Поляра множества и ее свойства: различия между версиями
Vlad22 (обсуждение | вклад) |
Vlad22 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 6: | Строка 6: | ||
Поляра множества $$A^{\circ}$$ называется биполярой $$A$$. | Поляра множества $$A^{\circ}$$ называется биполярой $$A$$. | ||
| + | == Примеры == | ||
| + | |||
| + | # $$ (\bar{B}_r(0))^{\circ} = \bar{B}_{1/r}(0)$$; | ||
| + | # $$ \{0\}^{\circ} = \mathbb{R}^n$$; | ||
| + | # Для $$p \neq 0, \{p\}^{\circ}$$ - замкнутое полупространство:\begin{gather*} | ||
| + | \{p\}^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n : \langle x,p \rangle \leqslant 1 \};\end{gather*} | ||
| + | # Если $$A$$ - линейное подпространство, то $$A^{\circ} = A^{\perp}$$. | ||
== Свойства == | == Свойства == | ||
| − | 1. $$ | + | 1. Если $$\lambda > 0$$, то $$(\lambda A)^{\circ} = \frac{1}{\lambda}A^{\circ}$$. |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | 2. $$A^{\circ} = \{y \in \mathbb{R}^n | \rho(y,A) \leqslant 1\}$$, где $$\rho$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0 опорная функция]. | |
| − | + | 3. '''Антимонотонность:''' если $$A \subset B$$, то $$A^{\circ} \supset B^{\circ}$$. | |
| − | + | '''Следствие 1.''' Если $$A$$ - ограничено, то $$0 \in Int(A^{\circ})$$. | |
| − | Д-во: | + | '''Д-во:''' |
| − | + | $$A$$ ограничено $$\Rightarrow \exists R > 0: A \subset \bar{B}_R(0)$$. По свойству 4: $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/R}(0)$$. Тогда $$0 \in Int(A^{\circ})$$. | |
| − | 2) | + | '''Следствие 2.''' Если $$0 \in Int(A)$$, то $$A^{\circ}$$ ограничено. |
| − | + | '''Д-во:''' | |
| − | + | $$0 \in Int(A) \Rightarrow \exists r > 0: \bar{B}_r(0) \subset A$$. Тогда $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/r}(0) \Rightarrow A^{\circ}$$ - ограничено. | |
| − | $$ | + | 4. '''Поляра объединения множеств:''' $$\forall A,B \subset \mathbb{R}^n, (A \cup B)^{\circ} = A^{\circ} \cap B^{\circ}$$. |
| − | + | '''Д-во:''' | |
| + | \begin{gather*} | ||
| + | (A \cup B)^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in (A \cup B), \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in A, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} \cap \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in B, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = A^{\circ} \cap B^{\circ}. | ||
| + | \end{gather*} | ||
| − | + | '''Примечание:''' свойство выполняется в случае бесконечных объединений - пусть $$A = \cup A_i$$, тогда $$(\cup A_i)^{\circ} = \cap A_i^{\circ}$$. Доказывается аналогично. | |
| − | + | '''Следствие:''' поляра любого множества замкнута, выпукла и содержит 0. | |
| − | + | '''Д-во:''' | |
| − | + | Представим множество $$A$$ в виде $$A = \cup_{x \in A} \{x\}$$. Тогда $$A^{\circ} = \cap_{x \in A} \{x\}^{\circ}$$ - пересечение замкнутых полупространств, содержащих ноль. | |
| − | + | 5. Из [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D1%85%D0%B5%D0%BB%D1%8F-%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%BE теоремы Фенхеля-Моро] выводится теорема о биполяре: для того чтобы $$A^{\circ\circ} = A$$, необходимо и достаточно, чтобы $$A$$ было выпуклым замкнутым множеством, содержащим нуль. | |
| − | + | == Операции над множеством, не меняющие поляру == | |
| + | 1. $$(A \cup \{0\})^{\circ} = A^{\circ} $$. | ||
| − | $$(A \cup | + | '''Д-во:''' $$(A \cup \{0\})^{\circ} = A^{\circ} \cap \{0\}^{\circ} = A^{\circ}$$. |
| − | + | 2. $$(conv(A))^{\circ} = A^{\circ}$$. | |
| − | + | '''Д-во:''' из свойства 2 и равенства $$\rho(y,A) = \rho(y,conv(A))$$. | |
| − | + | 3. $$(Cl(A))^{\circ} = A^{\circ}$$. | |
| − | + | '''Д-во:''' | |
| − | + | * Докажем, что $$A^{\circ} \subset (Cl(A))^{\circ}$$. Пусть $$p \in Cl(A) \Rightarrow p = \lim_{i \rightarrow \infty} a_i, a_i \in A$$. Рассмотрим скалярное произведение $$\langle x, p \rangle$$, $$\forall x \in A^{\circ}, \forall p \in Cl(A)$$: | |
| + | \begin{gather*} | ||
| + | \langle x, p \rangle = \langle x, \lim_{i \rightarrow \infty} a_i \rangle = \lim_{i \rightarrow \infty} \langle x, a_i \rangle \leqslant 1. | ||
| + | \end{gather*} | ||
| + | Следовательно, $$A^{\circ} \subset (Cl(A))^{\circ}$$. | ||
| + | * $$A \subset Cl(A)$$, следовательно, по свойству антимонотонности: $$A^{\circ} \supset (Cl(A))^{\circ}$$. | ||
| + | Из этого следует доказываемое утверждение. | ||
Версия 14:25, 30 октября 2022
Определение
Пусть $$A$$ непустое подмножество $$\mathbb{R}^n$$. Полярой множества $$A$$ называется множество \[ A^{\circ}=\left\{y \in \mathbb{R}^n~|~ \langle x, y \rangle \leqslant 1 , \forall x \in A\right\}. \] Поляра множества $$A^{\circ}$$ называется биполярой $$A$$.
