|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| | | | |
| − | Рассмотрим две [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамические системы] с непрерывным временем
| |
| − | \begin{align}\label{sys1}
| |
| − | \dot{u} = g(u), \quad u \in \mathbb{R}^n,\\
| |
| − | \label{sys2}
| |
| − | \dot{v} = f(v), \quad v \in \mathbb{R}^n,
| |
| − | \end{align}
| |
| − | где $g(u) = (g_1(u), g_2(u), \dots, g_n(u)), f(v) = (f_1(v), f_2(v), \dots, f_n(v)).$
| |
| − |
| |
| − | Пусть функции $f(\cdot)$ и $g(\cdot)$ связаны соотношением
| |
| − | \begin{equation} \label{func_dep}
| |
| − | g(u) = \mu(u)f(u), \forall u \in U \subset \mathbb{R}^n,
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | где $\mu(\cdot)$ ~---~ гладкая скалярная знакоопределенная (т.е. положительная для всех $u \in U$ или отрицательная для всех $u \in U$) функция.
| |
| − |
| |
| − | Системы \eqref{sys1} и \eqref{sys2}, правые части которых связаны соотношением \eqref{func_dep}, называются '''орбитально эквивалентными'''.
| |
| − |
| |
| − | __TOC__
| |
| − |
| |
| − | =Свойства орбитально эквивалентных систем=
| |
| − | '''Утверждение.'''
| |
| − | Орбитально эквивалентные системы в области $U$ являются топологически эквивалентными в этой области.
| |
| − |
| |
| − | '''Доказательство'''
| |
| − | Особые точки систем \eqref{sys1} и \eqref{sys2} являются корнями уравнений:
| |
| − | \begin{align*}
| |
| − | f(u) = 0,\\
| |
| − | g(u) = 0.
| |
| − | \end{align*}
| |
| − |
| |
| − | Поскольку $\mu(u) \not= 0, \forall u \in U,$ то корни уравнений совпадают.
| |
| − |
| |
| − | Далее для простоты будем считать, что $n = 2$, т.к. доказательство легко обобщается на случай произвольного $n$.
| |
| − |
| |
| − | Пусть все положения равновесия систем \eqref{sys1} и \eqref{sys2} являются гиперболическими, т.е. определители [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Матрица_Якоби._Лемма_о_выпрямлении_векторного_поля матриц Якоби] этих систем отличны от нуля в особых точках. Найдем матрицу Якоби системы \eqref{sys1}.
| |
| − | $$
| |
| − | J_1(u_1, u_2) = \left.\left[\dfrac{\partial g}{\partial u}\right]\right|_{(u_1, u_2)} =
| |
| − | \left.\left[\dfrac{\partial (\mu f)}{\partial u}\right]\right|_{(u_1, u_2)} =
| |
| − | \left.\begin{pmatrix}
| |
| − | \dfrac{\partial \mu}{\partial u_1}f_1
| |
| − | + \dfrac{\partial f_1}{\partial u_1}\mu &
| |
| − | \dfrac{\partial \mu}{\partial u_2}f_1
| |
| − | + \dfrac{\partial f_1}{\partial u_2}\mu\\
| |
| − | \dfrac{\partial \mu}{\partial u_1}f_2
| |
| − | + \dfrac{\partial f_2}{\partial u_1}\mu &
| |
| − | \dfrac{\partial \mu}{\partial u_2}f_2
| |
| − | + \dfrac{\partial f_2}{\partial u_2}\mu
| |
| − | \end{pmatrix}\right|_{(u_1,u_2)}
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | Если точка $(u_1, u_2)$ является особой, то $f_1(u_1, u_2) = f_2(u_1, u_2) = 0.$ Тогда матрица Якоби системы \eqref{sys1} равна
| |
| − | $$
| |
| − | J_1(u_1, u_2) =
| |
| − | \left.\begin{pmatrix}
| |
| − | \dfrac{\partial f_1}{\partial u_1}\mu &
| |
| − | \dfrac{\partial f_1}{\partial u_2}\mu\\
