Поляра множества и ее свойства

Определение

Пусть $$A$$ непустое подмножество $$\mathbb{R}^n$$. Полярой множества $$A$$ называется множество \[ A^{\circ}=\left\{y \in \mathbb{R}^n~|~ \langle x, y \rangle \leqslant 1 , \forall x \in A\right\}. \] Поляра множества $$A^{\circ}$$ называется биполярой $$A$$.

Свойства

1. Из теоремы Фенхеля-Моро выводится теорема о биполяре: для того чтобы $$A^{\circ\circ} = A$$, необходимо и достаточно, чтобы $$A$$ было выпуклым замкнутым множеством, содержащим нуль;
2. $$conv(A) = A$$;
3. $$\overline{A} = A$$;
4. если $$\lambda > 0$$, то $$(\lambda A)^{\circ} = \frac{1}{\lambda}A^{\circ}$$;
5. если $$A \in B$$, то $$B^{\circ} \in A^{\circ}$$
6. $$A^{\circ} = \{y \in \mathbb{R}^n | \rho(y,A) \leqslant 1\}$$, где $$\rho$$ — опорная функция;