Компактность и предкомпактность

Пусть $$(X, \rho)$$ $$-$$ метрическое пространство.

Определение

Множество $$A \subset X$$ называется компактным, если из любой последовательности $$\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}$$ его элементов можно выделить сходящуюся подпоследовательность $$\{x_{n_k}\}_{k = 1}^{\infty}$$ к некоторому элементу $$x^{*} \in A$$.

Множество $$A$$ называется предкомпактным, если из любой последовательности $$\{x_n\}_{n = 1}^{\infty} \subset A \Rightarrow \exists \{x_{n_k}\}_{k = 1}^{\infty}$$ $$-$$ фундаментальная подпоследовательность.

Примеры

$$\underline{Пример \; 1.}$$ Пусть $$X = [0, 1].$$ Тогда $$X$$ $$-$$ компакт в силу теоремы Больцано.

$$\underline{Пример \; 2.}$$ Пусть $$X = E_1 - $$ одномерное евклидово пространство(числовая прямая). $$X$$ $$-$$ некомпактно. Действительно, его подмножество $$M = \{1, 2, 3, \ldots, n, \ldots\}$$ не содержит никакой сходящейся последовательности.

Вспомогательные определения и утверждения

• Определение. Множество $$A$$ называется вполне ограниченным, если $$\forall \varepsilon > 0 \; \exists$$ конечная $$\boldsymbol{\varepsilon}$$-сеть для $$A:$$ т.е. $$\exists \{x_n\}_{n = 1}^{N}, x_n \in X \text{ и } A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{N}B_{\varepsilon}(x_n)$$.

• Утверждение. Если $$A$$ $$-$$ компакт, то оно замкнуто и ограничено.

Доказательство.

Пусть произвольная последовательность $$\{x_n\} \in A$$ сходится к $$x_0 \in X$$. Так как множество $$A$$ $$-$$ компакт, то из последовательности $$\{x_n\}$$ можно выделить подпоследовательность $$\{x_{n_k}\} \rightarrow x \in A$$. Но любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к пределу последовательности, то есть $$x = x_0$$. Ограниченность очевидна.$$\blacksquare$$

Теорема Хаусдорфа (критерий предкомпактности)

Теорема 1. $$M$$ предкомпактно $$\Leftrightarrow$$ оно вполне ограничено.

Доказательство.

($$\Rightarrow$$) Пусть $$M$$ предкомпактно. Зафиксируем $$\forall \varepsilon > 0$$. Выберем произвольный $$x_1 \in M$$ и рассмотрим шар $$B(x_1, \varepsilon)$$. Если $$M \subset B(x_1, \varepsilon)$$, то все доказано, иначе выберем $$x_2 \in M \setminus B(x_1, \varepsilon)$$. Заметим, что $$d(x_1, x_2) \geqslant \varepsilon$$. Если $$M \subset B(x_1, \varepsilon)\bigcup B(x_2, \varepsilon)$$, то все доказано, иначе выберем $$x_3 \in M \setminus (B(x_1, \varepsilon)\bigcup B(x_2, \varepsilon))$$, и т.д. Если этот процесс не обрывается, то получим последовательность $$\{x_n\}, \; d(x_k, x_n) \geqslant \varepsilon \text{ при } k \neq n$$, из которой невозможно выбрать фундаментальную подпоследовательность.

($$\Leftarrow$$) Пусть $$M$$ вполне ограничено. Выберем произвольную последовательность $$\{x_n\}$$. Положим $$\varepsilon_m = 2^{-m}$$. Некоторый конечный набор шаров радиуса $$\varepsilon_1$$ накрывает $$M$$, поэтому по крайней мере один из них содержит бесконечное число членов $$\{x_n\}$$ (подпоследовательность). Накроем этот шар конечным набором шаров радиуса $$\varepsilon_2$$; один из них опять содержит бесконечное число членов подпоследовательности, и т.д. Выбрав на каждом этапе по элементу, построим подпоследовательность, которая будет фундаментальной. $$\blacksquare$$

Лемма Гейне-Бореля (критерий компактности)

Лемма 1. $$A$$ компактно $$\Leftrightarrow$$ из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Доказательство.

($$\Leftarrow$$) Рассмотрим произвольную последовательность $$\{x_n\}$$. Пусть $$X_n = \{x_n, x_{n + 1}, \ldots\}$$.

