y$$.

Пусть ниже $$F \equiv A$$ — линейный оператор.

Определение. Линейный оператор $$A : X \rightarrow Y$$ называется замкнутым, если его график является замкнутым множеством $$X \oplus Y$$.

Замкнутость графика оператора $$A$$ означает, что если $$x_n \in D(A)$$ и $$(x_n, Ax_n) \rightarrow (x, y)$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

Так как $$\|z\| = \|x\| + \|y\|$$, то определение замкнутости оператора $$A$$ можно записать так: если $$x_n \in D(A), x_n \rightarrow x, Ax_n \rightarrow y$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

Теорема 1. Если $$D(A) = X$$ и $$A$$ ограничен (то есть $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$), то $$A$$ замкнут.

Доказательство. Пусть $$x_n \rightarrow x$$ и $$Ax_n \rightarrow y$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Ввиду непрерывности $$A \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax, n \rightarrow \infty$$. Но предел единственен и, значит, $$y = Ax$$.

Теорема 2. Если $$A$$ замкнут и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ также замкнут.

Доказательство. Рассмотрим графики операторов $$A$$ и $$A^{-1}$$: \begin{equation*} \{(x, Ax)\}, \quad x \in D(A), \end{equation*} \begin{equation*} \{(y, A^{-1}y)\}, \quad y \in R(A). \end{equation*} Но график оператора $$A^{-1}$$ можно записать в виде $$\{(Ax, x)\}, x\in D(A)$$, то есть он получается из графика оператора $$A$$ перестановкой $$x$$ и $$Ax$$ и, значит, также является замкнутым множеством в $$Y \oplus X$$.

Это и означает замкнутость оператора $$A^{-1}$$.

Следствие. Если $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ замкнут.

Примеры замкнутых неограниченных операторов

Пример 1. В гильбертовом пространстве $$H$$ с ортонормированным базисом $$\{e_k\}_1^\infty$$ зададим линейный оператор $$A$$ следующими формулами: \begin{equation*} Ae_k = \lambda_k e_k, \quad k = 1, 2, \ldots, \end{equation*} где $$\lambda_k$$ — некоторые скаляры.

Если $$x \in H$$, то $$x = \sum_{k=1}^{\infty}\xi_k e_k$$, где ряд $$\|x\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\xi_k|^2$$ сходится.

Тогда $$Ax = \sum_{k=1}^{\infty}\lambda_k \xi_k e_k$$. Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда \begin{equation}\label{ex1} \|Ax\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\lambda_k|^2|\xi_k|^2 < \infty. \end{equation} возможны следующие два случая:

a) $$\{|\lambda_k|\}$$ ограничена. Пусть $$c_A = \sup_k|\lambda_k|$$. Тогда $$\|Ax\|^2 \leq c_A^2\|x\|^2$$, откуда — $$A$$ ограничен, а значит, и замкнут.

б) $$\{|\lambda_k|\}$$ неограничена. Оператор $$A$$ неограничен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из элементов $$x$$, удовлетворяющих неравенству \ref{ex1}. Оператор $$A$$ неограничен ввиду того, что $$\|Ae_k\| = |\lambda_k|$$ при $$k \rightarrow \infty$$ неограничены, хотя $$\|e_k\| = 1$$. Если $$\inf_k|\lambda_k| = c_A > 0$$, то существует $$A^{-1}$$, определяемый на элементах \begin{equation*} y = \sum_{k=1}^\infty \eta_k e_k, \quad \sum_{k=1}^\infty |\eta_k|^2 < \infty, \end{equation*} \begin{equation*} A^{-1}y = \sum_{k=1}^\infty \lambda_k^{-1}\eta_k e_k. \end{equation*} Поскольку $$\sup_k|\lambda_k^{-1}| = c_A^{-1} < \infty$$, то $$A^{-1}$$ ограничен. Таким образом, условие $$\inf_k|\lambda_k| > 0$$, согласно Теореме 2 обеспечивает замкнутость $$A$$.

Пример 2. Пусть $$X = Y = C[0, +\infty)$$ — банахово пространство функций $$x(t)$$, непрерывных на полуоси $$[0, +\infty)$$ с нормой $$\|x\| = \sup_{[0, +\infty)} |x(t)|$$.

Зададим в $$X$$ оператор $$A$$ по формуле $$Ax = tx(t)$$. Оператор $$A$$ линеен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из функций, удовлетворяющих неравенству \begin{equation*} |x(t)| \leq \frac{c}{1 + t}, \end{equation*} где постоянная $$c$$ — своя для каждой функции из $$D(A)$$.