| |
| − | \dfrac{\partial f_2}{\partial u_1}\mu &
| |
| − | \dfrac{\partial f_2}{\partial u_2}\mu
| |
| − | \end{pmatrix}\right|_{(u_1,u_2)}
| |
| − | $$
| |
| − | Её определитель равен
| |
| − | \begin{equation*}
| |
| − | \begin{split}
| |
| − | \operatorname{det}(J_1(u_1, u_2)) &=
| |
| − | \operatorname{det}\left.\begin{pmatrix}
| |
| − | \dfrac{\partial f_1}{\partial u_1}\mu &
| |
| − | \dfrac{\partial f_1}{\partial u_2}\mu\\
| |
| − | \dfrac{\partial f_2}{\partial u_1}\mu &
| |
| − | \dfrac{\partial f_2}{\partial u_2}\mu
| |
| − | \end{pmatrix}\right|_{(u_1,u_2)} =
| |
| − | (\mu(u_1, u_2))^2
| |
| − | \operatorname{det}\left.\begin{pmatrix}
| |
| − | \dfrac{\partial f_1}{\partial u_1} &
| |
| − | \dfrac{\partial f_1}{\partial u_2}\\
| |
| − | \dfrac{\partial f_2}{\partial u_1} &
| |
| − | \dfrac{\partial f_2}{\partial u_2}
| |
| − | \end{pmatrix}\right|_{(u_1,u_2)} =\\
| |
| − | &= (\mu(u_1, u_2))^2 \operatorname{det}(J_2(u_1,u_2)),
| |
| − | \end{split}
| |
| − | \end{equation*}
| |
| − | где $J_2(u_1, u_2)$ ~---~ матрица Якоби системы \eqref{sys2}. Поскольку $\mu(u_1, u_2) \not= 0$, то определители матриц Якоби систем \eqref{sys1} и \eqref{sys2} имеют одинаковый знак. Поэтому особые точки имеют одинаковый тип устойчивости. Значит, системы \eqref{sys1} и \eqref{sys2} топологически эквивалентны.
| |
| − |
| |
| − | Таким образом, орбитально эквивалентные системы являются топологически эквивалентными, поэтому их называют '''топологически орбитально''' эквивалентными.
| |
| − |
| |
| − | Можно понимать орбитальную эквивалентность как нелинейную деформацию времени. Так, если в системе \eqref{sys1} сделать замену $t = \mu(u)\tau, \operatorname{d}t = \mu(u)\operatorname{d}\tau,$ то получим систему \eqref{sys2}. Таким образом траектории орбитально эквивалентных систем отличаются лишь скоростью прохождения по ним.
| |
| − |
| |
| − | '''Утверждение.'''
| |
| − | Если в области $U$ выполнено неравенство $$\dfrac{\partial (\mu f_1)}{\partial x_1} +\dfrac{\partial (\mu f_2)}{\partial x_2} > 0 (\text{или} < 0),$$
| |
| − | то в ней нет замкнутых траекторий системы \eqref{sys1}.
| |
| − |
| |
| − | '''Доказательство'''
| |
| − | Заметим, что указанное неравенство есть ни что иное, как дивергенция правой части системы \eqref{sys1} $\implies$ по теореме Дюлака-Бендиксона в области $U$ нет замкнутых траекторий системы.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | =Примеры=
| |
| − | Рассмотрим две системы:
| |
| − | \begin{align*}
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \dot{x}_1 &= x_2,\\
| |
| − | \dot{x}_2 &= -x_1
| |
| − | \end{cases}\\
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \dot{x}_1 &= x_2(1-(x_1^2+x_2^2)),\\
| |
| − | \dot{x}_2 &= -x_1(1-(x_1^2+x_2^2))
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | \end{align*}
| |
| − | Эти системы топологически орбитально эквивалентны в области $U = \{(x_1,x_2)\mid x_1^2 + x_2^2 < 1\}.$ Также они топологически орбитально эквивалентны в области $R^2 \backslash \overline{U} = \{(x_1,x_2)\mid x_1^2 + x_2^2 > 1\}.$
| |
