Выпуклая функция и ее свойства: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показаны 23 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Файл:Выпуклая вниз функция.png|300px|thumb|frame|right|Пример выпуклой вниз функции с выпуклым надграфиком.]]
 +
[[Файл:Выпуклая вверх функция.png|300px|thumb|frame|right|Пример выпуклой вверх функции с выпуклым подграфиком.]]
 +
[[Файл:Пример невыпуклой функции.png|300px|thumb|frame|right|Пример невыпуклой функции с надграфиком и подграфиком.]]
 +
[[Файл:Выпуклая вниз функция2.png|300px|thumb|frame|right|Иллюстрация альтернативного определения выпуклой вниз функции.]]
  
[[Файл:New_ellips.png|200px|thumb|frame|right|Пример выпуклого множества.]]
+
'''Определение 1.''' ''Выпуклая'' (или ''выпуклая вниз'') функция — функция $$f: X \to \overline{\R}$$, действующая из вещественного линейного пространства $$X \subset \overline{\mathbb{R}}$$ в вещественную расширенную прямую $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$, надграфик которой является [[Выпуклое множество и его свойства|выпуклым множеством]].
  
'''Выпуклая''' (или '''выпуклая вниз''') функция - функция $$f: X \to \overline{\R}$$, действующая из вещественного линейного пространства $$X \subset \overline{\mathbb{R}}$$ в вещественную расширенную прямую $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$, надграфик которой является [[Выпуклое множество и его свойства|выпуклым множеством]].
+
'''Альтернативное определение 1.''' Функция $$f(x)$$, определенная на выпуклом множестве  $$X \subset \overline{\mathbb{R}}$$, называется ''выпуклой'', если для всех $$\alpha \in [0, 1]$$ выполняется неравенство:
 
 
'''Альтернативное определение.''' Функция $$f(x)$$, определенная на выпуклом множестве  $$X \subset \overline{\mathbb{R}}$$, называется '''выпуклой''', если для всех $$\alpha \in [0, 1]$$ выполняется неравенство:
 
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2)\leqslant \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2).
 
f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2)\leqslant \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2).
Строка 10: Строка 12:
  
 
== Определение выпуклой, собственной функции ==
 
== Определение выпуклой, собственной функции ==
1. Пусть $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$ - расширенная вещественная прямая, $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ - вещественное линейное пространство.
+
Пусть $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$ расширенная вещественная прямая, $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ вещественное линейное пространство.
 
С каждой функцией $$f: X \to \overline{\R}$$ можно связать множества  
 
С каждой функцией $$f: X \to \overline{\R}$$ можно связать множества  
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
Строка 19: Строка 21:
  
  
2. Функция $$f$$ называется '''выпуклой''' ('''строго выпуклой'''), если ее надграфик $$\operatorname{epi} f$$ является (строго выпуклым), выпуклым множеством. Функция $$f$$ называется '''вогнутой''' или '''выпуклой вверх''' ('''строго вогнутой'''), если функция $$(−f)$$ является выпуклой (строго выпуклой).
+
'''Определение 2.''' Функция $$f$$ называется ''выпуклой'' (''строго выпуклой''), если ее надграфик $$\operatorname{epi} f$$ является (строго выпуклым), выпуклым множеством. Функция $$f$$ называется ''вогнутой'' или ''выпуклой вверх'' (''строго вогнутой''), если функция $$(−f)$$ является выпуклой (строго выпуклой).
  
3. Функция $$f$$ называется '''собственной''', если $$\operatorname{dom} f \not= \varnothing$$ и $$f(x) > -\infty$$ для $$\forall x$$. Функция, не являющаяся собственной, называется '''несобственной'''.
+
'''Определение 3.''' Функция $$f$$ называется ''собственной'', если $$\operatorname{dom} f \not= \varnothing$$ и $$f(x) > -\infty$$ для $$\forall x$$. Функция, не являющаяся собственной, называется ''несобственной''.
  
 
== Критерии выпуклости функции ==
 
== Критерии выпуклости функции ==
  
 
=== Неравенство Йенсена ===
 
=== Неравенство Йенсена ===
'''Необходимое и достаточное условие выпуклости '''. Собственная функция $$f$$ является выпуклой $$\Leftrightarrow $$ для $$\forall \alpha \in [0,1]$$, $$\forall x_1, x_2$$ выполняется:
+
'''Теорема (необходимое и достаточное условие выпуклости)'''. Собственная функция $$f$$ является выпуклой $$\Leftrightarrow $$ для $$\forall \alpha \in [0,1]$$, $$\forall x_1, x_2$$ выполняется:
 
\begin{gather}\label{eq1}
 
\begin{gather}\label{eq1}
 
f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \leqslant \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2).
 
f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \leqslant \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2).
 
\end{gather}
 
\end{gather}
Если это неравенство является строгим для $$\forall \alpha \in [0,1]$$, функция строго выпуклая; если выполняется обратное неравенство, функция вогнутая.
+
Если это неравенство является строгим для $$\forall \alpha \in (0,1)$$ и $$x_1 \neq x_2$$, функция строго выпуклая; если выполняется обратное неравенство, функция вогнутая.
  
 
'''Теорема (неравенство Йенсена)'''. Равенство $$\eqref{eq1}$$, а значит, и выпуклость собственной функции $$f$$, равносильны тому, что для $$\forall n \in \N$$ имеет место неравенство:
 
'''Теорема (неравенство Йенсена)'''. Равенство $$\eqref{eq1}$$, а значит, и выпуклость собственной функции $$f$$, равносильны тому, что для $$\forall n \in \N$$ имеет место неравенство:
Строка 37: Строка 39:
 
\forall (\alpha_1,..., \alpha_n): \:
 
\forall (\alpha_1,..., \alpha_n): \:
 
  \sum_{i=1}^n\alpha_i = 1, \:
 
  \sum_{i=1}^n\alpha_i = 1, \:
  \alpha_i \leqslant 0,
+
  \alpha_i \geqslant 0,
 
\end{gather}
 
\end{gather}
 
для любых точек $$x_1, ..., x_n$$.
 
для любых точек $$x_1, ..., x_n$$.
Строка 60: Строка 62:
  
  
'''Лемма'''. Пусть $$X$$  - нормированное пространство, функция $$f: X \to \R$$, непрерывна и  
+
'''Лемма'''. Пусть $$X$$  нормированное пространство, функция $$f: X \to \R$$, непрерывна и  
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
f \left( \dfrac{x+y}{2} \right) \leqslant \frac{f \left( x \right) + f \left( y \right)}{2} \forall x, y \in X,
+
f \left( \dfrac{x+y}{2} \right) \leqslant \frac{f \left( x \right) + f \left( y \right)}{2}  
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
т. е. неравенство Йенсена выполняется лишь при $$\alpha = 1/2$$. Тогда функция $$f$$ выпукла.
+
$$\forall x, y \in X$$, т. е. неравенство Йенсена выполняется лишь при $$\alpha = 1/2$$. Тогда функция $$f$$ выпукла.
  
