Множество достижимости линейной системы

Будем рассматривать систему \begin{equation}\label{syst} \dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \quad t \in [t_0, t_1], \end{equation} где $$x \in \mathrm{R}^{n}$$ — вектор фазового состояния, $$u \in \mathrm{R}^m$$ — вектор управлений.

Пусть наша система движется из положения $$x(t_0) = x^0$$ и должна попасть в положение $$x(t_1) = x^1$$, при этом мы минимизируем следующий функционал:

\[ J[u(\cdot)] = \lVert u(\cdot) \rVert = \left( \int\limits_{t_0}^{t_1} \lVert u(t) \rVert^2 dt \right)^\frac{1}{2} \to \min. \]

Задача моментов

Найдём условия на $$u(\cdot)$$, чтобы $$x(t_0) = x^0,\ x(t_1) = x^1$$. Для этого выпишем формулу Коши:

\[ x^1 = X(t_1, t_0) x^0 + \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) \left( B(t) u(t) + f(t) \right) dt. \]

Перенесём все слагаемые, содержащие $$u(t)$$ в одну сторону.

\[ \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) B(t) u(t) dt = x^1 - X(t_1, t_0) x^0 - \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) f(t) dt. \]

Обозначим за $$c \in \mathrm{R}^n$$ правую часть этого равенства, а $$H(t_1, t) = X(t_1, t) B(t)$$. Получим задачу моментов:

\begin{equation}\label{zm} \int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) u(t) dt = c. \end{equation}

Определение

Найдём такие $$\mu > 0$$, что существует $$u(\cdot)$$ такое, что $$\lVert u(\cdot) \rVert_{L_2}$$ и задача моментов \eqref{zm} разрешима. Для начала введём новое понятие.

Множеством достижимости называется множество \[ \chi_\mu^0[t_0, t_1] = \bigcup\limits_{\begin{matrix} u(\cdot)\colon \\ \lVert u(\cdot) \rVert_{L_2} \le \mu \end{matrix}} \left( \int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) u(t) dt \right). \] То есть это множество всех состояний, достижимых из $$x^0 = 0$$ при $$f = 0$$ при всех $$u$$ таких, что $$\lVert u(\cdot) \rVert_{L_2} \le \mu$$.