Отделимость множеств: различия между версиями
Oleg23 (обсуждение | вклад) |
Oleg23 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 14: | Строка 14: | ||
'''Определение 3.''' ''Относительной внутренностью'' множества $$A$$ назовём его «внутренность относительно аффинной оболочки $$A$$», то есть множество точек $$ri A := \{x \in X \, | \, \exists \varepsilon > 0: O(x, \, \varepsilon) \cap aff A \subset A\}$$. Здесь $$ O(x, \, \varepsilon) = \{y \in X \, | \, ||y - x|| < \varepsilon \}$$ - открытый шар в нормированном пространстве $$X$$. | '''Определение 3.''' ''Относительной внутренностью'' множества $$A$$ назовём его «внутренность относительно аффинной оболочки $$A$$», то есть множество точек $$ri A := \{x \in X \, | \, \exists \varepsilon > 0: O(x, \, \varepsilon) \cap aff A \subset A\}$$. Здесь $$ O(x, \, \varepsilon) = \{y \in X \, | \, ||y - x|| < \varepsilon \}$$ - открытый шар в нормированном пространстве $$X$$. | ||
− | '''Определение 4.''' | + | '''Определение 4.''' Будем говорить, что множества $$A$$ и $$B$$ ''отделимы'', если найдётся такой действующий на $$X$$ линейный непрерывный функционал $$l\not=0$$, что |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
\sup\limits_{x \in A}\left<l, x\right>\leq\inf\limits_{x \in A}\left<l, y\right>. | \sup\limits_{x \in A}\left<l, x\right>\leq\inf\limits_{x \in A}\left<l, y\right>. | ||
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
− | + | Также говорят, что функционал $$l$$ ''разделяет'' множества $$A$$ и $$B$$. | |
+ | |||
+ | '''Определение 5.''' Будем говорить, что множества $$A$$ и $$B$$ ''строго отделимы'', если найдётся такой действующий на $$X$$ линейный непрерывный функционал $$l\not=0$$, что | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
\sup\limits_{x \in A}\left<l, x\right><\inf\limits_{x \in A}\left<l, y\right>. | \sup\limits_{x \in A}\left<l, x\right><\inf\limits_{x \in A}\left<l, y\right>. | ||
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
− | |||
− | + | Также говорят, что функционал $$l$$ ''строго разделяет'' множества $$A$$ и $$B$$. \\ | |
+ | |||
Заметим, что множества $$A$$ и $$B$$ можно отделимы тогда и только тогда, когда множество $$(A − B)$$ можно отделить от $$\{0\}$$ (множества, состоящего из одного нуля). Этим фактом мы воспользуемся при доказательстве следующей теоремы. | Заметим, что множества $$A$$ и $$B$$ можно отделимы тогда и только тогда, когда множество $$(A − B)$$ можно отделить от $$\{0\}$$ (множества, состоящего из одного нуля). Этим фактом мы воспользуемся при доказательстве следующей теоремы. | ||
− | == | + | ==Теоремы отделимости== |
− | ''' | + | '''Теорема 1.''' (О конечномерной отделимости). |
− | + | Пусть $$A, B$$ — непустые выпуклые подмножества $$R^n$$ и их относительные внутренности $$ri A$$ и $$ri B$$ не пересекаются. Тогда множества $$A$$ и $$B$$ можно отделить. | |
− | Пусть $$A, B$$ — непустые выпуклые подмножества $$R^n$$ и их относительные внутренности $$ri A$$ и $$ri B$$ не пересекаются. Тогда множества A и B можно отделить. | ||
− | |||
− | |||
+ | '''Доказательство.''' | ||
Заметим, что так как $$ri A$$ и $$ri B$$ не пересекаются, то $$0\not\in (ri A-ri B)$$. Множество $$(ri A-ri B)$$ выпукло $$\Longrightarrow$$ (указать ссылку на лемму 1.4.2) $$\Longrightarrow$$ $$(ri A-ri B)$$ отделимо от нуля, а значит $$ri A$$ и $$ri B$$ отделимы, т.е. $$\exists l\not=0$$ и $$\gamma\in\mathbb{R}:$$$$\forall x\in{ri A},y\in{ri B} \Longrightarrow\left<l, x\right>\leq\gamma\leq\left<l, y\right>$$. | Заметим, что так как $$ri A$$ и $$ri B$$ не пересекаются, то $$0\not\in (ri A-ri B)$$. Множество $$(ri A-ri B)$$ выпукло $$\Longrightarrow$$ (указать ссылку на лемму 1.4.2) $$\Longrightarrow$$ $$(ri A-ri B)$$ отделимо от нуля, а значит $$ri A$$ и $$ri B$$ отделимы, т.е. $$\exists l\not=0$$ и $$\gamma\in\mathbb{R}:$$$$\forall x\in{ri A},y\in{ri B} \Longrightarrow\left<l, x\right>\leq\gamma\leq\left<l, y\right>$$. | ||
Пусть $$x \in A$$. Тогда существует последовательность точек $$\{x_i\}$$, лежащая в $$ri A$$ и сходящаяся к $$x$$. Поэтому, $$\left<l, x_i\right>\leq\gamma,$$ $$\forall i$$. Переходя к пределу по $$i$$, получаем, что, $$\left<l, x\right>\leq\gamma$$. Поступив аналогично для точек $$y$$ множества $$B$$, получим, что полученный линейный непрерывный функционал $$l$$ также разделяет $$A$$ и $$B$$.$$~~\blacksquare$$ | Пусть $$x \in A$$. Тогда существует последовательность точек $$\{x_i\}$$, лежащая в $$ri A$$ и сходящаяся к $$x$$. Поэтому, $$\left<l, x_i\right>\leq\gamma,$$ $$\forall i$$. Переходя к пределу по $$i$$, получаем, что, $$\left<l, x\right>\leq\gamma$$. Поступив аналогично для точек $$y$$ множества $$B$$, получим, что полученный линейный непрерывный функционал $$l$$ также разделяет $$A$$ и $$B$$.$$~~\blacksquare$$ |
Версия 23:55, 25 октября 2023
Для получения многих результатов в выпуклом анализе ключевую роль занимают теоремы об отделимости выпуклых множеств. Дадим необходимые определения.