''Доказательство''. Докажем по индукции, что для $$\forall \alpha = \dfrac{m}{2^k}\in (0,1)$$ выполняется неравенство Йенсена $$f(\alpha x + (1- \alpha)y) \leqslant  \alpha f(x) + (1-\alpha) f(y)$$.
+
''Доказательство''. Докажем по индукции по $$k$$, что для $$\forall \alpha = \dfrac{m}{2^k}\in (0,1)$$ выполняется неравенство Йенсена $$f(\alpha x + (1- \alpha)y) \leqslant  \alpha f(x) + (1-\alpha) f(y)$$.
  
1. Подставим $$\alpha_1 = 3/4$$ и $$\alpha_2 = 1/4$$ в неравенство Йенсена $$\eqref{eq2}$$.
+
1. База индукции при $$k=2$$. Подставим $$\alpha_1 = 3/4$$ и $$\alpha_2 = 1/4$$ в неравенство Йенсена $$\eqref{eq2}$$.
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
     f \left( \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}y \right) \leqslant  
 
     f \left( \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}y \right) \leqslant  
Строка 88: Строка 90:
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
  
3. Докажем, что функция $$f$$ выпукла, т. е. неравенство Йенсена выполняетсядля произвольных $$\alpha, \beta \in [0, 1]$$, $$\alpha + \beta = 1$$. Выберем $$\{\alpha_n, \beta_n\}$$ вида $$\alpha_n = \dfrac{m}{2^k}$$ так, что $$\{\alpha_n, \beta_n\} \to \{\alpha, \beta\}$$ при $$n \to \infty$$. Из непрерывности $$f$$ $$f(\alpha_n x + \beta_n y) \to f(\alpha x + \beta y)$$ при $$n \to \infty$$.
+
3. Докажем, что функция $$f$$ выпукла, т. е. неравенство Йенсена выполняется для произвольных $$\alpha, \beta \in [0, 1]$$, $$\alpha + \beta = 1$$. Выберем $$\{\alpha_n, \beta_n\}$$ вида $$\alpha_n = \dfrac{m}{2^k}$$ так, что $$\{\alpha_n, \beta_n\} \to \{\alpha, \beta\}$$ при $$n \to \infty$$. Из непрерывности $$f$$ следует $$f(\alpha_n x + \beta_n y) \to f(\alpha x + \beta y)$$ при $$n \to \infty$$.
  
 
В силу доказанного в п. 2 для $$\forall n$$:
 
В силу доказанного в п. 2 для $$\forall n$$:
Строка 101: Строка 103:
 
$$\blacksquare$$
 
$$\blacksquare$$
  
Если функция (не обязательно собственная) выпукла, то $$\eqref{eq2}$$ выполняется для любого набора точек $$x_1,...,x_n$$, для которых $$-\infty < f(x_i) < +\infty$$, $$i = \overline{1, n}$$.
+
'''Замечание 1.''' Если функция (не обязательно собственная) выпукла, то $$\eqref{eq2}$$ выполняется для любого набора точек $$x_1,...,x_n$$, для которых $$-\infty < f(x_i) < +\infty$$, $$i = \overline{1, n}$$.
 
 
 
 
 
 
  
Если функции $$f$$, $$g$$ выпуклы, то любая их линейная комбинация $$af+bg$$ с положительными коэффициентами $$a, b \in \R$$ также выпукла.
+
'''Замечание 2.''' Если функции $$f$$, $$g$$ выпуклы, то любая их линейная комбинация $$af+bg$$ с положительными коэффициентами $$a, b \in \R$$ также выпукла.
  
Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).  
+
'''Замечание 3.''' Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).  
  
Далее считаем, что $$X$$ - нормированное пространство.
+
Далее считаем, что $$X$$ нормированное пространство.
  
 
=== Критерий выпуклости ===
 
=== Критерий выпуклости ===
''Аффинной оболочкой множества'' $$A \subset X$$ ($$\operatorname{aff} A$$) называется множество всевозможных аффинных комбинаций точек из $$A$$, то есть
+
'''Определение 4.''' ''Аффинной оболочкой множества'' $$A \subset X$$ ($$\operatorname{aff} A$$) называется множество всевозможных аффинных комбинаций точек из $$A$$, то есть
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
  \operatorname{aff} A = \left\{ x: x = \sum_{i = 1}^n \alpha_i x_i \mid n \in \N, \; \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1, \; x_i \in A \right\}.
+
  \operatorname{aff} A = \left\{ x: x = \sum_{i = 1}^n \alpha_i x_i \left| n \in \N, \; \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1, \; x_i \in A \right. \right\}.
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
  
Пусть $$X$$ - нормированное пространство, и $$A \subset X$$.
+
'''Определение 5.''' Пусть $$X$$ нормированное пространство, и $$A \subset X$$. ''Относительной внутренностью выпуклого множества'' $$A$$ ($$\operatorname{ri} A$$) называется внутренность $$A$$ относительно $$\operatorname{aff} A$$. А именно, точка $$x_0 \in \operatorname{ri} A$$, если $$\exists ε > 0$$ такое, что
''Относительной внутренностью выпуклого множества'' $$A$$ ($$\operatorname{ri} A$$) называется внутренность $$A$$ относительно $$\operatorname{aff} A$$. А именно, точка $$x_0 \in \operatorname{ri} A$$, если $$\exists ε > 0$$ такое, что
 
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
O(x_0, ε) \cap \operatorname{aff A} \subset A.
 
O(x_0, ε) \cap \operatorname{aff A} \subset A.
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
  
'''Теорема'''. Пусть множество $$A \subset \R^n$$ выпукло. Тогда его относительная внутрость $$\operatorname{ri} A$$ непуста.
+
'''Пример.''' Отрезок на плоскости имеет пустую внутренность, но его относительная внутренность — тот же отрезок без концов.
 +
 
 +
'''Теорема'''. Пусть множество $$A \subset \R^n$$ выпукло. Тогда его относительная внутренность $$\operatorname{ri} A$$ непуста.
  
 
'''Лемма 1'''. Пусть выпуклая функция $$f$$ не является собственной. Тогда
 
'''Лемма 1'''. Пусть выпуклая функция $$f$$ не является собственной. Тогда
Строка 132: Строка 132:
 
Иными словами, несобственная выпуклая функция бесконечна во всех точках, кроме, быть может, точек относительной границы своего эффективного множества.  
 
Иными словами, несобственная выпуклая функция бесконечна во всех точках, кроме, быть может, точек относительной границы своего эффективного множества.  
  