1. Покажем, что $$\bigcap_{n = 1}^{\infty}\overline{X_n} \neq \varnothing$$. Действительно, пусть это не так, тогда $$M = M \setminus \bigcap_{n = 1}^{\infty}\overline{X_n} = \bigcup_{n = 1}^{\infty}\overline{X_n}\big{(}M \setminus \overline{X_n}\big{)}$$, т.е. открытые множества $$M \setminus \overline{X_n}$$ образуют покрытие пространства $$M$$. По условию $$\exists N: M = \bigcup_{n = 1}^{N}\big{(}M \setminus \overline{X_n}\big{)}$$, следовательно, $$\bigcap_{n = 1}^{N}\overline{X_n} = \varnothing$$, что противоречит тому, что $$x_N \in \bigcap_{n = 1}^{N}X_n$$.
2. Пусть $$x \in \bigcap_{n = 1}^{\infty}\overline{X_n}$$ (конечно, $$x \in M$$). Возможны следующие случаи:
   1. $$x \in X_{n_1}, X_{n_2}, \ldots$$ (бесконечная последовательность): в качестве фундаментальной можно взять стационарную подпоследовательность $$x, x, \ldots$$;
   2. $$x \in X_{n_1}, X_{n_2}, \ldots, X_{n_m}: x \notin X_{n_m + 1}, X_{n_m + 2}, \ldots:$$ в этом случае $$x$$ $$-$$ предельная точка для всех $$X_n$$, начиная с номера $$n_m + 1$$, а следовательно, в любой окрестности точки $$x$$ найдется точка из $$X_n$$, что и позволяет выбрать $$\{x_n\}$$ сходящуюся подпоследовательность.

($$\Rightarrow$$) От противного. Пусть $$\{G_{\alpha}\} - $$ открытое покрытие $$M$$, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Так как $$M$$ компактно, то по теореме Хаусдорфа оно вполне ограничено. Пусть $$\varepsilon_m = 2^{-m}$$. Накроем $$M$$ конечным набором шаров радиуса $$\varepsilon_1$$. По предположению среди них существует шар $$B_1 = B(x_1, \varepsilon_1)$$, из покрытия $$\{G_{\alpha}\}$$ которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Накроем $$B_1$$ конечным набором шаров радиуса $$\varepsilon_2$$. Среди них снова найдется шар $$B_2$$, из покрытия $$\{G_{\alpha}\}$$ которого нельзя выделить конечное подпокрытие, и т.д. Видно, что центры шаров $$B_l$$ образую фундаментальную последовательность. В силу компактности $$M$$ эта последовательность сходится; пусть $$y \in M$$ $$-$$ ее предел. Так как $$y$$ содержится в одном из открытых множеств $$\{G_{\alpha}\}$$, то существует шар с центром в $$y$$, содержащийся в $$\{G_{\alpha}\}$$, причем ясно, что все шары $$B_l$$, начиная с некоторого номера, попадают в этот шар $$-$$ противоречие. $$\blacksquare$$

Критерии предкомактности в $$C[a,b],~L_p[a,b],~l_p$$

Определение 1 (равностепенная непрерывность в $$C[a,b]$$). Множество $$X\subset C[a,b]$$ называется равностепенно непрерывным, если $$\forall \varepsilon>0~\exists\delta=\delta(\varepsilon)>0:~\forall x_1,x_2\in[a,b]:~|x_1-x_2|<\delta,~\forall f(\cdot)\in X\Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|\leq\varepsilon.$$

Теорема 1 (Арцела-Асколи). Пусть $$X\subset C[a,b]$$. Тогда $$X -$$ предкомпактно $$\Leftrightarrow$$

1. $$X$$ ограничено по метрике $$C[a,b]$$.

2. $$X$$ равностепенно непрерывно.

Доказательство.

1. ($$\Rightarrow$$) Итак, пусть $$X$$ является предкомпактом $$\Rightarrow$$ вполне ограничено. Фиксируем $$\varepsilon>0$$ и построим конечную $$(\varepsilon/3)$$-сеть вида: $$\{\varphi_i\}_{i=1}^n$$. Так как $$\forall\varphi_i\in C[a,b]\Rightarrow\exists K_i:~\forall x\in[a,b]\Rightarrow|\varphi_i(x)|<K_i$$.

