Лемма о перестановке интеграла и супремума: различия между версиями
Polina (обсуждение | вклад) |
Polina (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | Лемма, возникающая в [Задача быстродействия | задаче быстродействия] (т.е. поиска управления, оптимального по времени) и используемая для облегчения расчета [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0 опорной функции] множества достижимости. | + | Лемма, возникающая в [[Задача быстродействия | задаче быстродействия]] (т.е. поиска управления, оптимального по времени) и используемая для облегчения расчета [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0 опорной функции] множества достижимости. |
== Задача быстродействия == | == Задача быстродействия == |
Версия 11:52, 2 декабря 2021
Лемма, возникающая в задаче быстродействия (т.е. поиска управления, оптимального по времени) и используемая для облегчения расчета опорной функции множества достижимости.
Содержание
Задача быстродействия
Тип задач оптимального управления, заключающегося в переводе системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, за минимальное время.
В этой статье предполагается, что данная система задается следующими условиями:
\begin{equation}\label{ms} \begin{cases} \dot{x} = A(t)x(t) + B(t)u(t)+f(t), \\ x(t_0) = x^0, \\ x(t_1) = x^1, \\ u(\tau) \in \mathcal{P} \in \textit{conv}R^m, \\ t_1 - t_0 \longrightarrow \text{inf}, \end{cases} \end{equation}
где $$ x^0,\,x^1,\,t_0 $$ $$-$$ фиксированы, $$ A(t),\,B(t),\,f(t) $$ $$-$$ непрерывны, а $$ \mathcal{P} $$ непрерывно, как многозначное отображение (это требование гарантирует непрерывность опорной функции $$ \mathcal{\rho(l|\mathcal{P}(\tau))} $$ по $$ \tau $$ для любого $$ l $$).
Множество достижимости
Трубка достижимости - это функция, отображающая время на соответствующее множество достижимости (обозначается: $$ \mathcal{X}[\cdot] $$). Ее графиком называют множество:
\[ \mathcal{X}[\cdot] = \{(t,\,x): x\in \mathcal{X}[t]\}. \]
Множество достижимости $$ \mathcal{X}[t_1] $$ определяется следующим образом:
\[ \mathcal{X}[t_1] = \mathcal{X}(t_1,t_0,x^0) = \{x = x(t_1,t_0,x^0\,|\,u(\cdot)), u(\tau) \in \mathcal{P}\}. \]
Обозначение $$ \mathcal{X}[t_1] $$ подразумевает, что в данный момент интерес представляет зависимость $$ \mathcal{X} $$ только от переменной $$ t_1 $$, хотя в общем случае значение $$ \mathcal{X} $$ зависит от большего числа переменных.
Опорная функция множества достижимости рассчитываться по следующей формуле:
\[ \rho(l\,|\,\mathcal{X}[t_1]) = \sup\limits_{u(\cdot)} \left[ \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u(\tau) \rangle d\tau + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau \right] = \] \[ = \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau + \sup\limits_{u(\cdot)} \left[ \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u(\tau) \rangle d\tau \right], \]
где фундаментальная матрица Коши $$X(t,\tau)$$ вычисляется через матричный экспоненциал: \[ X(t,\tau) = e^{A(t-\tau)} \]
Теперь, все необходимые для рассмотрения основной леммы данные известны.
Лемма о перестановке интеграла и супремума
Пусть рассматривается задача быстродействия \eqref{ms}. Тогда, обозначая $$s(\tau) = B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l$$, можно получить верное тождество: \[ \sup\limits_{u(\cdot)}\left[ \int\limits^{t_1}_{t_0} \langle s(\tau),\,u(\tau) \rangle \,d\tau\right] = \int\limits^{t_1}_{t_0}\left[\sup\limits_{u \in \mathcal{P}} \langle s(\tau),\,u \rangle\right] d\tau. \]
Доказательство.
