Выпуклая функция и ее свойства: различия между версиями
Anita22 (обсуждение | вклад) (Новая страница: « 200px|thumb|frame|right|Пример выпуклого множества. '''Выпуклая функция''' - функция $...») |
Anita22 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 4: | Строка 4: | ||
'''Выпуклая функция''' - функция $$f: X \to \overline{\R}$$, действующая из вещественного линейного пространства $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ в вещественную расширенную прямую $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$, надграфик которой является [[Выпуклое множество и его свойства|выпуклым множеством]]. | '''Выпуклая функция''' - функция $$f: X \to \overline{\R}$$, действующая из вещественного линейного пространства $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ в вещественную расширенную прямую $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$, надграфик которой является [[Выпуклое множество и его свойства|выпуклым множеством]]. | ||
| − | == Определение выпуклой функции == | + | == Определение выпуклой, собственной функции == |
1. Пусть $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$ - расширенная вещественная прямая, $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ - вещественное линейное пространство. | 1. Пусть $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$ - расширенная вещественная прямая, $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ - вещественное линейное пространство. | ||
С каждой функцией $$f: X \to \overline{\R}$$ можно связать множества | С каждой функцией $$f: X \to \overline{\R}$$ можно связать множества | ||
| Строка 15: | Строка 15: | ||
2. Функция $$f$$ называется '''выпуклой''', если ее надграфик $$\operatorname{epi} f$$ является выпуклым множеством. Функция $$f$$ называется '''вогнутой''', если функция $$(−f)$$ является выпуклой. | 2. Функция $$f$$ называется '''выпуклой''', если ее надграфик $$\operatorname{epi} f$$ является выпуклым множеством. Функция $$f$$ называется '''вогнутой''', если функция $$(−f)$$ является выпуклой. | ||
| + | 3. Функция $$f$$ называется '''собственной''', если $$\operatorname{dom} f \not= \varnothing$$ и $$f(x) > -\infty$$ для $$\forall x$$. Функция, не являющаяся собственной, называется '''несобственной'''. | ||
| + | Собственная функция $$f$$ является выпуклой $$\Leftrightarrow $$ для $$\forall \alpha \in [0,1]$$, $$\forall x_1, x_2$$ выполняется: | ||
| + | \begin{gather*}\label{eq1} | ||
| + | f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \leqslant \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2). | ||
| + | \end{gather*} | ||
| + | |||
| + | По индукции получаем, что $$\label{eq1}$$, а значит, и выпуклость собственной функции $$f$$, равносильны тому, что для $$\forall n \in \N$$ имеет место: | ||
| + | \begin{gather*} | ||
| + | f\Big(\bigsum_{i=1}^n\alpha_i x_i\Big) \leqslant \bigsum_{i=1}^n\alpha_i f(x_i) \; | ||
| + | \forall (\alpha_1,..., \alpha_n): \; \bigsum_{i=1}^n\alpha_i = 1, \; \alpha_i \leqslant 0, | ||
| + | \end{gather*} | ||
| + | для любых точек $$x_1, ..., x_n$$. | ||
== Список литературы == | == Список литературы == | ||
1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. | 1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. | ||
Версия 20:58, 4 сентября 2023
Выпуклая функция - функция $$f: X \to \overline{\R}$$, действующая из вещественного линейного пространства $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ в вещественную расширенную прямую $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$, надграфик которой является выпуклым множеством.
Определение выпуклой, собственной функции
1. Пусть $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$ - расширенная вещественная прямая, $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ - вещественное линейное пространство. С каждой функцией $$f: X \to \overline{\R}$$ можно связать множества \begin{gather*} \operatorname{epi} f \equiv \bigl\{(x,\alpha) \in X \times \overline{\R} \mid f(x) \leqslant \alpha\bigr\},\\ \operatorname{dom} f \equiv \bigl\{x \in X \mid f(x) \leqslant +\infty\bigr\}, \end{gather*} называемые соответственно надграфиком функции $$f$$ и её эффективным множеством.
2. Функция $$f$$ называется выпуклой, если ее надграфик $$\operatorname{epi} f$$ является выпуклым множеством. Функция $$f$$ называется вогнутой, если функция $$(−f)$$ является выпуклой.
3. Функция $$f$$ называется собственной, если $$\operatorname{dom} f \not= \varnothing$$ и $$f(x) > -\infty$$ для $$\forall x$$. Функция, не являющаяся собственной, называется несобственной.
Собственная функция $$f$$ является выпуклой $$\Leftrightarrow $$ для $$\forall \alpha \in [0,1]$$, $$\forall x_1, x_2$$ выполняется: \begin{gather*}\label{eq1} f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \leqslant \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2). \end{gather*}
По индукции получаем, что $$\label{eq1}$$, а значит, и выпуклость собственной функции $$f$$, равносильны тому, что для $$\forall n \in \N$$ имеет место: \begin{gather*} f\Big(\bigsum_{i=1}^n\alpha_i x_i\Big) \leqslant \bigsum_{i=1}^n\alpha_i f(x_i) \; \forall (\alpha_1,..., \alpha_n): \; \bigsum_{i=1}^n\alpha_i = 1, \; \alpha_i \leqslant 0, \end{gather*} для любых точек $$x_1, ..., x_n$$.
Список литературы
1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