Поскольку таких функций конечное множество, то $$\exists K=\max_{i} K_i+\varepsilon/3<\infty$$. Теперь $$\forall f(\cdot)\in X~\exists\varphi_i\in\{\varphi_i\}_{i=1}^n:~\forall x\in[a,b]\Rightarrow |f(x)-\varphi_i(x)|<\varepsilon/3$$. Очевидно, что в этом случае функция $$f(\cdot)$$ будет ограничена константой $$K$$.

Поскольку выбор функции $$f(\cdot)$$ был произвольным, $$X$$ является ограниченным по метрике $$C[a,b]$$.

Опять же, в силу непрерывности каждого элемента $$(\varepsilon/3)$$-сети, этот элемент оказывается также и равномерно непрерывным и, следовательно, по $$(\varepsilon/3)$$ можно подобрать такое $$\delta_i$$ такое, что $$|\varphi_i(x_1)-\varphi_i(x_2)|<\varepsilon/3$$ для любых точек $$x_1,x_2\in[a,b]$$ таких, что $$|x_1-x_2|<\delta_i$$.

Положим $$\delta=\min_{i}\delta_i$$. Если теперь рассмотреть произвольную функцию $$f(\cdot)\in X$$, то для заданного $$\varepsilon>0$$ будет иметь место строгое неравенство $$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$ для любых точек $$x_1,x_2\in[a,b]$$ таких, что $$|x_1-x_2|<\delta$$.

Действительно, $$|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant |f(x_1)-\varphi_i(x_1)|+|\varphi_i(x_1)-\varphi_i(x_2)|+|\varphi_i(x_2)-f(x_2)|<\varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon$$, где $$\varphi_i$$ — подходящий элемент $$(\varepsilon/3)$$-сети.

Тем самым показано, что $$X$$ является равностепенно непрерывным.

2. ($$\Leftarrow$$) Фиксируем $$\varepsilon>0$$. Пусть $$K$$ — это константа, которая фигурирует в определении ограниченности $$X$$. Выберем такое $$\delta>0$$, которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует величине $$\varepsilon/5$$. Рассмотрим прямоугольник $$[a,b]\times[-K,K]$$ и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем $$\delta$$ по горизонтали и $$\varepsilon/5$$ по вертикали. Пусть $$x_1$$, $$x_2$$, $$\dots$$ , $$x_N$$ — узлы этой решётки по оси абсцисс.

Если теперь рассмотреть произвольную функцию $$f(\cdot)\in X$$, то для каждого узла $$x_i$$ решётки обязательно найдётся такая точка $$(x_i,y_j)$$ решётки, что $$|f(x_i)-y_j|<\varepsilon/5$$. Если теперь рассмотреть ломаную функцию $$\varphi$$, которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на $$\varepsilon/5$$, то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на $$\varepsilon/5$$, ломаная на каждом таком отрезке уклоняется не более чем на $$3\varepsilon/5$$.

Поскольку каждая точка $$x$$ отрезка $$[a,b]$$ оказывается на одном из таких отрезков, скажем, $$[x_k,x_k+1]$$, то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит $$\varepsilon$$:

$$|f(x)-\varphi(x)|\leqslant|f(x)-f(x_k)|+|f(x_k)-\varphi(x_k)|+|\varphi(x_k)-\varphi(x)| <\varepsilon/5+\varepsilon/5+3\varepsilon/5=\varepsilon$$.

Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является $$\varepsilon$$-сетью для заданного $$\varepsilon>0$$. $$\blacksquare$$

Теорема 2. Пусть $$p\geq1$$, конечно, $$X\subset L_p[a,b]$$. Тогда $$X$$ предкомпактно $$\Leftrightarrow$$

1. $$X -$$ ограничено.

2. $$\forall\varepsilon>0~\exists\delta=\delta(\varepsilon)>0:~\forall h>0:~h>\delta,~\forall f(\cdot)\in X\Rightarrow \int_a^{b-h}|f(x+h)-f(x)|^pdx<\varepsilon^p$$.

Доказательство.

1. ($$\Rightarrow$$) Аналогично предыдущей теореме.

2. ($$\Leftarrow$$) Построим предкомпактную $$\varepsilon$$-сеть, опираясь на понятие усреднения. Пусть $$S_1 -$$ единичная одномерная сфера. Положим $$ \omega(r)=\left\{\begin{array}{l} A(1-r),~ 0 \leq r \leq 1, \\ 0, ~r>1, \end{array}\right. $$

где постоянная $$A$$ такова, что $$1=\int_{\mathbb{R}} \omega(|x|) d x=\{$$сферические координаты$$\}=A\left|S_1\right| \int_0^1(1-r)dr=\dfrac{A\left|S_1\right|}{2}, ~A=\dfrac{2}{\left|S_1\right|}$$

$$\omega_{\Delta}(|x|)=\dfrac{1}{\Delta} \omega\left(\dfrac{|x|}{\Delta}\right)$$.

