Циклы в системах с дискретным временем. Теорема Шарковского
Несмотря на кажущуюся простоту, одномерные дискретные динамические системы могут иметь достаточно сложное поведение. В частности, скалярные динамические системы с дискретным временем могут иметь решения в виде циклов. Введём и исследуем понятие цикла в динамической системе с дискретным временем.
Понятие цикла
Пусть задана следующая динамическая система с дискретным временем:\[
\begin{equation}
\begin{cases}
N_{t+1}=f(N_t),\ \ t=0,1,2,...\\
N|_{t=0}=N_0,
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
\]
где \( f: u \mapsto f(u),\ u\in{U}\subset\mathbb R^n,\ f:U\to U \).
Определение 1. Несовпадающие точки \(v_1,v_2,...,v_k\) фазового пространства системы \((\ref{sys1})\) образуют цикл длины k, если \(f(v_1)=v_2,\ f(v_2)=v_3,...,\ f(v_{k-1})=v_k,\ f(v_k)=v_1\).
Пример исследования системы на наличие цикла
Продемонстрируем применение определения цикла на так называемом логистическом отображении. Оно задаётся следующим уравнением:\[ v_{t+1} = ru_t(1-u_t).\]