'''Лемма 2'''. Пусть $$f$$ - выпуклая функция и $$X \in \R^n$$. Тогда $$a \in \R^n$$, $$b \in \R$$ что:  
+
'''Лемма 2'''. Пусть $$f$$ выпуклая функция и $$X \in \R^n$$. Тогда $$a \in \R^n$$, $$b \in \R$$ что:  
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
f(x) \geqslant \langle a, x\rangle+b \; \forall x \in X.
 
f(x) \geqslant \langle a, x\rangle+b \; \forall x \in X.
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
  
'''Теорема (критерий выпуклости)'''. Пусть $$X$$ - евклидово пространство и функция $$f$$ дважды непрерывно дифференцируема на $$X$$. Тогда функция $$f$$ выпукла $$\Leftrightarrow $$ для $$\forall x \in X$$ выполняется:
+
'''Теорема (критерий выпуклости)'''. Пусть $$X$$ евклидово пространство и функция $$f$$ дважды непрерывно дифференцируема на $$X$$. Тогда функция $$f$$ выпуклая $$\Leftrightarrow $$ для $$\forall x \in X$$ выполняется:
 
\begin{gather}\label{eq3}
 
\begin{gather}\label{eq3}
 
\dfrac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} \geqslant 0 \;  
 
\dfrac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} \geqslant 0 \;  
Строка 143: Строка 143:
 
Здесь неотрицательность квадратичной формы $$Q = \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2}$$ означает, что $$\langle Qξ, ξ\rangle \geqslant 0 \forall ξ \in X $$.
 
Здесь неотрицательность квадратичной формы $$Q = \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2}$$ означает, что $$\langle Qξ, ξ\rangle \geqslant 0 \forall ξ \in X $$.
  
''Доказательство. Необходимость''. Обозначим $$ \dfrac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} = f''(x)$$. Предположим, функци $$f$$ выпукла. Фиксируем произвольные $$x, y \in X$$. В силу определения выпуклости $$\forall \lambda \in [0, 1]$$   
+
''Доказательство. Необходимость''. Обозначим $$ \dfrac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} = f''(x)$$. Предположим, функция $$f$$ выпукла. Фиксируем произвольные $$x, y \in X$$. В силу определения выпуклости $$\forall \lambda \in [0, 1]$$   
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leqslant \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y),
 
f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leqslant \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y),
Строка 159: Строка 159:
 
λf(x) \geqslant λf(y) + \langle f'(y + θ_λλ(x-y)), λ(x-y)\rangle.
 
λf(x) \geqslant λf(y) + \langle f'(y + θ_λλ(x-y)), λ(x-y)\rangle.
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
Делим обечасти неравенства на $$λ > 0$$, при $$\lambda \to 0+$$ имеем
+
Делим обе части неравенства на $$λ > 0$$, при $$\lambda \to 0+$$ имеем
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
f(x) \geqslant f(y) + \langle f'(y), x-y\rangle.
 
f(x) \geqslant f(y) + \langle f'(y), x-y\rangle.
Строка 167: Строка 167:
 
f(y) \geqslant f(x) + \langle f'(x), y-x\rangle.
 
f(y) \geqslant f(x) + \langle f'(x), y-x\rangle.
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
Складываем получаенные неравенства.  
+
Складываем полученные неравенства.  
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
\langle f'(y) - f'(x), y-x\rangle \geqslant 0 \; \forall x, y.
 
\langle f'(y) - f'(x), y-x\rangle \geqslant 0 \; \forall x, y.
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
Пусть $$y=x+\epsilon h$$ и $$\epsilon > 0$$. Повторяя рассуждения, основанные на применении [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 формулы конечных приращений Лагранжа], получаем, что для $$\forall \epsilon > 0$$ $$\exists \overline{θ_ε} \in [0,1]$$ такое, что
+
Пусть $$y=x+\varepsilon h$$ и $$\varepsilon > 0$$. Повторяя рассуждения, основанные на применении [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 формулы конечных приращений Лагранжа], получаем, что для $$\forall \varepsilon > 0$$ $$\exists \overline{θ_ε} \in [0,1]$$ такое, что
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
\langle f''(x + εh)εh, εh\rangle \geqslant 0.
 
\langle f''(x + εh)εh, εh\rangle \geqslant 0.
Строка 202: Строка 202:
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
  
 
+
'''Замечание'''. Обратное, в общем случае, неверно. Например, функция $$f(x) = -x^4$$ не выпукла на $$[-1, 1]$$, но её вторая производная в точке $$x = 0$$ равна 0.
''Замечание''. Обратное неверно. Например, функция $$f(x)=x^4$$ строго выпукла на $$[-1,1]$$, но её производная в точке $$x=0$$ равна нулю.
 
  
 
== Замкнутость, ограниченность, непрерывность и липшицевость выпуклых функций ==
 
== Замкнутость, ограниченность, непрерывность и липшицевость выпуклых функций ==
Будем считать, что $$X$$ - нормированное пространство. Функция $$f: X \to \overline{\R}$$ '''непрерывна в точке $$x_0 \in X$$''', если для любой сходящейся к ней последовательности $$\bigl\{x_i\bigr\}$$ имеет место $$f(x_i) \rightarrow f(x_0)$$ при $$i \rightarrow \infty$$.
+
'''Определение 6.''' Будем считать, что $$X$$ нормированное пространство. Функция $$f: X \to \overline{\R}$$ ''непрерывна в точке $$x_0 \in X$$'', если для любой сходящейся к ней последовательности $$\bigl\{x_i\bigr\}$$ имеет место $$f(x_i) \rightarrow f(x_0)$$ при $$i \rightarrow \infty$$.
  
Определенная на $$X$$ функция $$f$$ называется '''полунепрерывной снизу в точке $$x_0$$''', если $$\underline{\lim}_{x_i \rightarrow x_0} f(x_i) \geqslant f(x_0)$$. Функция  $$f$$ называется ''полунепрерывной сверху в точке $$x_0$$'', если функция $$-f$$ полунепрерывна снизу. Функция '''полунепрерывна снизу (сверху)''', если она полунепрерывна снизу (сверху) во всех точках.
+
'''Определение 7.''' Определенная на $$X$$ функция $$f$$ называется ''полунепрерывной снизу в точке $$x_0$$'', если $$\underline{\lim}_{x_i \rightarrow x_0} f(x_i) \geqslant f(x_0)$$. Функция  $$f$$ называется ''полунепрерывной сверху в точке $$x_0$$'', если функция $$-f$$ полунепрерывна снизу. Функция ''полунепрерывна снизу (сверху)'', если она полунепрерывна снизу (сверху) во всех точках.
  
Функция называется '''замкнутой''', если её надграфик замкнут.
+
'''Определение 8.''' Функция называется ''замкнутой'', если её надграфик замкнут.
  
'''Утв 1'''. Пусть $$f$$ - выпуклая собственная функция и $$X = \overline{\R}^n$$. Тогда её замыкание $$\operatorname{cl} f$$ также является собственной функцией.
+
'''Замечание'''. Пусть $$f$$ выпуклая собственная функция и $$X = \overline{\R}^n$$. Тогда её замыкание $$\operatorname{cl} f$$ также является собственной функцией.
  
