Лемма о перестановке интеграла и супремума

Лемма, возникающая в задаче быстродействия (т.е. поиска управления, оптимального по времени) и используемая для облегчения расчета опорной функции множества достижимости.

Задача быстродействия

Тип задач оптимального управления, заключающегося в переводе системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, за минимальное время.

В этой статье предполагается, что данная система задается следующими условиями:

\begin{equation}\label{ms} \begin{cases} \dot{x} = A(t)x(t) + B(t)u(t)+f(t), \\ x(t_0) = x^0, \\ x(t_1) = x^1, \\ u(\tau) \in \mathcal{P} \in \textit{conv}R^m, \\ t_1 - t_0 \longrightarrow \text{inf}, \end{cases} \end{equation}

где $$ x^0,\,x^1,\,t_0 $$ - фиксированы, $$ A(t),\,B(t),\,f(t) $$ - непрерывны, а $$ \mathcal{P} $$ непрерывно, как многозначное отображение (это требование гарантирует непрерывность опорной функции $$ \mathcal{\rho(l|\mathcal{P}(\tau))} $$ по $$ \tau $$ для любого $$ l $$).

Множество достижимости

Трубка достижимости - это функция, отображающая время на соответствующее множество достижимости (обозначается: $$ \mathcal{X}[\cdot] $$). Ее графиком называют множество:

\[ \mathcal{X}[\cdot] = \{(t,\,x): x\in \mathcal{X}[t]\}. \]

Множество достижимости $$ \mathcal{X}[t_1] $$ определяется следующим образом:

\[ \mathcal{X}[t_1] = \mathcal{X}(t_1,t_0,x^0) = \{x = x(t_1,t_0,x^0\,|\,u(\cdot)), u(\tau) \in \mathcal{P}\}. \]

Обозначение $$ \mathcal{X}[t_1] $$ подразумевает, что в данный момент интерес представляет зависимость $$ \mathcal{X} $$ только от переменной $$ t_1 $$, хотя в общем случае значение $$ \mathcal{X} $$ зависит от большего числа переменных.

Опорная функция множества достижимости рассчитываться по следующей формуле:

\[ \rho(l\,|\,\mathcal{X}[t_1]) = \sup\limits_{u(\cdot)} \left[ \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u(\tau) \rangle d\tau + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau \right] = \] \[ = \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau + \sup\limits_{u(\cdot)} \left[ \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u(\tau) \rangle d\tau \right], \]

где фундаментальная матрица Коши $$X(t,\tau)$$ вычисляется через матричный экспоненциал: \[ X(t,\tau) = e^{A(t-\tau)} \]

Теперь, все необходимые для рассмотрения основной леммы данные известны.

Лемма о перестановке интеграла и супремума

Пусть рассматривается задача быстродействия \eqref{ms}. Тогда, обозначая $$s(\tau) = B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l$$, можно получить верное тождество: \[ \sup\limits_{u(\cdot)}\left[ \int\limits^{t_1}_{t_0} \langle s(\tau),\,u(\tau) \rangle \,d\tau\right] = \int\limits^{t_1}_{t_0}\left[\sup\limits_{u \in \mathcal{P}} \langle s(\tau),\,u \rangle\right] d\tau. \]

Доказательство.

Так как $$ s(\tau) $$ - непрерывная функция, то опорная функция $$ \rho(s(\tau)|\mathcal{P}(t)) = \sup\limits_{u \in \mathcal{P}(\tau)} \langle s(\tau),\,u \rangle $$ также непрерывна по $$ \tau $$, и, следовательно, интегрируема.

Рассматривая $$ \mathcal{P}^*(\tau) = \underset{u(\cdot) \in \mathcal{P}(\tau)}{Arg\,max} \langle s(\tau),\,u \rangle $$, нужно проверить, что это многозначное отображение является измеримым. Для этого достаточно доказать его полунепрерывность сверху.

Так как полунепрерывность сверху равносильна замкнутости графика $$ \mathcal{P}^*(\tau) $$, то нам надо показать, что из $$ \tau^n \longrightarrow \tau $$, $$ u^n \longrightarrow u $$, $$ u^n \in \mathcal{P}^*(\tau^n) $$, при $$ n \longrightarrow \infty $$, следует, что $$ u \in \mathcal{P}^*(\tau) $$.

Для $$ u^n $$ и $$ \tau^n $$ выполнены следующие соотношения: \[ \langle s(\tau^n),\,u^n \rangle = \rho(s(\tau^n)\,|\,\mathcal{P}(\tau^n)), \] \[ \langle l,\,u^n \rangle \leq \rho(l\,|\,\mathcal{P}^*(\tau^n)), \]

Тогда, при переходе к пределу при $$ n \longrightarrow \infty $$ справедливо:

\[ \langle s(\tau),\,u \rangle = \rho(s(\tau)\,|\,\mathcal{P}(\tau)), \] \[ \langle l,\,u \rangle \leq \rho(l\,|\,\mathcal{P}^*(\tau)), \]

Значит $$ u \in \mathcal{P}^*(\tau) $$, что и дает замкнутость графика, и, следовательно, измеримость.

Лемма об измеримом селекторе описывается в курсе выпуклого анализа ([1]).

"Если многозначное отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримо, то существует такая измеримая функция (селектор) $$ u^*(\cdot) $$, что $$ u^*(\tau) \in \mathcal{P}^*(\tau) $$ для почти всех $$ \tau $$."

Используя данную лемму видно, что для этого селектора $$ \langle s(\tau),\,u^*(\tau) \rangle \leq \rho(s(\tau)\,|\,\mathcal{P}(\tau)) $$, интегралы, описанные в условии доказываемой леммы, существуют, что влечет за собой достижение точной верхней грани на $$ u^*(\tau) \in \mathcal{P}^*(\tau) $$, что и требовалось доказать. $$\blacksquare$$

Результаты применения леммы

Таким образом можно выписать окончательный вид опорной функции: \[ \rho(l\,|\,\mathcal{X}[t_1]) = \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau + \int\limits^{t_1}_{t_0}\rho(B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l\,|\,\mathcal{P}(\tau))d\tau. \]

Итак, оптимальное управление доставляет максимум выражению \[ \max\limits_{u \in \mathcal{P}(\tau)} \langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u \rangle \]

Обозначая $$ \psi(\tau) = X^T(t_1,\tau)l $$,можно получить финальную формулу для оптимального управления: \[ \rho(l\,|\,\mathcal{X}[t_1]) = \langle \psi(t_0),\,x_0 \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle \psi(\tau),\,f(\tau) \rangle d\tau + \int\limits^{t_1}_{t_0}\rho(B^T(\tau)\psi(\tau)\,|\,\mathcal{P}(\tau))d\tau. \]

При этом $$ \psi(\tau) $$ называют сопряженной переменной (функцией). Из определения фундаментальной матрицы ясно, что $$ \psi(\tau) $$ удовлетворяет условиям и является решением системы:

\[ \begin{cases} \dot{\psi} = -A^T(\tau)\psi, \\ \psi(t_1) = l. \end{cases} \]

Список литературы

1) Арутюнов А.В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу" М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016

2) Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021.