Компактность и предкомпактность

Пусть $$(X, \rho)$$ $$-$$ метрическое пространство.

Определение

Множество $$A \subset X$$ называется $$\textbf{компактным}$$, если из любой последовательности $$\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}$$ его элементов можно выделить сходящуюся подпоследовательность $$\{x_{n_k}\}_{k = 1}^{\infty}$$ к некоторому элементу $$x^{*} \in A$$.

Вспомогательные определения и утверждения

• $$\textbf{Лемма Гейне-Бореля.}$$ $$A$$ компактно $$\Leftrightarrow$$ из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Доказательство.

$$\blacksquare$$