Замкнутый линейный оператор

Прямая сумма линейных пространств

Определение. Прямой суммой $$Z = X \oplus Y$$ двух линейных пространств $$X$$ и $$Y$$ называется совокупность пар $$z = (x, y)$$ $$(x \in X, y \in Y)$$, для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если $$z_1 = (x_1, y_1)$$, а $$z_2 = (x_2, y_2)$$ и $$\alpha_1, \alpha_2$$ — скаляры, то \begin{equation*} \alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2 = (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2). \end{equation*}

Если $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, то норма в $$X \oplus Y$$ вводится по формуле $$\|z\| = \|x\|_X + \|y\|_Y$$.

Утверждение. Если $$X$$ и $$Y$$ банаховы, то $$X \oplus Y$$ банахово.

График оператора

Пусть $$y = F(x)$$ — оператор с областью определения $$D(F)$$ в банаховом пространстве $$X$$ и с областью значений в банаховом пространстве $$Y$$.

Определение. Графиком оператора $$F$$ называется совокупность пар $$(x, F(x))$$, где $$x \in D(F)$$.

График оператора является подмножеством пространства $$X \oplus Y$$.

Пусть ниже $$F \equiv A$$ — линейный оператор.

Определение. Линейный оператор $$A : X \rightarrow Y$$ называется замкнутым, если его график является замкнутым множеством $$X \oplus Y$$.

Замкнутость графика оператора $$A$$ означает, что если $$x_n \in D(A)$$ и $$(x_n, Ax_n) \rightarrow (x, y)$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

Так как $$\|z\| = \|x\| + \|y\|$$, то определение замкнутости оператора $$A$$ можно записать так: если $$x_n \in D(A), x_n \rightarrow x, Ax_n \rightarrow y$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

Теорема 1. Если $$D(A) = X$$ и $$A$$ ограничен (то есть $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$), то $$A$$ замкнут.

Доказательство. Пусть $$x_n \rightarrow x$$ и $$Ax_n \rightarrow y$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Ввиду непрерывности $$A \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax, n \rightarrow \infty$$. Но предел единственен и, значит, $$y = Ax$$.

Теорема 2. Если $$A$$ замкнут и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ также замкнут.

Доказательство. Рассмотрим графики операторов $$A$$ и $$A^{-1}$$: \begin{equation*} \{(x, Ax)\}, \quad x \in D(A), \end{equation*} \begin{equation*} \{(y, A^{-1}y)\}, \quad y \in R(A). \end{equation*} Но график оператора $$A^{-1}$$ можно записать в виде $$\{(Ax, x)\}, x\in D(A)$$, то есть он получается из графика оператора $$A$$ перестановкой $$x$$ и $$Ax$$ и, значит, также является замкнутым множеством в $$Y \oplus X$$.

Это и означает замкнутость оператора $$A^{-1}$$.

Следствие. Если $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ замкнут.

Примеры

Пример 1. В гильбертовом пространстве $$H$$ с ортонормированным базисом $$\{e_k\}_1^\infty$$ зададим линейный оператор $$A$$ следующими формулами: \begin{equation*} Ae_k = \lambda_k e_k, \quad k = 1, 2, \ldots, \end{equation*} где $$\lambda_k$$ — некоторые скаляры.

Если $$x \in H$$, то $$x = \sum_{k=1}^{\infty}\xi_k e_k$$, где ряд $$\|x\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\xi_k|^2$$ сходится.

Тогда $$Ax = \sum_{k=1}^{\infty}\lambda_k \xi_k e_k$$. Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда \begin{equation}\label{ex1} \|Ax\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\lambda_k|^2|\xi_k|^2 < \infty. \end{equation} возможны следующие два случая:

a) $$\{|\lambda_k|\}$$ ограничена. Пусть $$c_A = \sup_k|\lambda_k|$$. Тогда $$\|Ax\|^2 \leq c_A^2\|x\|^2$$, откуда — $$A$$ ограничен, а значит, и замкнут.

