Выпуклая функция и ее свойства
Выпуклая функция - функция $$f: X \to \overline{\R}$$, действующая из вещественного линейного пространства $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ в вещественную расширенную прямую $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$, надграфик которой является выпуклым множеством.
Определение выпуклой функции
1. Пусть $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$ - расширенная вещественная прямая, $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ - вещественное линейное пространство. С каждой функцией $$f: X \to \overline{\R}$$ можно связать множества \begin{gather*} \operatorname{epi} f \equiv \bigl\{(x,\alpha) \in X \times \overline{\R} \mid f(x) \leqslant \alpha\bigr\},\\ \operatorname{dom} f \equiv \bigl\{x \in X \mid f(x) \leqslant +\infty\bigr\}, \end{gather*} называемые соответственно надграфиком функции $$f$$ и её эффективным множеством.
2. Функция $$f$$ называется выпуклой, если ее надграфик $$\operatorname{epi} f$$ является выпуклым множеством. Функция $$f$$ называется вогнутой, если функция $$(−f)$$ является выпуклой.
Список литературы
1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
