Циклы в системах с дискретным временем. Теорема Шарковского: различия между версиями
Taisia23 (обсуждение | вклад) |
Taisia23 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
</math> | </math> | ||
где <math> f: u \mapsto f(u),\ u\in{U}\subset\mathbb R^n,\ f:U\to U </math>.<br> | где <math> f: u \mapsto f(u),\ u\in{U}\subset\mathbb R^n,\ f:U\to U </math>.<br> | ||
| + | <br> | ||
| + | <br> | ||
| + | '''''Определение 1.''''' Несовпадающие точки <math>v_1,v_2,...,v_k</math> фазового пространства системы <math>(\ref{sys1})</math> образуют '''цикл длины''' <math>k</math>, если <math>f(v_1)=v_2,\ f(v_2)=v_3,...,\ f(v_{k-1})=v_k,\ f(v_k)=v_1</math>. | ||
| + | <br> | ||
| + | <br> | ||
| + | Обозначим за <math>f^k</math> <math>k</math>-ю степень отображения <math>f</math> (то есть его применение самого к себе <math>k</math> раз). Тогда если в системе <math>(\ref{sys1})</math> есть цикл длины <math>k</math>, где где <math> v_i</math> — неподвижные точки этого цикла, <math>i\in\overline{1,k}</math>, то: | ||
| + | # <math>f(v_i)=f^i(v_1)</math>, то есть любая точка цикла получается из первой (вообще говоря, любой) его точки несколькими итерациями применения отображения <math>f</math>; | ||
| + | # <math>f^k(v_i)=v_i</math>, что как раз показывает цикличность этого отображения — через <math>k</math> итераций мы возвращаемся в ту же точку, откуда стартовали, вне зависимости от самой точки. | ||
| − | '''''Определение | + | ==Устойчивость цикла== |
| + | Свойство устойчивости цикла неразрывно связано с терминами устойчивости составляющих его точек. | ||
| + | <br> | ||
| + | <br> | ||
| + | '''''Определение 2.''''' | ||
| + | Цикл длины <math>k</math> называют '''устойчивым''', если устойчивы составляющие его [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B неподвижные точки] отображения <math>f^k</math>. | ||
| + | <br> | ||
| + | <br> | ||
| + | Вычислим для начала для <math>1</math>-й неподвижной точки <math>v_1</math> производную отображения <math>f^k</math>:: | ||
| + | <math>(f^k(v_1))'=\left(f(f^{k-1}(v_1))\right)'=[по\ формуле\ производной\ сложной\ функции]=f'(f^{k-1}(v_1)) \cdot (f^{k-1}(v_1))' =\ ...\ = f'(v_i)f'(v_{i-1})...f'(v_1).</math> | ||
| − | + | ... TBD ... | |
| − | + | <br> | |
| − | < | ||
<br> | <br> | ||
| + | Таким образом, для проверки цикла на устойчивость будем использовать следующее неравенство:: | ||
| + | $$|f'(u_k)f'(u_{k-1})...f'(u_1)|\vee 1.$$ | ||
| + | |||
| + | ==Теорема Шарковского== | ||
| + | ... TBD ... | ||
| + | |||
| + | ==Пример исследования системы на предмет циклов== | ||
| + | Продемонстрируем применение определения цикла на отображении, относящемся к классу так называемых [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8_%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&action=edit&redlink=1 ''логистических отображений'']. Рассматриваемое нами задаётся следующим уравнением:: | ||
| + | <math> v_{t+1} = rv_t(1-v_t^3).</math> | ||
| + | Уравнение для поиска [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B ''неподвижной точки''] тогда будет выглядеть следующим образом:: | ||
| + | <math>v^* = rv^*(1-{v^*}^3).</math> | ||
| + | |||
| + | Решим это уравнение:: | ||
| + | <math> | ||
| + | v^*(1 - r + r{v^*}^3) = 0 \Leftrightarrow | ||
| + | \left[ | ||
| + | \begin{array}{l} | ||
| + | v^* = 0, \\ | ||
| + | v^* = \sqrt[3]{1-\frac{1}{r}}. \\ | ||
| + | \end{array}\right. | ||
| + | </math> | ||
| + | ... TBD ... | ||
Версия 00:00, 24 декабря 2023
Несмотря на кажущуюся простоту, одномерные дискретные динамические системы могут иметь достаточно сложное поведение. В частности, скалярные динамические системы с дискретным временем могут иметь решения в виде циклов. Введём и исследуем понятие цикла в динамической системе с дискретным временем.
Содержание
Понятие цикла
Пусть задана следующая динамическая система с дискретным временем:\[
\begin{equation}
\begin{cases}
N_{t+1}=f(N_t),\ \ t=0,1,2,...\\
N|_{t=0}=N_0,
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
\]
где \( f: u \mapsto f(u),\ u\in{U}\subset\mathbb R^n,\ f:U\to U \).
Определение 1. Несовпадающие точки \(v_1,v_2,...,v_k\) фазового пространства системы \((\ref{sys1})\) образуют цикл длины \(k\), если \(f(v_1)=v_2,\ f(v_2)=v_3,...,\ f(v_{k-1})=v_k,\ f(v_k)=v_1\).
Обозначим за \(f^k\) \(k\)-ю степень отображения \(f\) (то есть его применение самого к себе \(k\) раз). Тогда если в системе \((\ref{sys1})\) есть цикл длины \(k\), где где \( v_i\) — неподвижные точки этого цикла, \(i\in\overline{1,k}\), то:
- \(f(v_i)=f^i(v_1)\), то есть любая точка цикла получается из первой (вообще говоря, любой) его точки несколькими итерациями применения отображения \(f\);
- \(f^k(v_i)=v_i\), что как раз показывает цикличность этого отображения — через \(k\) итераций мы возвращаемся в ту же точку, откуда стартовали, вне зависимости от самой точки.
Устойчивость цикла
Свойство устойчивости цикла неразрывно связано с терминами устойчивости составляющих его точек.
Определение 2.
Цикл длины \(k\) называют устойчивым, если устойчивы составляющие его неподвижные точки отображения \(f^k\).
Вычислим для начала для \(1\)-й неподвижной точки \(v_1\) производную отображения \(f^k\):\[(f^k(v_1))'=\left(f(f^{k-1}(v_1))\right)'=[по\ формуле\ производной\ сложной\ функции]=f'(f^{k-1}(v_1)) \cdot (f^{k-1}(v_1))' =\ ...\ = f'(v_i)f'(v_{i-1})...f'(v_1).\]
... TBD ...
Таким образом, для проверки цикла на устойчивость будем использовать следующее неравенство::
$$|f'(u_k)f'(u_{k-1})...f'(u_1)|\vee 1.$$
Теорема Шарковского
... TBD ...
Пример исследования системы на предмет циклов
Продемонстрируем применение определения цикла на отображении, относящемся к классу так называемых логистических отображений. Рассматриваемое нами задаётся следующим уравнением:\[ v_{t+1} = rv_t(1-v_t^3).\] Уравнение для поиска неподвижной точки тогда будет выглядеть следующим образом:\[v^* = rv^*(1-{v^*}^3).\]
Решим это уравнение:\[ v^*(1 - r + r{v^*}^3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} v^* = 0, \\ v^* = \sqrt[3]{1-\frac{1}{r}}. \\ \end{array}\right. \] ... TBD ...