б) $$\{|\lambda_k|\}$$ неограничена. Оператор $$A$$ неограничен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из элементов $$x$$, удовлетворяющих неравенству (\ref{ex1}). Оператор $$A$$ неограничен ввиду того, что $$\|Ae_k\| = |\lambda_k|$$ при $$k \rightarrow \infty$$ неограничены, хотя $$\|e_k\| = 1$$. Если $$\inf_k|\lambda_k| = c_A > 0$$, то существует $$A^{-1}$$, определяемый на элементах \begin{equation*} y = \sum_{k=1}^\infty \eta_k e_k, \quad \sum_{k=1}^\infty |\eta_k|^2 < \infty, \end{equation*} \begin{equation*} A^{-1}y = \sum_{k=1}^\infty \lambda_k^{-1}\eta_k e_k. \end{equation*} Поскольку $$\sup_k|\lambda_k^{-1}| = c_A^{-1} < \infty$$, то $$A^{-1}$$ ограничен. Таким образом, условие $$\inf_k|\lambda_k| > 0$$, согласно Теореме 2 обеспечивает замкнутость $$A$$.

Пример 2. Пусть $$X = Y = C[0, +\infty)$$ — банахово пространство функций $$x(t)$$, непрерывных на полуоси $$[0, +\infty)$$ с нормой $$\|x\| = \sup_{[0, +\infty)} |x(t)|$$.

Зададим в $$X$$ оператор $$A$$ по формуле $$Ax = tx(t)$$. Оператор $$A$$ линеен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из функций, удовлетворяющих неравенству \begin{equation*} |x(t)| \leq \frac{c}{1 + t}, \end{equation*} где постоянная $$c$$ — своя для каждой функции из $$D(A)$$.

Оператор $$A$$ неограничен. Действительно, рассмотрим последовательность функций $$x_n(t) = \frac{n}{n + t}\quad (n = 1, 2, \ldots)$$. Заметим, что $$x_n(t) \in D(A)$$, так как $$|x_n(t)| = \frac{n}{n + t} \leq \frac{n}{1 + t}$$. Кроме того, ясно, что $$\|x_n\| = 1$$. Теперь имеем \begin{equation*} \|Ax_n\| = \sup_{[0, +\infty)}\frac{nt}{n + t} = n, \end{equation*} следовательно, \begin{equation*} \sup_{x\in D(A), \|x\|\leq 1} \|Ax\| = +\infty. \end{equation*} Покажем, что $$A$$ замкнут. Пусть в $$X$$ $$x_n(t) \rightarrow x(t), tx_n(t) \rightarrow y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Тогда $$(1 + t)x_n(t) \rightarrow x(t) + y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Следовательно, для любого $$\varepsilon > 0$$ найдется номер $$N$$ такой, что если $$n > N$$, то \begin{equation*} |(1 + t)x_n(t) - (x(t) + y(t))| < \varepsilon \end{equation*} для всех $$t \in [0, +\infty)$$, или \begin{equation*} \left|x_n(t) - \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}\right| < \frac{\varepsilon}{1 + t} < \varepsilon. \end{equation*} Следовательно, $$x_n(t) \rightarrow \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}$$ при $$n \rightarrow \infty$$, но $$x_n(t) \rightarrow x(t)$$, поэтому \begin{equation*} \frac{x(t) + y(t)}{1 + t} = x(t) \quad \Rightarrow \quad y(t) = tx(t). \end{equation*} Из равенства \begin{equation*} x(t) = \frac{x(t) + y(t)}{1 + t} \end{equation*} получаем \begin{equation*} |x(t)| = \frac{|x(t) + y(t)|}{1 + t} \leq \frac{\|x + y\|}{1 + t} \leq \frac{\|x\| + \|y\|}{1 + t}. \end{equation*} Значит, если взять $$c = \|x\| + \|y\|$$, получим, что $$|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t}$$. Следовательно, $$x \in D(A)$$.

Тогда $$y = Ax$$.

Пример 3. В пространстве $$C[a, b]$$ рассмотрим оператор дифференцирования $$Dx = \frac{d x(t)}{d t}$$ с областью определения $$G(D)$$, состоящей из непрерывно дифференцируемых на $$[a, b]$$ функций. Оператор $$D$$ неограничен.

Для доказательства его неограниченности возьмём последовательность $$x_n(t) = \sin nt$$ $$(n = 1, 2, \ldots), x_n \in G(D)$$ и $$\|x_n\| = 1$$, однако $$\|D x_n\| = n$$, если $$n$$ достаточно велико, и поэтому \begin{equation*} \sup_{x\in G(D), \|x\| \leq 1} = +\infty \end{equation*} и $$D$$ неограничен.

Покажем, что $$D$$ замкнут. Сходимость в $$C[a, b]$$ равномерная. Пусть $$x_n(t) \in G(D)$$, и пусть при $$n \rightarrow \infty$$

$$x_n(t) \rightarrow x(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$,

$$\dot x_n(t) \rightarrow y(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$.