Оператор $$A$$ неограничен. Действительно, рассмотрим последовательность функций $$x_n(t) = \frac{n}{n + t}\quad (n = 1, 2, \ldots)$$. Заметим, что $$x_n(t) \in D(A)$$, так как $$|x_n(t)| = \frac{n}{n + t} \leq \frac{n}{1 + t}$$. Кроме того, ясно, что $$\|x_n\| = 1$$. Теперь имеем \begin{equation*} \|Ax_n\| = \sup_{[0, +\infty)}\frac{nt}{n + t} = n, \end{equation*} следовательно, \begin{equation*} \sup_{x\in D(A), \|x\|\leq 1} \|Ax\| = +\infty. \end{equation*} Покажем, что $$A$$ замкнут. Пусть в $$X$$ $$x_n(t) \rightarrow x(t), tx_n(t) \rightarrow y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Тогда $$(1 + t)x_n(t) \rightarrow x(t) + y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Следовательно, для любого $$\varepsilon > 0$$ найдется номер $$N$$ такой, что если $$n > N$$, то \begin{equation*} |(1 + t)x_n(t) - (x(t) + y(t))| < \varepsilon \end{equation*} для всех $$t \in [0, +\infty)$$, или \begin{equation*} |x_n(t) - \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}| < \frac{\varepsilon}{1 + t} < \varepsilon. \end{equation*} Следовательно, $$x_n(t) \rightarrow \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}$$ при $$n \rightarrow \infty$$, но $$x_n(t) \rightarrow x(t)$$, поэтому \begin{equation*} \frac{x(t) + y(t)}{1 + t} = x(t) \quad \Rightarrow \quad y(t) = tx(t), \end{equation*} то есть $$y = Ax$$, причем $$|x(t)| \leq \frac{\|y\|}{1 + t}$$.

Пример 3. В пространстве $$C[a, b]$$ рассмотрим оператор дифференцирования $$Dx = \frac{d x(t)}{d t}$$ с областью определения $$G(D)$$, состоящей из непрерывно дифференцируемых на $$[a, b]$$ функций. Оператор $$D$$ неограничен.

Для доказательства его неограниченности возьмём последовательность $$x_n(t) = \sin nt$$ $$(n = 1, 2, \ldots), x_n \in G(D)$$ и $$\|x_n\| = 1$$, однако $$\|D x_n\| = n$$, если $$n$$ достаточно велико, и поэтому \begin{equation*} \sup_{x\in G(D), \|x\| \leq 1} = +\infty \end{equation*} и $$D$$ неограничен.

Покажем, что $$D$$ замкнут. Сходимость в $$C[a, b]$$ равномерная. Пусть $$x_n(t) \in G(D)$$, и пусть при $$n \rightarrow \infty$$

$$x_n(t) \rightarrow x(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$,

$$\dot x_n(t) \rightarrow y(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$.

Согласно теореме о дифференцировании функциональной последовательности функция $$x(t)$$ непрерывно дифференцируема и $$\dot x(t) = y(t)$$. Итак, $$D$$ замкнут.

Пример 4. Рассмотрим с $$C[a, b]$$ оператор дифференцирования $$D$$, но на этот раз в качестве его области определения $$G(D)$$ возьмем множество всех непрерывно дифференцируемых на $$(a, b]$$ функций, удовлетворяющих граничному условию $$x(a) = 0$$. Теперь $$D$$ имеет обратный оператор: \begin{equation*} D^{-1}y = \int_a^t y(s) ds. \end{equation*} Оператор $$D^{-1}$$ определен всюду в $$C[a, b]$$ и ограничен, так как \begin{equation*} \|D^{-1}y\| \leq (b - a)\|y\|. \end{equation*} По Теореме 2 оператор $$D$$ замкнут.

Теорема Банаха о замкнутом графике

Теорема 3. (Банаха о замкнутом графике). Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

Следствие 1. Если $$A$$ — замкнутый оператор, отображающий банахово пространство $$X$$ на банахово пространство $$Y$$ взаимно однозначно, то есть $$R(A) = Y$$, то оператор $$A^{-1}$$ ограничен.

Следствие 2. Пусть на некотором линейном пространстве $$E$$ заданы две нормы $$\|x\|_1$$ и $$\|x\|_2$$, по отношению к каждой из которых $$E$$ — банахово пространство. Если одна из норм подчинена другой, то эти нормы эквивалентны.

Список литературы

1. Треногин В.А. Функциональный анализ 2002.

2. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу, 1984.