Примеры
- $$ (\bar{B}_r(0))^{\circ} = \bar{B}_{1/r}(0)$$;
- $$ \{0\}^{\circ} = \mathbb{R}^n$$;
- Для $$p \neq 0, \{p\}^{\circ}$$ - замкнутое полупространство:\begin{gather*} \{p\}^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n : \langle x,p \rangle \leqslant 1 \};\end{gather*}
- Если $$A$$ - линейное подпространство, то $$A^{\circ} = A^{\perp}$$.
Свойства
1. Если $$\lambda > 0$$, то $$(\lambda A)^{\circ} = \frac{1}{\lambda}A^{\circ}$$.
2. $$A^{\circ} = \{y \in \mathbb{R}^n | \rho(y,A) \leqslant 1\}$$, где $$\rho$$ — опорная функция.
3. Антимонотонность: если $$A \subset B$$, то $$A^{\circ} \supset B^{\circ}$$.
Следствие 1. Если $$A$$ - ограничено, то $$0 \in Int(A^{\circ})$$.
Д-во:
$$A$$ ограничено $$\Rightarrow \exists R > 0: A \subset \bar{B}_R(0)$$. По свойству 4: $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/R}(0)$$. Тогда $$0 \in Int(A^{\circ})$$.
Следствие 2. Если $$0 \in Int(A)$$, то $$A^{\circ}$$ ограничено.
Д-во:
$$0 \in Int(A) \Rightarrow \exists r > 0: \bar{B}_r(0) \subset A$$. Тогда $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/r}(0) \Rightarrow A^{\circ}$$ - ограничено.
4. Поляра объединения множеств: $$\forall A,B \subset \mathbb{R}^n, (A \cup B)^{\circ} = A^{\circ} \cap B^{\circ}$$.
Д-во: \begin{gather*} (A \cup B)^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in (A \cup B), \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in A, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} \cap \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in B, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = A^{\circ} \cap B^{\circ}. \end{gather*}
Примечание: свойство выполняется в случае бесконечных объединений - пусть $$A = \cup A_i$$, тогда $$(\cup A_i)^{\circ} = \cap A_i^{\circ}$$. Доказывается аналогично.
Следствие: поляра любого множества замкнута, выпукла и содержит 0.
Д-во:
Представим множество $$A$$ в виде $$A = \cup_{x \in A} \{x\}$$. Тогда $$A^{\circ} = \cap_{x \in A} \{x\}^{\circ}$$ - пересечение замкнутых полупространств, содержащих ноль.
5. Из теоремы Фенхеля-Моро выводится теорема о биполяре: для того чтобы $$A^{\circ\circ} = A$$, необходимо и достаточно, чтобы $$A$$ было выпуклым замкнутым множеством, содержащим нуль.
Операции над множеством, не меняющие поляру
1. $$(A \cup \{0\})^{\circ} = A^{\circ} $$.
Д-во: $$(A \cup \{0\})^{\circ} = A^{\circ} \cap \{0\}^{\circ} = A^{\circ}$$.
2. $$(conv(A))^{\circ} = A^{\circ}$$.
Д-во: из свойства 2 и равенства $$\rho(y,A) = \rho(y,conv(A))$$.
3. $$(Cl(A))^{\circ} = A^{\circ}$$.
Д-во:
- Докажем, что $$A^{\circ} \subset (Cl(A))^{\circ}$$. Пусть $$p \in Cl(A) \Rightarrow p = \lim_{i \rightarrow \infty} a_i, a_i \in A$$. Рассмотрим скалярное произведение $$\langle x, p \rangle$$, $$\forall x \in A^{\circ}, \forall p \in Cl(A)$$:
\begin{gather*} \langle x, p \rangle = \langle x, \lim_{i \rightarrow \infty} a_i \rangle = \lim_{i \rightarrow \infty} \langle x, a_i \rangle \leqslant 1. \end{gather*} Следовательно, $$A^{\circ} \subset (Cl(A))^{\circ}$$.
- $$A \subset Cl(A)$$, следовательно, по свойству антимонотонности: $$A^{\circ} \supset (Cl(A))^{\circ}$$.
Из этого следует доказываемое утверждение.