Согласно теореме о дифференцировании функциональной последовательности функция $$x(t)$$ непрерывно дифференцируема и $$\dot x(t) = y(t)$$. Итак, $$D$$ замкнут.

Пример 4. Рассмотрим в пространстве $$C[a, b]$$ оператор дифференцирования $$D$$, но на этот раз в качестве его области определения $$G(D)$$ возьмем множество всех непрерывно дифференцируемых на $$\left(a, b\right]$$ функций, удовлетворяющих граничному условию $$x(a) = 0$$. Теперь $$D$$ имеет обратный оператор: \begin{equation*} D^{-1}y = \int_a^t y(s) ds. \end{equation*} Оператор $$D^{-1}$$ определен всюду в $$C[a, b]$$ и ограничен, так как \begin{equation*} \|D^{-1}y\| \leq (b - a)\|y\|. \end{equation*} По Теореме 2 оператор $$D$$ замкнут.

Пример 5. Пусть $$X$$ — банахово пространство, оператор $$A : X \rightarrow X$$ задан как $$Ax = x$$.

Очевидно, что $$A$$ линейный и ограниченный ($$\|A\| = 1$$). Тогда по Теореме 2 тождественный оператор является замкнутым.

Пример 6. Рассмотрим банахово пространство $$C[0, 1]$$. Здесь $$\|x\| = \max_{t \in [0, 1]}|x(t)|$$.

Рассмотрим оператор \begin{equation*} Ax(t) = \int_0^t x(s) ds, \quad t \in [0, 1]. \end{equation*} Очевидно, этот оператор является линейным. Докажем ограниченность: для любого $$x \in C[0, 1]$$ \begin{equation*} |Ax(t)| = \left| \int_0^t x(s) ds\right| \leq \int_0^t |x(s)| ds \leq \int_0^t \|x\| ds. \end{equation*} Значит, \begin{equation*} \|Ax\| = \max_{t \in [0, 1]}|Ax(t)| \leq \|x\|. \end{equation*} Тогда по Теореме 2 оператор $$A$$ замкнут.

Пример 7. Пусть $$X = Y = \mathcal{l}_2$$. Зададим область определения оператора $$D(A) = \{ x\in \mathcal{l_2} : x_k = 0$$ для всех достаточно больших $$k\}$$.

Пусть оператор $$A$$ является тождественным, то есть $$Ax = x, x \in D(A)$$. Очевидно, этот оператор линейный.

Рассмотрим последовательность \begin{equation*} x = \left( \frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{3^2}, \ldots\right). \end{equation*} Покажем, что $$x \in \mathcal{l}_2$$: \begin{equation*} \sum_{k = 1}^\infty \left| \frac{1}{k^2}\right|^2 = \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k^4} < \infty. \end{equation*} Рассмотрим последовательность $$x^{(n)}$$: \begin{equation*} x^{(n)} = \left(\frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2}, \ldots, \frac{1}{n^2}, 0, 0, \ldots\right). \end{equation*} Тогда для каждого $$n$$ справедливо, что $$x^{(n)} \in D(A), x^{(n)} \rightarrow x$$ в $$\mathcal{l}_2$$ при $$n \rightarrow \infty$$ и $$Ax^{(n)} = x^{(n)} \rightarrow x$$.

Но $$x \not\in D(A)$$, что противоречит определению замкнутого оператора.

Таким образом, представленный выше оператор является линейным незамкнутым оператором.

Теорема Банаха о замкнутом графике

Теорема 3. (Банаха о замкнутом графике). Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

Определение. Множество в нормированном пространстве называется множеством I категории, если оно есть объединение счетного числа нигде не плотных множеств. Если множество нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств, то оно называется множеством II категории.

Теорема 4.(Бэра-Хаусдорфа о категориях). Всякое банахово пространство является множеством II категории.

Лемма. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Пусть, далее, существует плотное в $$X$$ множество $$M$$ и постоянная $$c > 0$$, такие что $$\|Ax\| \leq c\|x\|$$ для всех $$x \in M$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

Доказательство леммы. Выберем элемент $$x_0 \in X$$. Покажем, что найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что \begin{equation}\label{lemm} \|x_1\| \leq \|x_0\|, \quad \|x_1 - x_0\| \leq \frac{1}{2} \|x_0\|. \end{equation} Действительно, вследствие плотности $$M$$ в $$X$$ для $$x_\varepsilon = (1 - \varepsilon)x_0, \varepsilon \in (0, 1)$$, найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что $$\|x_\varepsilon - x_1\| \leq \varepsilon \|x_0\|$$.

