Поляра множества и ее свойства

Определение

Пусть $$A$$ непустое подмножество $$\mathbb{R}^n$$. Полярой множества $$A$$ называется множество \[ A^{\circ}=\left\{y \in \mathbb{R}^n~|~ \langle x, y \rangle \leqslant 1 , \forall x \in A\right\}. \] Поляра множества $$A^{\circ}$$ называется биполярой $$A$$.

Свойства

1. $$conv(A^{\circ}) = A^{\circ}$$;

Д-во:

2. $$\overline{A} = A$$;

Д-во:

3. если $$\lambda > 0$$, то $$(\lambda A)^{\circ} = \frac{1}{\lambda}A^{\circ}$$;

Д-во:

4. если $$A \subset B$$, то $$A^{\circ} \supset B^{\circ}$$

Д-во:

1) Пусть $$y_0 \in B^{\circ}$$. Тогда $$\forall x \in B: \langle x, y_0 \rangle \leqslant 1$$. $$ A \in B $$ следовательно, это выполняется $$\forall x \in A$$. Значит $$B^{\circ} \subseteq A^{\circ}$$

2) ?

Следствие 1. Если $$A$$ - ограничено, то $$0 \in Int(A^{\circ})$$.

Д-во:

$$A$$ ограничено $$\Rightarrow \exists R > 0: A \subset \bar{B}_R(0)$$. По свойству 4 $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/R}(0)$$. Тогда $$0 \in Int(A^{\circ})$$

Следствие 2. Если $$0 \in Int(A)$$, то $$A^{\circ}$$ ограничено.

Д-во:

$$0 \in Int(A) \Rightarrow \exists r > 0: \bar{B}_r(0) \subset A$$. Тогда $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/r}(0) \Rightarrow A^{\circ}$$ - ограничено

5. $$A^{\circ} = \{y \in \mathbb{R}^n | \rho(y,A) \leqslant 1\}$$, где $$\rho$$ — опорная функция;

Д-во: следует из определения опорной функции.

6.$$\forall A,B \subset \mathbb{R}^n, (A \cup B)^{\circ} = A^{\circ} \cap B^{\circ}$$.

Д-во:

$$(A \cup B)^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in (A \cup B), \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in A, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} \cap \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in B, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = A^{\circ} \cap B^{\circ}$$

Примечание: свойство выполняется в случае бесконечных объединений - пусть $$A = \cup A_i$$, тогда $$(\cup A_i)^{\circ} = \cup A_i^{\circ}$$. Доказывается аналогично.

Следствие: поляра любого множества замкнута, выпукла и содержит 0.

Д-во:

Представим множество $$A$$ в виде $$A = \cup_{x \in A} \{x\}$$. Тогда $$A^{\circ} = \cap_{x \in A} \{x\}^{\circ} 7. Из [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D1%85%D0%B5%D0%BB%D1%8F-%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%BE теоремы Фенхеля-Моро] выводится теорема о биполяре: для того чтобы $$A^{\circ\circ} = A$$, необходимо и достаточно, чтобы $$A$$ было выпуклым замкнутым множеством, содержащим нуль;