Поляра множества и ее свойства: различия между версиями
Vlad22 (обсуждение | вклад) (Новая страница: «== Определение == Пусть $$A$$ непустое подмножество $$\mathbb{R}^n$$. Полярой множества $$A$$ называет...») |
Vlad22 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 7: | Строка 7: | ||
== Свойства == | == Свойства == | ||
| − | + | 1. $$conv(A^{\circ}) = A^{\circ}$$; | |
| − | + | ||
| − | + | Д-во: | |
| − | + | ||
| − | + | 2. $$\overline{A} = A$$; | |
| − | + | ||
| + | Д-во: | ||
| + | |||
| + | 3. если $$\lambda > 0$$, то $$(\lambda A)^{\circ} = \frac{1}{\lambda}A^{\circ}$$; | ||
| + | |||
| + | Д-во: | ||
| + | |||
| + | 4. если $$A \subset B$$, то $$A^{\circ} \supset B^{\circ}$$ | ||
| + | |||
| + | Д-во: | ||
| + | |||
| + | 1) Пусть $$y_0 \in B^{\circ}$$. Тогда $$\forall x \in B: \langle x, y_0 \rangle \leqslant 1$$. $$ A \in B $$ следовательно, это выполняется $$\forall x \in A$$. Значит $$B^{\circ} \subseteq A^{\circ}$$ | ||
| + | |||
| + | 2) ? | ||
| + | |||
| + | Следствие 1. Если $$A$$ - ограничено, то $$0 \in Int(A^{\circ})$$. | ||
| + | |||
| + | Д-во: | ||
| + | |||
| + | $$A$$ ограничено $$\Rightarrow \exists R > 0: A \subset \bar{B}_R(0)$$. По свойству 4 $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/R}(0)$$. Тогда $$0 \in Int(A^{\circ})$$ | ||
| + | |||
| + | Следствие 2. Если $$0 \in Int(A)$$, то $$A^{\circ}$$ ограничено. | ||
| + | |||
| + | Д-во: | ||
| + | |||
| + | $$0 \in Int(A) \Rightarrow \exists r > 0: \bar{B}_r(0) \subset A$$. Тогда $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/r}(0) \Rightarrow A^{\circ}$$ - ограничено | ||
| + | |||
| + | 5. $$A^{\circ} = \{y \in \mathbb{R}^n | \rho(y,A) \leqslant 1\}$$, где $$\rho$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0 опорная функция]; | ||
| + | |||
| + | Д-во: следует из определения опорной функции. | ||
| + | |||
| + | 6.$$\forall A,B \subset \mathbb{R}^n, (A \cup B)^{\circ} = A^{\circ} \cap B^{\circ}$$. | ||
| + | |||
| + | Д-во: | ||
| + | |||
| + | $$(A \cup B)^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in (A \cup B), \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in A, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} \cap \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in B, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = A^{\circ} \cap B^{\circ}$$ | ||
| + | |||
| + | Примечание: свойство выполняется в случае бесконечных объединений - пусть $$A = \cup A_i$$, тогда $$(\cup A_i)^{\circ} = \cup A_i^{\circ}$$. Доказывается аналогично. | ||
| + | |||
| + | Следствие: поляра любого множества замкнута, выпукла и содержит 0. | ||
| + | |||
| + | Д-во: | ||
| + | |||
| + | Представим множество $$A$$ в виде $$A = \cup_{x \in A} \{x\}$$. Тогда $$A^{\circ} = \cap_{x \in A} \{x\}^{\circ} | ||
| + | 7. Из [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D1%85%D0%B5%D0%BB%D1%8F-%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%BE теоремы Фенхеля-Моро] выводится теорема о биполяре: для того чтобы $$A^{\circ\circ} = A$$, необходимо и достаточно, чтобы $$A$$ было выпуклым замкнутым множеством, содержащим нуль; | ||
Версия 12:06, 29 октября 2022
Определение
Пусть $$A$$ непустое подмножество $$\mathbb{R}^n$$. Полярой множества $$A$$ называется множество \[ A^{\circ}=\left\{y \in \mathbb{R}^n~|~ \langle x, y \rangle \leqslant 1 , \forall x \in A\right\}. \] Поляра множества $$A^{\circ}$$ называется биполярой $$A$$.
Свойства
1. $$conv(A^{\circ}) = A^{\circ}$$;
Д-во:
2. $$\overline{A} = A$$;
Д-во:
3. если $$\lambda > 0$$, то $$(\lambda A)^{\circ} = \frac{1}{\lambda}A^{\circ}$$;
Д-во:
4. если $$A \subset B$$, то $$A^{\circ} \supset B^{\circ}$$
Д-во:
1) Пусть $$y_0 \in B^{\circ}$$. Тогда $$\forall x \in B: \langle x, y_0 \rangle \leqslant 1$$. $$ A \in B $$ следовательно, это выполняется $$\forall x \in A$$. Значит $$B^{\circ} \subseteq A^{\circ}$$
2) ?
Следствие 1. Если $$A$$ - ограничено, то $$0 \in Int(A^{\circ})$$.
Д-во:
$$A$$ ограничено $$\Rightarrow \exists R > 0: A \subset \bar{B}_R(0)$$. По свойству 4 $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/R}(0)$$. Тогда $$0 \in Int(A^{\circ})$$
Следствие 2. Если $$0 \in Int(A)$$, то $$A^{\circ}$$ ограничено.
Д-во:
$$0 \in Int(A) \Rightarrow \exists r > 0: \bar{B}_r(0) \subset A$$. Тогда $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/r}(0) \Rightarrow A^{\circ}$$ - ограничено
5. $$A^{\circ} = \{y \in \mathbb{R}^n | \rho(y,A) \leqslant 1\}$$, где $$\rho$$ — опорная функция;
Д-во: следует из определения опорной функции.
6.$$\forall A,B \subset \mathbb{R}^n, (A \cup B)^{\circ} = A^{\circ} \cap B^{\circ}$$.
Д-во:
$$(A \cup B)^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in (A \cup B), \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in A, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} \cap \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in B, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = A^{\circ} \cap B^{\circ}$$
Примечание: свойство выполняется в случае бесконечных объединений - пусть $$A = \cup A_i$$, тогда $$(\cup A_i)^{\circ} = \cup A_i^{\circ}$$. Доказывается аналогично.
Следствие: поляра любого множества замкнута, выпукла и содержит 0.
Д-во:
Представим множество $$A$$ в виде $$A = \cup_{x \in A} \{x\}$$. Тогда $$A^{\circ} = \cap_{x \in A} \{x\}^{\circ} 7. Из [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D1%85%D0%B5%D0%BB%D1%8F-%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%BE теоремы Фенхеля-Моро] выводится теорема о биполяре: для того чтобы $$A^{\circ\circ} = A$$, необходимо и достаточно, чтобы $$A$$ было выпуклым замкнутым множеством, содержащим нуль;