Очевидно, $$\int_{\mathbb{R}} \omega_{\Delta}(|x|)dx=1$$ и $$\omega_{\Delta}=0$$ при $$|x|>\Delta$$. Определим теперь усреднение: всякой функции $$f(\cdot) \in L_p([a,b])$$ сопоставим функцию $$ f_{\Delta}(x)=\int_{\mathrm{R}}\omega_{\Delta}(|y-x|)f(y)dy=\int_{\mathrm{R}}\omega_{\Delta}(|z|)f(z+x)dz . $$

Так как $$ f_{\Delta}(x)-f(x)=\int_{\mathbb{R}} \omega_{\Delta}(|z|)(f(z+x)-f(x)) d z, $$

то в силу неравенства Гёльдера и теоремы Фубини

$$\left\|f_{\Delta}-f\right\|_{L_p}^p=\int_{\mathbb{R}}\left|f_{\Delta}(x)-f(x)\right|^p d x \leq \int_{\mathrm{R}}\left(\int_{\mathrm{R}}|f(x+z)-f(x)|^p \omega_{\Delta}(|z|)dz\right)\left(\int_{\mathrm{R}} \omega_{\Delta}(|z|) d z\right)^{p / q} d x= \\ =\int_{\mathrm{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}|f(x+z)-f(x)|^p d x\right) \omega_{\Delta}(|z|) d z \leq \varepsilon^p \int_{\mathrm{R}} \omega_{\Delta}(|z|) d z=\varepsilon^p,$$

т.е. $$\left\|f_{\Delta}-f\right\|_p \leq \varepsilon$$, следовательно, $$\left\{f_{\Delta}\right\}$$ образует $$\varepsilon$$-сеть.

В силу неравенства Гельдера эта сеть равномерно ограничена и равностепенно непрерывна в $$C([a,b])$$. Следовательно, она предкомпактна в $$C([a,b])$$. Осталось заметить, что из равномерной сходимости в $$C([a,b])$$ вытекает сходимость в $$L_p([a,b])$$. $$\blacksquare$$

Будем обозначать $$x=\left(x_1, x_2, \ldots\right),~ P_N(x)=\left(x_1, x_2, \ldots, x_N, 0,0, \ldots\right), ~R_N(x)=x-P_N(x)$$. Очевидно, $$\left\|P_N(x)\right\|_{l_p} \leq\|x\|_{l_p}, ~\forall x \in l_p,~ \forall \varepsilon>0 ~\exists N:\left\|R_N(x)\right\|_{l_p}<\varepsilon$$.

Теорема 3. Пусть $$p\geq1$$, конечно, тогда $$X \subset l_p$$ предкомпактно $$\Leftrightarrow$$

1. $$\exists M \geq 0:\|x\|_{l_p} \leq M \quad \forall x \in X$$ и

2. $$\forall \varepsilon>0 \quad \exists N=N(\varepsilon):\left\|R_N(x)\right\|_{l_p}<\varepsilon \quad \forall x \in X$$.

Доказательство.

1. ($$\Rightarrow$$) Ограниченность вытекает из предкомпактности. Далее, $$\forall \varepsilon>0$$ существует конечная $$\varepsilon$$-сеть: $$X \subset \bigcup_{k=1}^n B\left(z^k, \varepsilon\right), z^k \in l_p$$. В силу конечности числа узлов $$\exists N$$ : $$\left\|R_N\left(z^k\right)\right\|_{l_p}<\varepsilon$$ сразу для всех узлов. Так как $$\forall x \in X ~\exists k:\left\|x-z^k\right\|_{l_p}<\varepsilon$$, то $$\left\|R_N(x)\right\|_{l_p}<2 \varepsilon$$.

2. ($$\Leftarrow$$) $$\left\{P_N(x)\right\}$$ образует $$\varepsilon$$-сеть и фактически составляет конечномерное пространство. Из его предкомпактности вытекает предкомпактность $$X$$. $$\blacksquare$$

Список литературы

1. Точилин П. А. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.