 
=== Полунепрерывность снизу и замкнутость множества Лебега ===
 
=== Полунепрерывность снизу и замкнутость множества Лебега ===
  
'''Множеством Лебега''' назовем $$\mathcal{L}_a f = \{ x \in X | f(x) \leqslant a \}.$$
+
'''Определение 9.''' ''Множеством Лебега'' назовем $$\mathcal{L}_a f = \{ x \in X | f(x) \leqslant a \}.$$
  
'''Критерий полунепрерывности снизу'''. Функция $$f$$ полунепрерывна снизу $$\Leftrightarrow$$, когда для $$\forall a \in \R$$ ее множество Лебега $$\mathcal{L}_a f$$ замкнуто.
+
'''Теорема (критерий полунепрерывности снизу)'''. Функция $$f$$ полунепрерывна снизу $$\Leftrightarrow$$, когда для $$\forall a \in \R$$ ее множество Лебега $$\mathcal{L}_a f$$ замкнутое.
  
''Доказательство. Необходимость''. Пусть $$f$$ полунепрерывна снизу. Рассмотрим предельную точку $$x_0$$ $$\{x_k\} \ subset \mathcal{L}_a f$$. В силу полунепрерывности снизу имеем
+
''Доказательство. Необходимость''. Пусть $$f$$ полунепрерывна снизу. Рассмотрим предельную точку $$x_0$$ $$\{x_k\} \subset \mathcal{L}_a f$$. В силу полунепрерывности снизу имеем
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
f(x_0) \leqslant \underline{\lim}_{x_k \to x_0} f(x_k) \leqslant a \Rightarrow f(x_0) \leqslant a \Rightarrow x_0 \in \mathcal{L}_a f,
 
f(x_0) \leqslant \underline{\lim}_{x_k \to x_0} f(x_k) \leqslant a \Rightarrow f(x_0) \leqslant a \Rightarrow x_0 \in \mathcal{L}_a f,
Строка 231: Строка 230:
 
Выберем число $$a$$ так, что $$b<a<f(x_0)$$. Тогда $$x_k \in \mathcal{L}_a f$$ для всех достаточно больших $$k$$, откуда в силу замкнутости $$\mathcal{L}_a f$$ имеем $$x_0 \in \mathcal{L}_a f$$. Но по построению $$f(x_0)>a$$. Полученное противоречие завершает рассуждения.  
 
Выберем число $$a$$ так, что $$b<a<f(x_0)$$. Тогда $$x_k \in \mathcal{L}_a f$$ для всех достаточно больших $$k$$, откуда в силу замкнутости $$\mathcal{L}_a f$$ имеем $$x_0 \in \mathcal{L}_a f$$. Но по построению $$f(x_0)>a$$. Полученное противоречие завершает рассуждения.  
 
$$\blacksquare$$
 
$$\blacksquare$$
 
  
 
=== Замкнутость ===
 
=== Замкнутость ===
'''Критерий замкнутости'''. Для замкнутости функции необходимо и достаточно, чтобы она была полунепрерывна снизу.
+
'''Теорема (критерий замкнутости)'''. Для замкнутости функции необходимо и достаточно, чтобы она была полунепрерывна снизу.
  
 
''Доказательство. Необходимость.'' Пусть функция $$f$$ замкнута. Рассмотрим множество Лебега $$\mathcal{L}_a f$$ и лежащую в нем последовательность точек $$\{x_i\}$$, которая сходится к точке $$x_0$$. Тогда
 
''Доказательство. Необходимость.'' Пусть функция $$f$$ замкнута. Рассмотрим множество Лебега $$\mathcal{L}_a f$$ и лежащую в нем последовательность точек $$\{x_i\}$$, которая сходится к точке $$x_0$$. Тогда
Строка 255: Строка 253:
  
 
=== Полунепрерывность сверху ===
 
=== Полунепрерывность сверху ===
Множество $$M$$ будем называть ''симплектическим'', если его можно представить в виде объединения конечного числа [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81 симплексов] ($$n$$-мерных обобщений треугольника).
+
'''Определение 10.''' Множество $$M$$ будем называть ''симплектическим'', если его можно представить в виде объединения конечного числа [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81 симплексов] ($$n$$-мерных обобщений треугольника).
  
Пусть система векторов $$x_i \in \R^n, \; i = \overline{0, n}$$, аффинно независима, тогда любой вектор $$x \in \R^n$$ можно представить в виде $$x = \sum_{i=0}^n \alpha^ix_i, \; \sum_{i=0}^n \alpha^i = 1$$, причем это представление единственно. Числа $$\alpha^0,.. \alpha^n$$ называются ''барицентрическими координатами'' точки $$x$$ относительно системы $$x_0,...,x_n$$.
+
'''Определение 11.''' Пусть система векторов $$x_i \in \R^n, \; i = \overline{0, n}$$, аффинно независима, тогда любой вектор $$x \in \R^n$$ можно представить в виде $$x = \sum_{i=0}^n \alpha^ix_i, \; \sum_{i=0}^n \alpha^i = 1$$, причем это представление единственно. Числа $$\alpha^0,.. \alpha^n$$ называются ''барицентрическими координатами'' точки $$x$$ относительно системы $$x_0,...,x_n$$.
  
Пусть $$L=\{\alpha = (\alpha^0,.. \alpha^n) \in \R^{n+1}: \sum_{i=0}^n \alpha^i = 1\}$$ - линейное многообразие. Определим отображение $$\alpha: \R^n \to L$$, где $$\alpha(x)=(\alpha^0,.. \alpha^n)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%8B барицентрические координаты] точки $$x_i \in \R^n$$ относительно аффинно независимой системы $$x_0,...,x_n$$.
+
Пусть $$L=\{\alpha = (\alpha^0,.. \alpha^n) \in \R^{n+1}: \sum_{i=0}^n \alpha^i = 1\}$$ линейное многообразие. Определим отображение $$\alpha: \R^n \to L$$, где $$\alpha(x)=(\alpha^0,.. \alpha^n)$$ [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%8B барицентрические координаты] точки $$x_i \in \R^n$$ относительно аффинно независимой системы $$x_0,...,x_n$$.
  
'''Теорема 1'''. Отображение $$\alpha(\cdot)$$ непрерывно.
+
'''Теорема'''. Отображение $$\alpha(\cdot)$$ непрерывное.
  
'''Теорема о полунепрерывности сверху'''. Пусть $$f: \R^n \to \overline{\R}$$ - выпуклая функция и $$M \subset \operatorname{dom} f$$ - симплектическое множество. Тогда сужение $$f$$ на $$M$$ полунепрерывно сверху.
+
'''Теорема о полунепрерывности сверху'''. Пусть $$f: \R^n \to \overline{\R}$$ выпуклая функция и $$M \subset \operatorname{dom} f$$ симплектическое множество. Тогда сужение $$f$$ на $$M$$ полунепрерывно сверху.
 
То есть, если последовательность $$\{x+i\}$$ лежит во множестве $$M$$ и сходится к точке $$x_0$$, то верхний предел $$f(x_i)$$ не превышает $$f(x_0)$$.
 