Так как $$ s(\tau) $$ $$-$$ непрерывная функция, то опорная функция $$ \rho(s(\tau)|\mathcal{P}(t)) = \sup\limits_{u \in \mathcal{P}(\tau)} \langle s(\tau),\,u \rangle $$ также непрерывна по $$ \tau $$, и, следовательно, интегрируема.
Рассматривая $$ \mathcal{P}^*(\tau) = \underset{u(\cdot) \in \mathcal{P}(\tau)}{\text{Arg}\,\text{max}} \langle s(\tau),\,u \rangle $$, нужно проверить, что это многозначное отображение является измеримым. Для этого достаточно доказать его полунепрерывность сверху.
Так как полунепрерывность сверху равносильна замкнутости графика $$ \mathcal{P}^*(\tau) $$, то нам надо показать, что из $$ \tau^n \longrightarrow \tau $$, $$ u^n \longrightarrow u $$, $$ u^n \in \mathcal{P}^*(\tau^n) $$, при $$ n \longrightarrow \infty $$, следует, что $$ u \in \mathcal{P}^*(\tau) $$.
Для $$ u^n $$ и $$ \tau^n $$ выполнены следующие соотношения: \[ \langle s(\tau^n),\,u^n \rangle = \rho(s(\tau^n)\,|\,\mathcal{P}(\tau^n)), \] \[ \langle l,\,u^n \rangle \leq \rho(l\,|\,\mathcal{P}^*(\tau^n)), \]
Тогда, при переходе к пределу при $$ n \longrightarrow \infty $$ справедливо:
\[ \langle s(\tau),\,u \rangle = \rho(s(\tau)\,|\,\mathcal{P}(\tau)), \] \[ \langle l,\,u \rangle \leq \rho(l\,|\,\mathcal{P}^*(\tau)), \]
Значит $$ u \in \mathcal{P}^*(\tau) $$, что и дает замкнутость графика, и, следовательно, измеримость.
Лемма об измеримом селекторе описывается в курсе выпуклого анализа ([1]).
"Если многозначное отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримо, то существует такая измеримая функция (селектор) $$ u^*(\cdot) $$, что $$ u^*(\tau) \in \mathcal{P}^*(\tau) $$ для почти всех $$ \tau $$."
Используя данную лемму видно, что для этого селектора $$ \langle s(\tau),\,u^*(\tau) \rangle \leq \rho(s(\tau)\,|\,\mathcal{P}(\tau)) $$, интегралы, описанные в условии доказываемой леммы, существуют, что влечет за собой достижение точной верхней грани на $$ u^*(\tau) \in \mathcal{P}^*(\tau) $$, что и требовалось доказать. $$\blacksquare$$
Применение
Таким образом можно выписать окончательный вид опорной функции: \[ \rho(l\,|\,\mathcal{X}[t_1]) = \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau + \int\limits^{t_1}_{t_0}\rho(B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l\,|\,\mathcal{P}(\tau))d\tau. \]
Итак, оптимальное управление доставляет максимум выражению \[ \max\limits_{u \in \mathcal{P}(\tau)} \langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u \rangle \]
Обозначая $$ \psi(\tau) = X^T(t_1,\tau)l $$, можно получить финальную формулу для опорной функции: \[ \rho(l\,|\,\mathcal{X}[t_1]) = \langle \psi(t_0),\,x_0 \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle \psi(\tau),\,f(\tau) \rangle d\tau + \int\limits^{t_1}_{t_0}\rho(B^T(\tau)\psi(\tau)\,|\,\mathcal{P}(\tau))d\tau. \]
При этом $$ \psi(\tau) $$ называют сопряженной переменной (функцией). Из определения фундаментальной матрицы ясно, что $$ \psi(\tau) $$ удовлетворяет условиям и является решением системы:
\[ \begin{cases} \dot{\psi} = -A^T(\tau)\psi, \\ \psi(t_1) = l. \end{cases} \]
Список литературы
1) Арутюнов А.В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу" М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016
2) Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021.