Отделимость множеств
Для получения многих результатов в выпуклом анализе ключевую роль занимают теоремы об отделимости выпуклых множеств. Например, для конечномерных пространств они гарантируют, что любые два выпуклых множества, у которых относительные внутренности не пересекаются, можно отделить.
Определения отделимости и строгой отделимости выпуклых множеств
Будем считать $$X$$ - нормированное пространство, $$A$$ и $$B$$ - его подмножества, $$A\not=\varnothing$$ и $$B\not=\varnothing$$
1. Множества $$A$$ и $$B$$ отделимы, если найдётся такой линейный непрерывный функционал $$l\not=0$$, что \begin{gather*} \sup\limits_{x \in A}\left<l, x\right>\leq\inf\limits_{x \in A}\left<l, y\right>. \end{gather*}
2. Множества $$A$$ и $$B$$ строго отделимы, если найдётся такой линейный непрерывный функционал $$l\not=0$$, что \begin{gather*} \sup\limits_{x \in A}\left<l, x\right><\inf\limits_{x \in A}\left<l, y\right>. \end{gather*} Также говорят, что функционал $$l$$ разделяет (строго разделяет) множества $$A$$ и $$B$$
Теоремы отделимости
Заметим, что множества $$A$$ и $$B$$ можно отделимы тогда и только тогда, когда множество $$(A − B)$$ можно отделить от $$\{0\}$$ (множества, состоящего из одного нуля). Этим фактом мы воспользуемся при доказательстве следующей теоремы.
Теорема (о конечномерной отделимости)
Формулировка теоремы:
Пусть $$A, B$$ — непустые выпуклые подмножества $$R^n$$ и их относительные внутренности $$ri A$$ и $$ri B$$ не пересекаются. Тогда множества A и B можно отделить.
Доказательство:
Заметим, что так как $$ri A$$ и $$ri B$$ не пересекаются, то $$0\not\in (ri A-ri B)$$. Множество $$(ri A-ri B)$$ выпукло $$\Longrightarrow$$ (указать ссылку на лемму 1.4.2) $$\Longrightarrow$$ $$(ri A-ri B)$$ отделимо от нуля, а значит $$ri A$$ и $$ri B$$ отделимы, т.е. $$\exists l\not=0$$ и $$\gamma\in\mathbb{R}:$$$$\forall x\in{ri A},y\in{ri B} \Longrightarrow\left<l, x\right>\leq\gamma\leq\left<l, y\right>$$.
Пусть $$x \in A$$. Тогда существует последовательность точек $$\{x_i\}$$, лежащая в $$ri A$$ и сходящаяся к $$x$$. Поэтому, $$\left<l, x_i\right>\leq\gamma,$$ $$\forall i$$. Переходя к пределу по $$i$$, получаем, что, $$\left<l, x\right>\leq\gamma$$. Поступив аналогично для точек $$y$$ множества $$B$$, получим, что полученный линейный непрерывный функционал $$l$$ также разделяет $$A$$ и $$B$$.$$~~\blacksquare$$