То есть, если последовательность $$\{x+i\}$$ лежит во множестве $$M$$ и сходится к точке $$x_0$$, то верхний предел $$f(x_i)$$ не превышает $$f(x_0)$$.
  
Строка 272: Строка 270:
 
Не теряя общности считаем, что исходный симплекс $$M = \operatorname{conv}\{x_0,...,x_n\}$$. Для удобства $$x_0 = 0$$.
 
Не теряя общности считаем, что исходный симплекс $$M = \operatorname{conv}\{x_0,...,x_n\}$$. Для удобства $$x_0 = 0$$.
  
Произвольная точка $$x \in M$$ $$x = \sum_{i=0}^n \alpha^i(x)x_i$$, где $$\alpha(x) = (\alpha^0(x), ..., \alpha^n(x)))$$ - барицентрические координаты точки $$x$$. По теореме 1 отображение $$\alpha$$ непрерывно. Поэтому при $$x \to 0$$ имеет место $$\alpha^0(x) \to 1, \; \alpha^i(x) \to 0 \; i = 1,...,n$$. В силу выпуклости функции $$f$$ имеем
+
Произвольная точка $$x \in M$$ $$x = \sum_{i=0}^n \alpha^i(x)x_i$$, где $$\alpha(x) = (\alpha^0(x), ..., \alpha^n(x)))$$ барицентрические координаты точки $$x$$. По теореме 1 отображение $$\alpha$$ непрерывно. Поэтому при $$x \to 0$$ имеет место $$\alpha^0(x) \to 1, \; \alpha^i(x) \to 0 \; i = 1,...,n$$. В силу выпуклости функции $$f$$ имеем
  
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
Строка 283: Строка 281:
  
 
=== Непрерывность в окрестности точки ===
 
=== Непрерывность в окрестности точки ===
'''Теорема о полунепрерывности в окрестности точки'''.Пусть выпуклая собственная функция $$f: X \to \overline{\R}$$ ограничена сверху в некоторой окрестности заданной точки $$x_0$$. Тогда $$f$$ непрерывна в этой окрестности точки $$x_0$$.
+
'''Теорема о полунепрерывности в окрестности точки'''. Пусть выпуклая собственная функция $$f: X \to \overline{\R}$$ ограничена сверху в некоторой окрестности заданной точки $$x_0$$. Тогда $$f$$ непрерывна в этой окрестности точки $$x_0$$.
 +
 
 +
''Доказательство.'' Не ограничивая общности, считаем $$f(0) = 0$$, $$x_0$$. Выберем числа $$c>0$$ и $$\delta > 0$$ так, что $$f(x) \leq x$$ для $$\forall x \in Q = Q_{\delta}$$. Очевидно, $$Q=-Q$$.
 +
 
 +
Достаточно доказать, что для $$\forall \varepsilon > 0$$ имеет место $$|f(x)|\leq \varepsilon$$ для  $$\forall x \in V_{\varepsilon} = \frac{\varepsilon}{c}Q$$. Зафиксируем произвольное $$\varepsilon \in (0,c)$$ и положим $$V = V_{\varepsilon}$$. Очевидно, $$V = -V$$. В силу выпуклости $$f$$ имеем
 +
\begin{gather}
 +
x = \frac{\varepsilon}{c}\frac{c}{\varepsilon}x + \left(1-\frac{\varepsilon}{c}\right)0 \in V,
 +
\end{gather}
 +
\begin{gather}
 +
f(x) \leq \frac{\varepsilon}{c}f\left(\frac{c}{\varepsilon}x\right) + \left(1 - \frac{\varepsilon}{c}\right)f(0)
 +
\end{gather}
 +
\begin{gather}
 +
f(x) \leq \frac{\varepsilon}{c}f\left(\frac{c}{\varepsilon}x\right) \leq \frac{\varepsilon}{c} c \Longrightarrow f(x) \leq \varepsilon.
 +
\end{gather}
 +
Далее:
 +
\begin{gather}
 +
x \in V = -V = -\frac{\varepsilon}{c}Q \Longrightarrow \left(-x\frac{c}{\varepsilon} \right) \in Q,
 +
\end{gather}
 +
\begin{gather}
 +
0 = \frac{1}{1+\varepsilon/c}x + \frac{\varepsilon/c}{1+\varepsilon/c}\left(-x\frac{c}{\varepsilon} \right).
 +
\end{gather}
 +
Отсюда в силу выпуклости функции $$f$$ получаем
 +
\begin{gather}
 +
0 = f(0) \ leq \frac{1}{1+\varepsilon/c}f(x) + \frac{\varepsilon/c}{1+\varepsilon/c}f\left(-x\frac{c}{\varepsilon} \right) \leq \frac{1}{1+\varepsilon/c}f(x) + \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon/c} \Longrightarrow f(x) \geq \varepsilon.
 +
\end{gather}
 +
$$\blacksquare$$
 +
 
  
 
''' Следствие (липшицевость в окрестности)'''. Пусть для выпуклой собственной функции $$f: X \to \overline{\R}$$ и точки $$x_0 \in X$$ $$\exists c > 0$$, $$\delta >0$$, что $$f(x) \leqslant c$$ $$\forall x \in O(x_0, 2\delta)$$. Тогда на множестве $$O(x_0, 2\delta)$$ функция $$f$$ удовлетворяет условию Липшица с константой $$c$$:
 
''' Следствие (липшицевость в окрестности)'''. Пусть для выпуклой собственной функции $$f: X \to \overline{\R}$$ и точки $$x_0 \in X$$ $$\exists c > 0$$, $$\delta >0$$, что $$f(x) \leqslant c$$ $$\forall x \in O(x_0, 2\delta)$$. Тогда на множестве $$O(x_0, 2\delta)$$ функция $$f$$ удовлетворяет условию Липшица с константой $$c$$:
Строка 293: Строка 317:
 
''' Следствие'''. Пусть выпуклая собственная функция $$f: X \to \overline{\R}$$ ограничена сверху на некотором непустом открытом множестве. Тогда она непрерывна на множестве $$\operatorname{int}(\operatorname{dom f}) \not = \varnothing$$.
 
''' Следствие'''. Пусть выпуклая собственная функция $$f: X \to \overline{\R}$$ ограничена сверху на некотором непустом открытом множестве. Тогда она непрерывна на множестве $$\operatorname{int}(\operatorname{dom f}) \not = \varnothing$$.
  
$$\text{int A} -$$ [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C внутренность множества]$$A -$$ множество всех внутренних точек множества $$A$$.
+
$$\text{int A} $$[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C внутренность множества]$$A $$ множество всех внутренних точек множества $$A$$.
  
