Приложения преобразования Лапласа: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Miron1 (обсуждение | вклад) |
Miron1 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 31: | Строка 31: | ||
===Примеры:=== | ===Примеры:=== | ||
====Нахождение фундаментальной матрицы:==== | ====Нахождение фундаментальной матрицы:==== | ||
− | + | \(\dot x = Ax\, , \, x \in \mathbb{R}^n \\ | |
− | x(t) - \text{фундаментальная матрица, если:} \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{dX}{dt}=Ax \\ X(0) = I\end{array} \right. | + | x(t) - \text{фундаментальная матрица, если:} \left\{ \begin{array}{rcl} |
+ | \label{fm} | ||
+ | \frac{dX}{dt}=Ax \\ | ||
+ | X(0) = I | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right. | ||
+ | \) | ||
+ | <br /> | ||
+ | \ref{fm} |
Версия 12:40, 21 ноября 2020
Приведем некоторые основные формулы, используемые для решения дифференциальных уравнений и вычисления матричных экспоненциалов с помощью преобразования Лапласа:
- $$x(t) \supset \frac{1}{p}$$
- $$x(t)t^n \supset \frac{n!}{p^{n+1}}$$
- $$x(t)t^{\alpha}e^{\beta t} \supset \frac{n!}{(p-\beta)^{n+1}}, \beta \in \mathbb{C}$$
- $$x(t)t^{\alpha}\cos{\omega t} \supset \frac{\varGamma (\alpha + 1)}{2}\left(\frac{1}{(p-\omega i)^{\alpha+1}} + \frac{1}{(p+\omega i)^{\alpha+1}} \right)$$
- $$x(t)t^{\alpha}\sin{\omega t} \supset \frac{\varGamma (\alpha + 1)}{2}\left(\frac{1}{(p-\omega i)^{\alpha+1}} - \frac{1}{(p+\omega i)^{\alpha+1}} \right)$$
- $$x(t)\sin{\omega t} \supset \frac{\omega}{p^2 + \omega^2}$$
- $$x(t)\cos{\omega t} \supset \frac{p}{p^2 + \omega^2}$$
- $$x(t)e^{\beta t}\sin{\omega t} \supset \frac{\omega}{(p-\beta)^2 + \omega^2}$$
- $$x(t)e^{\beta t}\cos{\omega t} \supset \frac{p-\beta}{(p-\beta)^2 + \omega^2}$$
- $$x(t)e^{\beta t} \supset \frac{1}{p-\beta}$$
- $$x(t)\operatorname{sh}{\omega t} \supset \frac{\omega}{p^2 - \omega^2}$$
- $$x(t)\operatorname{ch}{\omega t} \supset \frac{p}{p^2 - \omega^2}$$
- $$x(t)e^{\beta t}\operatorname{sh}{\omega t} \supset \frac{\omega}{(p-\beta)^2 - \omega^2}$$
- $$x(t)e^{\beta t}\operatorname{ch}{\omega t} \supset \frac{p-\beta}{(p-\beta)^2 - \omega^2}$$
Содержание
Свойства:
- $$f(at) \supset \frac{1}{a}F(\frac{p}{a}) \, , \, a > 0$$
- $$\frac{1}{b}\,f(\frac{t}{b}) \supset F(pb) \, , \, b > 0 \,;\, b=\frac{1}{a}$$
- $$x(t-a)f(t-a) \supset e^{-ap}F(p)$$
- $$x(t)f(t+a) \supset e^{ap}\left(F(p)-\int\limits_0^a f(t)e^{-pt} dt \right) $$
- $$x(t)e^{\beta t} \supset F(p+\beta)$$
Дифференцируемость:
- $$f^{(k)}(t) \supset p^{k}F(p) - p^0f^{(k-1)}(0) - pf^{(k-2)}(0) - \ldots - p^{k-1}f(0)$$
- $$x(t)(-t)^k \supset F^{(k)}(p)$$
Интегрируемость:
- $$\int\limits_0^t f(\tau) d\tau \supset \frac{F(p)}{p}$$
- $$\frac{f(t)}{t} \supset \int\limits_0^{+\infty}F(z) dz$$
Примеры:
Нахождение фундаментальной матрицы:
\(\dot x = Ax\, , \, x \in \mathbb{R}^n \\
x(t) - \text{фундаментальная матрица, если:} \left\{ \begin{array}{rcl}
\label{fm}
\frac{dX}{dt}=Ax \\
X(0) = I
\end{array}
\right.
\)
\ref{fm}