Оказывается, $$\varepsilon$$ можно подобрать так, чтобы элемент $$x_1$$ удовлетворял условию (\ref{lemm}). Имеем \begin{equation*} \|x_1\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon\| + \|x\varepsilon\| \leq \varepsilon \|x_0\| + (1 - \varepsilon)\|x_0\| = \|x_0\|, \end{equation*} \begin{equation*} \|x_1 - x_0\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon \| + \|x_\varepsilon - x_0\| \leq \varepsilon \|x_0\| + \varepsilon \|x_0\| = 2\varepsilon\|x_0\|. \end{equation*} Возьмём $$\varepsilon = \frac{1}{4}$$ и получим неравенства (\ref{lemm}).

Аналогично можно показать, что для элемента $$x_0 - x_1$$ найдётся элемент $$x_2 \in M$$ такой, что \begin{equation*} \|x_0 - x_1 - x_2\| \leq \frac{1}{2}\|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{4}\|x_0\|, \end{equation*} \begin{equation*} \|x_2\| \leq \|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{2}\|x_0\|. \end{equation*} Повторяя эти построения, можно доказать, что для каждого натурального $$n$$ найдутся $$x_1, x_2, \ldots, x_n \in M$$ такие, что \begin{equation*} \|x_0 - (x_1 + \ldots + x_n)\| \leq \frac{1}{2^n}\|x_0\|, \end{equation*} \begin{equation*} \|x_n\| \leq \frac{1}{2^{n-1}}\|x_0\|. \end{equation*} Отсюда вытекает, что \begin{equation*} x_0 = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n, \quad s_n = \sum_{k = 1}^{n}x_k. \end{equation*} Так как \begin{equation*} \|Ax_k\| \leq c\|x_k\| \leq \frac{c}{2^{k-1}}\|x_0\|, \end{equation*} то ряд $$\sum_{k=1}^{\infty}Ax_k$$ сходится абсолютно. Пусть $$y$$ — его сумма. Поскольку при $$n \rightarrow \infty$$ \begin{equation*} As_n \rightarrow y, \quad s_n \rightarrow x_0, \end{equation*} то, вследствие замкнутости оператора $$A$$, \begin{equation*} Ax_0 = \sum_{k=1}^{\infty}Ax_k. \end{equation*} Но тогда имеем оценку \begin{equation*} \|Ax_0\| \leq \sum_{k = 1}^{\infty}\|Ax_k\| \leq c\sum_{k = 1}^{\infty}\|x_k\| \leq 2c\|x_0\|. \end{equation*} Вследствие произвольности $$x_0$$ доказана ограниченность оператора $$A$$, а значит, и лемма доказана.