 
=== Теорема о липшицевости на выпуклом компакте ===
 
=== Теорема о липшицевости на выпуклом компакте ===
'''Лемма.''' Пусть $$f$$ выпукла, $$S$$ - выпуклый компакт, $$S \subset \operatorname{int}\operatorname{dom f}$$. Тогда $$\exists \varepsilon > 0$$ т.ч.
+
'''Лемма.''' Пусть $$f$$ выпукла, $$S$$ выпуклый компакт, $$S \subset \operatorname{int}\operatorname{dom f}$$. Тогда $$\exists \varepsilon > 0$$ т.ч.
 
\begin{gather}
 
\begin{gather}
 
\varepsilon B + S \subset \operatorname{int}\operatorname{dom f},
 
\varepsilon B + S \subset \operatorname{int}\operatorname{dom f},
 
\end{gather}
 
\end{gather}
где $$B$$ - единичный шар в $$X = R^n$$.
+
где $$B$$ единичный шар в $$X = R^n$$.
  
''Доказательство.'' От противного. Пусть $$\exists \{x_i\}:$$ $$x_i \in (B/i + S) \cap \overline{\operatorname{int}\operatorname{dom f}}.$$ Так как $$ (B/i + S)$$ - последовательность вложенных компактов, то $$x_i \longrightarrow x_0 \in S \cap \operatorname{int}\operatorname{dom f}.$$ Противоречие с условием  $$S \subset \operatorname{int}(\operatorname{dom f})$$.  
+
''Доказательство.'' От противного. Пусть $$\exists \{x_i\}:$$ $$x_i \in (B/i + S) \notin \operatorname{int}\operatorname{dom f}.$$ Так как $$ (B/i + S)$$ последовательность вложенных компактов, то последовательность $$\{x_i\}$$ ограничена. Переходя к подпоследовательности считаем $$x_i \rightarrow x_0$$. Очевидно $$x_0 \in S$$, $$x_0 \notin \operatorname{int}\operatorname{dom f}.$$ Противоречие с условием  $$S \subset \operatorname{int}(\operatorname{dom f})$$. Значит, такой $$\varepsilon$$ существует.
 +
$$\blacksquare$$
  
  
'''Теорема'''. Пусть $$f: \R^n \to \overline{\R}$$ - собственная выпуклая функция, $$S$$ - выпуклый компакт и $$S \subset \operatorname{int}(\operatorname{dom f})$$. Тогда на множестве $$S$$ функция $$f$$ удовлетворяет условию Липшица.
+
'''Теорема'''. Пусть $$f: \R^n \to \overline{\R}$$ собственная выпуклая функция, $$S$$ - выпуклый компакт и $$S \subset \operatorname{int}(\operatorname{dom f})$$. Тогда на множестве $$S$$ функция $$f$$ удовлетворяет условию Липшица.
  
 
''Доказательство.'' 1. Обозначим $$m = \min_{x \in B + S} f(x)$$, $$M = \max_{x \in B + S} f(x)$$. Эти величины существуют в силу $$f \in C(\operatorname{dom f})$$. $$\blacksquare$$
 
''Доказательство.'' 1. Обозначим $$m = \min_{x \in B + S} f(x)$$, $$M = \max_{x \in B + S} f(x)$$. Эти величины существуют в силу $$f \in C(\operatorname{dom f})$$. $$\blacksquare$$
Строка 316: Строка 341:
 
f(y) - f(x) \leqslant \lambda(f(z) - f(x)) = \frac{|y-x|(f(z)-f(x))}{|y-x|+\varepsilon} \leqslant \frac{|y-x|(M-m)}{|y-x|+\varepsilon}  \leqslant \frac{M-m}{\varepsilon}|y-x| = C|y-x|,
 
f(y) - f(x) \leqslant \lambda(f(z) - f(x)) = \frac{|y-x|(f(z)-f(x))}{|y-x|+\varepsilon} \leqslant \frac{|y-x|(M-m)}{|y-x|+\varepsilon}  \leqslant \frac{M-m}{\varepsilon}|y-x| = C|y-x|,
 
\end{gather}
 
\end{gather}
\left\{
+
Где $$C = (M-m)\varepsilon$$ константа Липшица. Таким образом, в силу произвольности точек $$x, y \in S$$ выражение  
Где $$C = (M-m)\varepsilon$$ - константа Липшица. Таким образом, в силу произвольности точек $$x, y \in S$$ выражение  
 
 
\begin{gather}
 
\begin{gather}
 
|f(x) - f(y)| \leqslant  C|x-y|
 
|f(x) - f(y)| \leqslant  C|x-y|

Текущая версия на 16:48, 19 декабря 2023

Пример выпуклой вниз функции с выпуклым надграфиком.
Пример выпуклой вверх функции с выпуклым подграфиком.
Пример невыпуклой функции с надграфиком и подграфиком.
Иллюстрация альтернативного определения выпуклой вниз функции.

Определение 1. Выпуклая (или выпуклая вниз) функция — функция $$f: X \to \overline{\R}$$, действующая из вещественного линейного пространства $$X \subset \overline{\mathbb{R}}$$ в вещественную расширенную прямую $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$, надграфик которой является выпуклым множеством.

Альтернативное определение 1. Функция $$f(x)$$, определенная на выпуклом множестве $$X \subset \overline{\mathbb{R}}$$, называется выпуклой, если для всех $$\alpha \in [0, 1]$$ выполняется неравенство: \begin{gather*} f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2)\leqslant \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2). \end{gather*}

Определение выпуклой, собственной функции

Пусть $$\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\}$$ — расширенная вещественная прямая, $$X \in \overline{\mathbb{R}}$$ — вещественное линейное пространство. С каждой функцией $$f: X \to \overline{\R}$$ можно связать множества \begin{gather*} \operatorname{epi} f \equiv \bigl\{(x,\alpha) \in X \times \overline{\R} \mid f(x) \leqslant \alpha\bigr\},\\ \operatorname{dom} f \equiv \bigl\{x \in X \mid f(x) \leqslant +\infty\bigr\}, \end{gather*} называемые соответственно надграфиком функции $$f$$ и её эффективным множеством.


Определение 2. Функция $$f$$ называется выпуклой (строго выпуклой), если ее надграфик $$\operatorname{epi} f$$ является (строго выпуклым), выпуклым множеством. Функция $$f$$ называется вогнутой или выпуклой вверх (строго вогнутой), если функция $$(−f)$$ является выпуклой (строго выпуклой).

Определение 3. Функция $$f$$ называется собственной, если $$\operatorname{dom} f \not= \varnothing$$ и $$f(x) > -\infty$$ для $$\forall x$$. Функция, не являющаяся собственной, называется несобственной.

Критерии выпуклости функции

Неравенство Йенсена

Теорема (необходимое и достаточное условие выпуклости). Собственная функция $$f$$ является выпуклой $$\Leftrightarrow $$ для $$\forall \alpha \in [0,1]$$, $$\forall x_1, x_2$$ выполняется: \begin{gather}\label{eq1} f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \leqslant \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2). \end{gather} Если это неравенство является строгим для $$\forall \alpha \in (0,1)$$ и $$x_1 \neq x_2$$, функция строго выпуклая; если выполняется обратное неравенство, функция вогнутая.

