Опорная функция множества

Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математический аппарат опорных функций. Будем рассматривать евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$, хотя опорные функции могут быть определены и для более общего класса линейных пространств.

Определение и интерпретация

Опорная функция множества

Пусть $$Z \subseteq \mathbb{R}^n$$, тогда опорной функцией множества $$Z$$ будем называть функцию $$\rho(\cdot \mid Z) \colon\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$, такую что: \[ \begin{cases} \rho (l \mid Z) = \sup \{ \left< l, z \right> \mid z \in Z \}, & Z \neq \varnothing, \\ \rho (l \mid Z) = -\infty, & Z = \varnothing. \end{cases} \]

Опорная функция имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим множество $$Z$$ на плоскости и некоторое направление $$l$$. Для простоты положим $$\| l \| = 1$$. Тогда опорной функций множества $$Z$$ в направлении $$l$$ будет расстояние (со знаком!) от начала координат до точки множества, наиболее удаленной в данном направлении. То есть мы начинаем отодвигать гиперплоскость с нормалью $$l$$ в направлении $$l$$ до тех пор, пока дальше уже не будет множества. И в этот момент считаем скалярное произведение, что равно произведению длины $$l$$ и расстоянию до полученной гиперплоскости. Если в данном направлении «нет множества», но оно есть в противоположном направлении, то значение функции будет со знаком «минус». Множество, на котором достигается супремум в определении, называется опорным множеством. В случае, когда множество является компактом, супремум можно заменить на максимум, потому что он достигается. Если же множество к тому же является строго выпуклым, то максимум достигается в единственной точке, которую называют опорным вектором.

Свойства

Свойства опорной функции как функции от $$l$$:

1. Выпуклость: $$\rho\bigl(\alpha l_1 + (1 - \alpha)l_2 \mid Z\bigr) \leqslant \alpha \rho(l_1 \mid Z) + (1 - \alpha) \rho(l_2 \mid Z), \quad \forall \alpha \in [0, 1]$$, \quad \forall l_1, l_2 \in \mathbb{R}^n.
2. Положительная однородность: $$\rho(\alpha l \mid Z) = \alpha \rho(l \mid Z), \quad \forall \alpha > 0, \quad \forall l \in \mathbb{R}^n$$.
3. Если $$Z$$ — ограниченное множество, то опорная функция принимает только конечные значения из $$\mathbb{R}$$.
4. Ключевое свойство, делающее аппарат опорных функций крайне удобным: для любой выпуклой положительно однородной функции, принимающей конечные значения, существует единственный выпуклый компакт, для которого эта функция является опорной.

Свойства как функции от $$Z$$:

1. Неотрицательная однородность: $$\rho (l \mid \alpha Z) = \alpha \rho (l \mid Z), \quad \forall Z \neq \varnothing$$.
2. Аддитивность $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$, где сумма понимается в смысле Минковского.
3. Опорная функция любого замкнутого множества равно опорной функции его выпуклой оболочки.
4. Опорная функция объединения множеств равна максимуму из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cup Z_2) = \rho(l \mid Z_1) \vee \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$
5. Опорная функция пересечения множеств равна наибольшей выпуклой функции, не превосходящей минимум из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cap Z_2) = \mathrm{conv} \bigl( \rho(l \mid Z_1) \wedge \rho(l \mid Z_2)\bigr), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$