Доказательство Теоремы 3. Для каждого натурального числа $$n$$ рассмотрим множество \begin{equation}\label{t1} X_n = \{x \in X : \|Ax\| \leq n\|x\|\}. \end{equation} Далее, очевидно, \begin{equation}\label{t2} X = \bigcup_{n=1}^{\infty}X_n. \end{equation} По Теореме 4 пространство $$X$$ , вследствие его полноты, является множеством II категории. Но тогда по (\ref{t2}) существует $$X_n$$, плотное в некотором шаре $$S \subset X$$. В противном случае $$X$$ оказалось бы объединением счётного числа нигде не плотных множеств $$X_n$$, то есть множеством I категории. Следовательно, имеем \begin{equation*} \overline{S \cap X_n} = \overline{S}. \end{equation*} Пусть далее $$x_0 \in S\cap X_{n_0}$$, а $$S_0$$ — шар с центром в $$x_0$$, радиуса $$r_0$$ настолько малого, что $$S_0 \subset S$$. Тогда \begin{equation}\label{t3} \overline{S_0 \cap X_{n_0}} = \overline{S_0}. \end{equation} Выберем теперь элемент $$u_0 \in X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$ и рассмотрим элемент $$y_0 = x_0 + u_0$$. Так как $$\|y_0 - x_0\| = \|u_0\| = r_0$$, то $$y_0 \in \overline{S_0}$$. Вследствие соотношения (\ref{t3}) найдётся последовательность \begin{equation}\label{t4} \{y_n\} \subset S_0\cap X_{n_0} \end{equation} такая, что при $$n \rightarrow \infty$$ \begin{equation}\label{t5} y_n \rightarrow y_0 = x_0 + u_0. \end{equation} Рассмотрим теперь последовательность \begin{equation}\label{t6} \{u_n\} = \{y_n - x_0\}. \end{equation} Заметим, что вследствие (\ref{t4}) \begin{equation}\label{t7} \|u_n\| = \|y_n - x_0\| \leq r_0. \end{equation} Вспоминая определение $$X_n$$ из (\ref{t1}) и пользуясь тем, что $$y_n \in X_{n_0}, x_0 \in X_{n_0}$$, а также выражениями (\ref{t6}), (\ref{t7}), получаем следующую оценку: \begin{equation*} \|Au_n\| = \|A(y_n - x_0)\| \leq \|Ay_n\| + \|Ax_0\| \leq n_0(\|y_n\| + \|x_0\|) = \end{equation*} \begin{equation}\label{t8} = n_0(\|u_n + x_0\| + \|x_0\|) \leq n_0(\|u_n\| + 2\|x_0\|) \leq n_0(r_0 + 2\|x_0\|). \end{equation} Далее, так как при $$n \rightarrow \infty$$ \begin{equation*} \|u_n\| = \|y_n - x_0\| \rightarrow r_0, \end{equation*} то найдётся номер $$N$$ такой, что при всех $$n > N$$ выполняется неравенство \begin{equation*} \|u_n\| > \frac{1}{2}r_0 \quad \Rightarrow 1 < \frac{2}{r_0}\|u_n\|. \end{equation*} Продолжая оценку (\ref{t8}) при $$n > N$$, приходим к оценке \begin{equation}\label{t9} \|Au_n\| \leq \frac{2n_0}{r_0}\|u_n\|(r_0 + 2\|x_0\|). \end{equation} Отсюда получаем следующий вывод: при всех $$n > N$$ по определению (\ref{t1}) $$u_n \in X_{n_1}$$, где $$n_1 = 2n_0 + 4n_0\frac{\|x_0\|}{r_0}$$.

При $$n \rightarrow \infty$$ из неравенства (\ref{t9}) получаем $$u_n \rightarrow u_0$$, где $$u_0$$ — любой элемент $$X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$. Но из (\ref{t1}) следует, что $$X_{n_1}$$ содержит вместе с каждым $$x$$ и $$\lambda x$$ при любом $$\lambda$$. Таким образом, $$X_{n_1}$$ плотно в $$X$$, и так как на $$X_{n_1}$$ выполнено $$\|Ax\| \leq n_1\|x\|$$, то по Лемме оператор ограничен, и теорема полностью доказана.

Следствие 1. Если $$A$$ — замкнутый оператор, отображающий банахово пространство $$X$$ на банахово пространство $$Y$$ взаимно однозначно, то есть $$R(A) = Y$$, то оператор $$A^{-1}$$ ограничен.

Доказательство. По условию Следствия 1 $$D(A) = X$$ и $$A$$ замкнут. По Теореме 3 $$A$$ ограничен. По теореме Банаха $$A^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$.

Следствие 2. Пусть на некотором линейном пространстве $$E$$ заданы две нормы $$\|x\|_1$$ и $$\|x\|_2$$, по отношению к каждой из которых $$E$$ — банахово пространство. Если одна из норм подчинена другой, то эти нормы эквивалентны.

Доказательство. Обозначим через $$X_1$$ пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_1$$, а через $$X_2$$ — пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_2$$.

Пусть, например, $$\|\cdot\|_1$$ подчинена $$\|\cdot\|_2$$. Это означает, что существует постоянная $$c > 0$$ такая, что для всех $$x$$ \begin{equation}\label{sl} \|x\|_1 \leq c\|x\|_2. \end{equation} Определим оператор $$A$$, отображающий $$X_1$$ на $$X_2$$, по формуле $$Ax = x$$ (в левой части $$x \in X$$ как элемент из $$X_1$$, а в правой части он же как элемент из $$X_2$$).

Очевидно, $$D(A) = X_1$$, $$A$$ линеен и отображает $$X_1$$ взаимно однозначно на $$R(A) = X_2$$. Неравенство (\ref{sl}) означает, что $$\|A\| \leq c$$, то есть $$A$$ ограничен.

Из Следствия 1 $$A^{-1} \in \mathcal{L}(X_2, X_1)$$, то есть \begin{equation*} \|x\|_2 \leq \|A^{-1}\| \|x\|_1. \end{equation*} Итак, $$c_1\|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq c\|x\|_2$$, где $$c_1 = \|A^{-1}\|^{-1}$$. Это и означает эквивалентность норм.

Список литературы

1. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2002.

2. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу, 1984.