Выпуклая функция и ее свойства

Пример выпуклого множества.

Выпуклая функция - функция $$f: X \to \overline{\R}$$, действующая из вещественного линейного пространства $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ в вещественную расширенную прямую $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$, надграфик которой является выпуклым множеством.

Определение выпуклой, собственной функции

1. Пусть $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$ - расширенная вещественная прямая, $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ - вещественное линейное пространство. С каждой функцией $$f: X \to \overline{\R}$$ можно связать множества \begin{gather*} \operatorname{epi} f \equiv \bigl\{(x,\alpha) \in X \times \overline{\R} \mid f(x) \leqslant \alpha\bigr\},\\ \operatorname{dom} f \equiv \bigl\{x \in X \mid f(x) \leqslant +\infty\bigr\}, \end{gather*} называемые соответственно надграфиком функции $$f$$ и её эффективным множеством.

2. Функция $$f$$ называется выпуклой, если ее надграфик $$\operatorname{epi} f$$ является выпуклым множеством. Функция $$f$$ называется вогнутой, если функция $$(−f)$$ является выпуклой.

3. Функция $$f$$ называется собственной, если $$\operatorname{dom} f \not= \varnothing$$ и $$f(x) > -\infty$$ для $$\forall x$$. Функция, не являющаяся собственной, называется несобственной.

Свойства выпуклой функции

Необходимое и достаточное условие выпуклости

Собственная функция $$f$$ является выпуклой $$\Leftrightarrow $$ для $$\forall \alpha \in [0,1]$$, $$\forall x_1, x_2$$ выполняется: \begin{gather}\label{eq1} f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \leqslant \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2). \end{gather}

По индукции получаем, что $$\eqref{eq1}$$, а значит, и выпуклость собственной функции $$f$$, равносильны тому, что для $$\forall n \in \N$$ имеет место неравенство Йенсена: \begin{gather}\label{eq2} f\Big(\sum_{i=1}^n\alpha_i x_i\Big) \leqslant \sum_{i=1}^n\alpha_i f(x_i) \; \forall (\alpha_1,..., \alpha_n): \: \sum_{i=1}^n\alpha_i = 1, \: \alpha_i \leqslant 0, \end{gather} для любых точек $$x_1, ..., x_n$$.

Если функция (не обязательно собственная) выпукла, то $$\eqref{eq2}$$ выполняется для любого набора точек $$x_1,...,x_n$$, для которых $$-\infty < f(x_i) < +\infty$$, $$i = \overline{1, n}$$.

Из $$\eqref{eq2}$$ вытекает, что эффективное множество выпуклой функции выпукло.

Далее считаем, что $$X$$ - нормированное пространство.

Теорема (критерий выпуклости)

Пусть $$X$$ - евклидово пространство и функция $$f$$ дважды непрерывно дифференцируема на $$X$$. Тогда функция $$f$$ выпукла $$\Leftrightarrow $$ для $$\forall x \in X$$ выполняется: \begin{gather}\label{eq3} \dfrac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} \geqslant 0 \; \end{gather} Здесь неотрицательность квадратичной формы $$Q = \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2}$$ означает, что $$\langle Qξ, ξ\rangle \geqslant 0 \forall ξ \in X $$.

Следствие. Если функция $$f$$ выпукла и дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки $$x_0 \in X$$, то \begin{gather} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0) \geqslant 0. \end{gather}

Замкнутость, ограниченность, непрерывность и липшицевость выпуклых функций

Будем считать, что $$X$$ - нормированное пространство. Функция $$f: X \to \overline{\R}$$ непрерывна в точке $$x_0 \in X$$, если для любой сходящейся к ней последовательности $$\bigl\{x_i\bigr\}$$ имеет место $$f(x_i) \rightarrow f(x_0)$$ при $$i \rightarrow \infty$$.

Определенная на $$X$$ функция $$f$$ называется полунепрерывной снизу в точке $$x_0$$, если $$\underline{\lim}_{x_i \rightarrow x_0} f(x_i) \geqslant f(x_0)$$. Функция $$f$$ называется полунепрерывной сверху в точке $$x_0$$, если функция $$-f$$ полунепрерывна снизу. Функция полунепрерывна снизу (сверху), если она полунепрерывна снизу (сверху) во всех точках.

Функция называется замкнутой, если её надграфик замкнут.

Пусть $$f$$ - выпуклая собственная функция и $$X = \overline{\R}^n$$. Тогда её замыкание $$\operatorname{cl} f$$ также является собственной функцией.

Необходимое и достаточное условие полунепрерывности снизу

Функция $$f$$ полунепрерывна снизу $$\Leftrightarrow$$, когда для $$\forall a \in \R$$ ее множество Лебега $$\mathcal{L}_a f$$ замкнуто.

Необходимое и достаточное условие замкнутости

Для замкнутости функции необходимо и достаточно, чтобы она была полунепрерывна снизу.

Теорема о непрерывности в окрестности точки

Пусть выпуклая собственная функция $$f: X \to \overline{\R}$$ ограничена сверху в некоторой окрестности заданной точки $$x_0$$. Тогда $$f$$ непрерывна в этой окрестности точки $$x_0$$.

Следствие (липшицевость в окрестности). Пусть для выпуклой собственной функции $$f: X \to \overline{\R}$$ и точки $$x_0 \in X$$ $$\exists c > 0$$, $$\delta >0$$, что $$f(x) \leqslant c$$ $$\forall x \in O(x_0, 2\delta)$$. Тогда на множестве $$O(x_0, 2\delta)$$ функция $$f$$ удовлетворяет условию Липшица с константой $$c$$: окрестности точки $$x_0 \in X$$, то \begin{gather} \mid f(x_2) - f(x_1)\mid \leqslant c \mid \mid x_2 - x_1 \mid \mid \; \forall x_1, x_2 \in O(x_0, \delta). \end{gather}

Следствие. Пусть выпуклая собственная функция $$f: X \to \overline{\R}$$ ограничена сверху на некотором непустом открытом множестве. Тогда она непрерывна на множестве $$\operatorname{int}(\operatorname{dom f}) \not = \varnothing$$.

Теорема о липшицевости на выпуклом компакте

Пусть $$f: \R^n \to \overline{\R}$$ - собственная выпуклая функция, $$S$$ - выпуклый компакт и $$S \subset \operatorname{int}(\operatorname{dom f})$$. Тогда на множестве $$S$$ функция $$f$$ удовлетворяет условию Липшица.

Список литературы

1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.