Теорема (неравенство Йенсена). Равенство $$\eqref{eq1}$$, а значит, и выпуклость собственной функции $$f$$, равносильны тому, что для $$\forall n \in \N$$ имеет место неравенство: \begin{gather}\label{eq2} f\Big(\sum_{i=1}^n\alpha_i x_i\Big) \leqslant \sum_{i=1}^n\alpha_i f(x_i) \; \forall (\alpha_1,..., \alpha_n): \: \sum_{i=1}^n\alpha_i = 1, \: \alpha_i \geqslant 0, \end{gather} для любых точек $$x_1, ..., x_n$$.

Доказательство. Докажем по индукции.

1. База при $$n = 2$$ верна в силу $$\eqref{eq1}$$.

2. Пусть это верно для $$n$$. Докажем, что это верно для $$n + 1$$.

По условию $$\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k = 1$$. Обозначим $$s_n =\sum_{k=1}^{n}\alpha_k$$.

$$\beta_k = \alpha_k/s_n$$. Тогда $$\sum_{k=1}^{n}\beta_k = \dfrac{1}{s_n}\sum_{k=1}^{n}\alpha_k = \dfrac{s_n}{s_n} = 1$$.

\begin{gather*} \sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k f(x_k) = s_n \sum_{k=1}^{n}\beta_k f(x_k) + \alpha_{n+1}f(x_{n+1}) \leqslant \text{(по предположению индукции)}\leqslant \\ \leqslant s_n f \left( \sum_{k=1}^{n}\beta_k x_k \right) + \alpha_{n+1}f(x_{n+1}) \leqslant \text{(так как } s_n + \alpha_{n+1} ) \leqslant f \left( \sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k x_k \right) \end{gather*} $$\blacksquare$$

Следствие. Из $$\eqref{eq2}$$ вытекает, что эффективное множество выпуклой функции выпукло.


Лемма. Пусть $$X$$ — нормированное пространство, функция $$f: X \to \R$$, непрерывна и \begin{gather*} f \left( \dfrac{x+y}{2} \right) \leqslant \frac{f \left( x \right) + f \left( y \right)}{2} \end{gather*} $$\forall x, y \in X$$, т. е. неравенство Йенсена выполняется лишь при $$\alpha = 1/2$$. Тогда функция $$f$$ выпукла.

Доказательство. Докажем по индукции по $$k$$, что для $$\forall \alpha = \dfrac{m}{2^k}\in (0,1)$$ выполняется неравенство Йенсена $$f(\alpha x + (1- \alpha)y) \leqslant \alpha f(x) + (1-\alpha) f(y)$$.

1. База индукции при $$k=2$$. Подставим $$\alpha_1 = 3/4$$ и $$\alpha_2 = 1/4$$ в неравенство Йенсена $$\eqref{eq2}$$. \begin{gather*} f \left( \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}y \right) \leqslant \dfrac{1}{2}\left( f(x) + f \left( \dfrac{x+y}{2} \right)\right) \leqslant \dfrac{3}{4} f(x) + \dfrac{1}{4} f(y). \end{gather*} Аналогично выполняется для $$\alpha_1 = 1/4$$ и $$\alpha_2 = 3/4$$: \begin{gather*} f \left( \dfrac{1}{4}x + \dfrac{3}{4}y \right) \leqslant \dfrac{1}{4} f(x) + \dfrac{3}{4} f(y). \end{gather*}

2. Пусть неравенство верно для $$\alpha_1, \alpha_2 \in (0,1)$$. Тогда \begin{gather*} f \left( \dfrac{1}{2}( \alpha_1 x + (1 - \alpha_1)y + \alpha_2 x + (1 - \alpha_2)y)\right) \leqslant \dfrac{1}{2}\left( f(\alpha_1 x + (1 - \alpha_1)y) + f(\alpha_2 x + (1-\alpha_2)y \right) \leqslant \\ \leqslant \dfrac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}f(x) + \dfrac{(1-\alpha_1) + (1-\alpha_2)}{2} f(y). \end{gather*}

3. Докажем, что функция $$f$$ выпукла, т. е. неравенство Йенсена выполняется для произвольных $$\alpha, \beta \in [0, 1]$$, $$\alpha + \beta = 1$$. Выберем $$\{\alpha_n, \beta_n\}$$ вида $$\alpha_n = \dfrac{m}{2^k}$$ так, что $$\{\alpha_n, \beta_n\} \to \{\alpha, \beta\}$$ при $$n \to \infty$$. Из непрерывности $$f$$ следует $$f(\alpha_n x + \beta_n y) \to f(\alpha x + \beta y)$$ при $$n \to \infty$$.

В силу доказанного в п. 2 для $$\forall n$$: \begin{gather*} f ( \alpha_n x + \beta_n y) \leqslant \alpha_n f(x) + \beta_n f(y). \end{gather*}

В силу произвольности $$n$$ при $$n \to\infty$$ получаем \begin{gather*} f ( \alpha x + \beta y) \leqslant \alpha f(x) + \beta f(y). \end{gather*} $$\blacksquare$$

Замечание 1. Если функция (не обязательно собственная) выпукла, то $$\eqref{eq2}$$ выполняется для любого набора точек $$x_1,...,x_n$$, для которых $$-\infty < f(x_i) < +\infty$$, $$i = \overline{1, n}$$.

Замечание 2. Если функции $$f$$, $$g$$ выпуклы, то любая их линейная комбинация $$af+bg$$ с положительными коэффициентами $$a, b \in \R$$ также выпукла.

Замечание 3. Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).

Далее считаем, что $$X$$ — нормированное пространство.

Критерий выпуклости

Определение 4. Аффинной оболочкой множества $$A \subset X$$ ($$\operatorname{aff} A$$) называется множество всевозможных аффинных комбинаций точек из $$A$$, то есть \begin{gather*} \operatorname{aff} A = \left\{ x: x = \sum_{i = 1}^n \alpha_i x_i \left| n \in \N, \; \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1, \; x_i \in A \right. \right\}. \end{gather*}

Определение 5. Пусть $$X$$ — нормированное пространство, и $$A \subset X$$. Относительной внутренностью выпуклого множества $$A$$ ($$\operatorname{ri} A$$) называется внутренность $$A$$ относительно $$\operatorname{aff} A$$. А именно, точка $$x_0 \in \operatorname{ri} A$$, если $$\exists ε > 0$$ такое, что \begin{gather*} O(x_0, ε) \cap \operatorname{aff A} \subset A. \end{gather*}

Пример. Отрезок на плоскости имеет пустую внутренность, но его относительная внутренность — тот же отрезок без концов.

Теорема. Пусть множество $$A \subset \R^n$$ выпукло. Тогда его относительная внутренность $$\operatorname{ri} A$$ непуста.

Лемма 1. Пусть выпуклая функция $$f$$ не является собственной. Тогда \begin{gather*} f(x) = - \infty \; \forall x \in \operatorname{ri}(\operatorname{dom}f). \end{gather*} Иными словами, несобственная выпуклая функция бесконечна во всех точках, кроме, быть может, точек относительной границы своего эффективного множества.

