Циклы в системах с дискретным временем. Теорема Шарковского
Несмотря на кажущуюся простоту, одномерные дискретные динамические системы могут иметь достаточно сложное поведение. В частности, скалярные динамические системы с дискретным временем могут иметь решения в виде циклов. Введём и исследуем понятие цикла в динамической системе с дискретным временем.
Содержание
Понятие цикла
Пусть задана следующая динамическая система с дискретным временем:\[
\begin{equation}
\begin{cases}
N_{t+1}=f(N_t),\ \ t=0,1,2,...\\
N|_{t=0}=N_0,
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
\]
где \( f: u \mapsto f(u),\ u\in{U}\subset\mathbb R^n,\ f:U\to U \).
Определение 1. Несовпадающие точки \(v_1,v_2,...,v_k\) фазового пространства системы \((\ref{sys1})\) образуют цикл длины \(k\), если \(f(v_1)=v_2,\ f(v_2)=v_3,...,\ f(v_{k-1})=v_k,\ f(v_k)=v_1\).
Обозначим за \(f^k\) \(k\)-ю степень отображения \(f\) (то есть его применение самого к себе \(k\) раз). Тогда если в системе \((\ref{sys1})\) есть цикл длины \(k\), где где \( v_i\) — неподвижные точки этого цикла, \(i\in\overline{1,k}\), то:
- \(f(v_i)=f^i(v_1)\), то есть любая точка цикла получается из первой (вообще говоря, любой) его точки несколькими итерациями применения отображения \(f\);
- \(f^k(v_i)=v_i\), что как раз показывает цикличность этого отображения — через \(k\) итераций мы возвращаемся в ту же точку, откуда стартовали, вне зависимости от самой точки.
Устойчивость цикла
Свойство устойчивости цикла неразрывно связано с терминами устойчивости составляющих его точек.
Определение 2.
Цикл длины \(k\) называют устойчивым, если устойчивы составляющие его неподвижные точки отображения \(f^k\).
Вычислим для начала для \(1\)-й неподвижной точки \(v_1\) производную отображения \(f^k\):\[(f^k(v_1))'=\left(f(f^{k-1}(v_1))\right)'=[по\ формуле\ производной\ сложной\ функции]=f'(f^{k-1}(v_1)) \cdot (f^{k-1}(v_1))' =\ ...\ = f'(v_i)f'(v_{i-1})...f'(v_1).\]
... TBD ...
Таким образом, для проверки цикла на устойчивость будем использовать следующее неравенство::
$$|f'(u_k)f'(u_{k-1})...f'(u_1)|\vee 1.$$
Теорема Шарковского
... TBD ...
Пример исследования системы на предмет циклов
Продемонстрируем применение определения цикла на отображении, относящемся к классу так называемых логистических отображений. Рассматриваемое нами задаётся следующим уравнением:\[ v_{t+1} = rv_t(1-v_t^3).\] Уравнение для поиска неподвижной точки тогда будет выглядеть следующим образом:\[v^* = rv^*(1-{v^*}^3).\]
Решим это уравнение:\[ v^*(1 - r + r{v^*}^3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} v^* = 0, \\ v^* = \sqrt[3]{1-\frac{1}{r}}. \\ \end{array}\right. \] ... TBD ...