Далее будем считать, что $$X = (X, \, ||\cdot||)$$ - нормированное пространство, а $$A$$ и $$B$$ - его непустые подмножества. Дадим необходимые определения.
Определения
Определение 1. Аффинной комбинацией точек $$x_1, x_2, \ldots, x_n \in X$$ назовём выражение $$\sum_{i = 1} ^ n \alpha_i x_i$$, где числа $$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$$ удовлетворяют условиям $$\forall i \, \alpha_i \geqslant 0, \, \sum_{i = 1} ^ n \alpha_i = 1$$.
Определение 2. Аффинной оболочкой множества $$A$$ назовём множество всевозможных аффинных комбинаций точек множества $$A: aff A := \{\sum_{i = 1} ^ n \alpha_i x_i | n \in \mathbb N, \, \forall i \, \alpha_i \geqslant 0, \, x_1, \, x_2, \ldots, x_n \in X \}$$.
Определение 3. Относительной внутренностью множества $$A$$ назовём его «внутренность относительно аффинной оболочки $$A$$», то есть множество точек $$ri A := \{x \in X \, | \, \exists \varepsilon > 0: O(x, \, \varepsilon) \cap aff A \subset A\}$$. Здесь $$ O(x, \, \varepsilon) = \{y \in X \, | \, ||y - x|| < \varepsilon \}$$ - открытый шар в нормированном пространстве $$X$$.
Определение 4. Будем говорить, что множества $$A$$ и $$B$$ отделимы, если найдётся такой действующий на $$X$$ линейный непрерывный функционал $$l\not=0$$, что \begin{gather*} \sup\limits_{x \in A}\left<l, x\right>\leq\inf\limits_{x \in A}\left<l, y\right>. \end{gather*}
Также говорят, что функционал $$l$$ разделяет множества $$A$$ и $$B$$.
Определение 5. Будем говорить, что множества $$A$$ и $$B$$ строго отделимы, если найдётся такой действующий на $$X$$ линейный непрерывный функционал $$l\not=0$$, что \begin{gather*} \sup\limits_{x \in A}\left<l, x\right><\inf\limits_{x \in A}\left<l, y\right>. \end{gather*}
Также говорят, что функционал $$l$$ строго разделяет множества $$A$$ и $$B$$. \\
Заметим, что множества $$A$$ и $$B$$ можно отделимы тогда и только тогда, когда множество $$(A − B)$$ можно отделить от $$\{0\}$$ (множества, состоящего из одного нуля). Этим фактом мы воспользуемся при доказательстве следующей теоремы.
Теоремы отделимости
Теорема 1. (О конечномерной отделимости). Пусть $$A, B$$ — непустые выпуклые подмножества $$R^n$$ и их относительные внутренности $$ri A$$ и $$ri B$$ не пересекаются. Тогда множества $$A$$ и $$B$$ можно отделить.
Доказательство. Заметим, что так как $$ri A$$ и $$ri B$$ не пересекаются, то $$0\not\in (ri A-ri B)$$. Множество $$(ri A-ri B)$$ выпукло $$\Longrightarrow$$ (указать ссылку на лемму 1.4.2) $$\Longrightarrow$$ $$(ri A-ri B)$$ отделимо от нуля, а значит $$ri A$$ и $$ri B$$ отделимы, т.е. $$\exists l\not=0$$ и $$\gamma\in\mathbb{R}:$$$$\forall x\in{ri A},y\in{ri B} \Longrightarrow\left<l, x\right>\leq\gamma\leq\left<l, y\right>$$.
Пусть $$x \in A$$. Тогда существует последовательность точек $$\{x_i\}$$, лежащая в $$ri A$$ и сходящаяся к $$x$$. Поэтому, $$\left<l, x_i\right>\leq\gamma,$$ $$\forall i$$. Переходя к пределу по $$i$$, получаем, что, $$\left<l, x\right>\leq\gamma$$. Поступив аналогично для точек $$y$$ множества $$B$$, получим, что полученный линейный непрерывный функционал $$l$$ также разделяет $$A$$ и $$B$$.$$~~\blacksquare$$