Топологически орбитально эквивалентные системы

Рассмотрим две динамические системы с непрерывным временем \begin{align}\label{sys1} \dot{u} = g(u), \quad u \in \mathbb{R}^n,\\ \label{sys2} \dot{v} = f(v), \quad v \in \mathbb{R}^n, \end{align} где $$g(u) = (g_1(u), g_2(u), \dots, g_n(u)), f(v) = (f_1(v), f_2(v), \dots, f_n(v)).$$

Пусть функции $$f(\cdot)$$ и $$g(\cdot)$$ связаны соотношением \begin{equation} \label{func_dep} g(u) = \mu(u)f(u), \forall u \in U \subset \mathbb{R}^n, \end{equation} где $$\mu(\cdot)$$ ~---~ гладкая скалярная знакоопределенная (т.е. положительная для всех $$u \in U$$ или отрицательная для всех $$u \in U$$) функция.

Системы \eqref{sys1} и \eqref{sys2}, правые части которых связаны соотношением \eqref{func_dep}, называются орбитально эквивалентными.

Свойства орбитально эквивалентных систем

Утверждение. Орбитально эквивалентные системы в области $$U$$ являются топологически эквивалентными в этой области.

Доказательство Особые точки систем \eqref{sys1} и \eqref{sys2} являются корнями уравнений: \begin{align*} f(u) = 0,\\ g(u) = 0. \end{align*}

Поскольку $$\mu(u) \not= 0, \forall u \in U,$$ то корни уравнений совпадают.

Далее для простоты будем считать, что $$n = 2$$, т.к. доказательство легко обобщается на случай произвольного $$n$$.

Пусть все положения равновесия систем \eqref{sys1} и \eqref{sys2} являются гиперболическими, т.е. определители матриц Якоби этих систем отличны от нуля в особых точках. Найдем матрицу Якоби системы \eqref{sys1}. $$ J_1(u_1, u_2) = \left.\left[\dfrac{\partial g}{\partial u}\right]\right|_{(u_1, u_2)} = \left.\left[\dfrac{\partial (\mu f)}{\partial u}\right]\right|_{(u_1, u_2)} = \left.\begin{pmatrix} \dfrac{\partial \mu}{\partial u_1}f_1 + \dfrac{\partial f_1}{\partial u_1}\mu & \dfrac{\partial \mu}{\partial u_2}f_1 + \dfrac{\partial f_1}{\partial u_2}\mu\\ \dfrac{\partial \mu}{\partial u_1}f_2 + \dfrac{\partial f_2}{\partial u_1}\mu & \dfrac{\partial \mu}{\partial u_2}f_2 + \dfrac{\partial f_2}{\partial u_2}\mu \end{pmatrix}\right|_{(u_1,u_2)} $$

Если точка $$(u_1, u_2)$$ является особой, то $$f_1(u_1, u_2) = f_2(u_1, u_2) = 0.$$ Тогда матрица Якоби системы \eqref{sys1} равна $$ J_1(u_1, u_2) = \left.\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial u_1}\mu & \dfrac{\partial f_1}{\partial u_2}\mu\\ \dfrac{\partial f_2}{\partial u_1}\mu & \dfrac{\partial f_2}{\partial u_2}\mu \end{pmatrix}\right|_{(u_1,u_2)} $$ Её определитель равен \begin{equation*} \begin{split} \operatorname{det}(J_1(u_1, u_2)) &= \operatorname{det}\left.\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial u_1}\mu & \dfrac{\partial f_1}{\partial u_2}\mu\\ \dfrac{\partial f_2}{\partial u_1}\mu & \dfrac{\partial f_2}{\partial u_2}\mu \end{pmatrix}\right|_{(u_1,u_2)} = (\mu(u_1, u_2))^2 \operatorname{det}\left.\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial u_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial u_2}\\ \dfrac{\partial f_2}{\partial u_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial u_2} \end{pmatrix}\right|_{(u_1,u_2)} =\\ &= (\mu(u_1, u_2))^2 \operatorname{det}(J_2(u_1,u_2)), \end{split} \end{equation*} где $$J_2(u_1, u_2)$$ -- матрица Якоби системы \eqref{sys2}. Поскольку $$\mu(u_1, u_2) \not= 0$$, то определители матриц Якоби систем \eqref{sys1} и \eqref{sys2} имеют одинаковый знак. Поэтому особые точки имеют одинаковый тип устойчивости. Значит, системы \eqref{sys1} и \eqref{sys2} топологически эквивалентны.

Таким образом, орбитально эквивалентные системы являются топологически эквивалентными, поэтому их называют топологически орбитально эквивалентными.

Можно понимать орбитальную эквивалентность как нелинейную деформацию времени. Так, если в системе \eqref{sys1} сделать замену $$t = \mu(u)\tau, \operatorname{d}t = \mu(u)\operatorname{d}\tau,$$ то получим систему \eqref{sys2}. Таким образом траектории орбитально эквивалентных систем отличаются лишь скоростью прохождения по ним.

Утверждение. Если в области $$U$$ выполнено неравенство $$\dfrac{\partial (\mu f_1)}{\partial x_1} +\dfrac{\partial (\mu f_2)}{\partial x_2} > 0 (\text{или} < 0),$$ то в ней нет замкнутых траекторий системы \eqref{sys1}.

Доказательство Заметим, что указанное неравенство есть ни что иное, как дивергенция правой части системы \eqref{sys1} $$\implies$$ по теореме Дюлака-Бендиксона в области $$U$$ нет замкнутых траекторий системы.

Примеры

Рассмотрим две системы: \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2,\\ \dot{x}_2 = -x_1 \end{cases}\\ \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2(1-(x_1^2+x_2^2)),\\ \dot{x}_2 = -x_1(1-(x_1^2+x_2^2)) \end{cases} \end{equation*} Эти системы топологически орбитально эквивалентны в области $$U = \{(x_1,x_2)\mid x_1^2 + x_2^2 < 1\}.$$ Также они топологически орбитально эквивалентны в области $$R^2 \backslash \overline{U} = \{(x_1,x_2)\mid x_1^2 + x_2^2 > 1\}.$$

Список литературы

1. Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
2. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.