Лемма 2. Пусть $$f$$ — выпуклая функция и $$X \in \R^n$$. Тогда $$a \in \R^n$$, $$b \in \R$$ что: \begin{gather*} f(x) \geqslant \langle a, x\rangle+b \; \forall x \in X. \end{gather*}

Теорема (критерий выпуклости). Пусть $$X$$ — евклидово пространство и функция $$f$$ дважды непрерывно дифференцируема на $$X$$. Тогда функция $$f$$ выпуклая $$\Leftrightarrow $$ для $$\forall x \in X$$ выполняется: \begin{gather}\label{eq3} \dfrac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} \geqslant 0 \; \end{gather} Здесь неотрицательность квадратичной формы $$Q = \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2}$$ означает, что $$\langle Qξ, ξ\rangle \geqslant 0 \forall ξ \in X $$.

Доказательство. Необходимость. Обозначим $$ \dfrac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} = f''(x)$$. Предположим, функция $$f$$ выпукла. Фиксируем произвольные $$x, y \in X$$. В силу определения выпуклости $$\forall \lambda \in [0, 1]$$ \begin{gather*} f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leqslant \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y), \end{gather*} откуда \begin{gather}\label{eq4} \lambda f(x) \geqslant \lambda f(y) + [f(y + \lambda(x-y)) - f(y)]. \end{gather} Для каждого фиксированного $$\lambda \in [0, 1]$$ определим скалярную функцию $$φ_{\lambda} : [0, 1] \to \R$$ по формуле $$φ_{\lambda}(θ) = f(y + θλ(x-y))$$. По формуле конечных приращений Лагранжа $$\forall \lambda \in [0, 1]$$ $$\exists θ_λ \in [0,1]$$, такое, что $$φ_{\lambda}(1) - φ_{\lambda}(0) = φ_{\lambda}'(θ_λ)$$. Поэтому, вычисляя производную $$φ_{\lambda}$$ как производную сложной функции, получаем \begin{gather*} f(y + λ(x-y)) - f(y) = \langle f'(y + θ_λλ(x-y)), λ(x-y)\rangle. \end{gather*} Подставляя это выражение в неравенство $$\eqref{eq4}$$, получаем $$\forall \in [0, 1]$$ $$\exists θ_λ \in [0,1]$$: \begin{gather*} λf(x) \geqslant λf(y) + \langle f'(y + θ_λλ(x-y)), λ(x-y)\rangle. \end{gather*} Делим обе части неравенства на $$λ > 0$$, при $$\lambda \to 0+$$ имеем \begin{gather*} f(x) \geqslant f(y) + \langle f'(y), x-y\rangle. \end{gather*} Меняем $$x$$ и $$y$$ местами, получаем \begin{gather*} f(y) \geqslant f(x) + \langle f'(x), y-x\rangle. \end{gather*} Складываем полученные неравенства. \begin{gather*} \langle f'(y) - f'(x), y-x\rangle \geqslant 0 \; \forall x, y. \end{gather*} Пусть $$y=x+\varepsilon h$$ и $$\varepsilon > 0$$. Повторяя рассуждения, основанные на применении формулы конечных приращений Лагранжа, получаем, что для $$\forall \varepsilon > 0$$ $$\exists \overline{θ_ε} \in [0,1]$$ такое, что \begin{gather*} \langle f''(x + εh)εh, εh\rangle \geqslant 0. \end{gather*} Делим обе части этого равенства на $$ε^2 > 0$$ при $$ε \to 0+$$ получаем $$\langle f''(x)h, h\rangle \geqslant 0$$ $$\forall h \in X$$, что и доказывает $$\eqref{eq3}$$, Достаточность. Пусть выполняется $$\eqref{eq3}$$. Зафиксируем произвольные $$x, y \in X$$. Рассматриваем скалярную функцию $$φ(\alpha) = \langle f'(x + \alpha(y-x)), y-x\rangle$$, $$\alpha \in [0,1]$$. Применяя к этой функции формулу конечных приращений Лагранжа, получаем, что $$\exists θ \in [0, 1]$$, что \begin{gather*} \langle f'(y) - f'(x), y-x\rangle = \langle f''(x + θ(y-x))(y-x) - f'(x), y-x\rangle\geqslant 0. \end{gather*} Пусть $$\lambda \in [0, 1]$$. Положим $$z = \lambda x + (1- \lambda)y$$. Тогда $$x-z = (1-\lambda)(x-y)$$, $$y-z = \lambda(y-x)$$. В силу формулы Ньютона - Лейбница имеем \begin{gather*} λf(x) + (1-λ)f(y) - f(λx + (1-λ)y) = λ(f*x( - f(z)) + (1-λ)(f(y) - f(z)) = \\ = λ \int_0^1 \langle f'(z + t(x-z)), x-z\rangle dt + (1-λ)\int_0^1 \langle f'(z + t(y-z)), y-z\rangle dt = \\ = λ(1-λ)\int_0^1 \langle f'(z + t(x-z)) - f'(z + t(y-z)), x-y\rangle dt. \end{gather*} Сделаем замену $$u = z + t(x-z)$$, $$v = z+t(y-z)$$. В силу $$\eqref{eq3}$$ \begin{gather*} \langle f'(u) - f'(v), u-v\rangle \geqslant 0. \end{gather*} Отсюда получаем: \begin{gather*} \langle f'(z+t(x-z)) - f'(z + t(y-z)), x-y\rangle = \geqslant 0 \; \forall t \in [0,1] \end{gather*} и, следовательно, $$λf(x) + (1-λ)f(y) - f(λx + (1-λ)y) \geqslant 0$$, что завершает доказательство выпуклости функции $$f$$. $$\blacksquare$$

Следствие. Если функция $$f$$ выпукла и дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки $$x_0 \in X$$, то \begin{gather*} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0) \geqslant 0. \end{gather*}

Замечание. Обратное, в общем случае, неверно. Например, функция $$f(x) = -x^4$$ не выпукла на $$[-1, 1]$$, но её вторая производная в точке $$x = 0$$ равна 0.

Замкнутость, ограниченность, непрерывность и липшицевость выпуклых функций

Определение 6. Будем считать, что $$X$$ — нормированное пространство. Функция $$f: X \to \overline{\R}$$ непрерывна в точке $$x_0 \in X$$, если для любой сходящейся к ней последовательности $$\bigl\{x_i\bigr\}$$ имеет место $$f(x_i) \rightarrow f(x_0)$$ при $$i \rightarrow \infty$$.

Определение 7. Определенная на $$X$$ функция $$f$$ называется полунепрерывной снизу в точке $$x_0$$, если $$\underline{\lim}_{x_i \rightarrow x_0} f(x_i) \geqslant f(x_0)$$. Функция $$f$$ называется полунепрерывной сверху в точке $$x_0$$, если функция $$-f$$ полунепрерывна снизу. Функция полунепрерывна снизу (сверху), если она полунепрерывна снизу (сверху) во всех точках.

Определение 8. Функция называется замкнутой, если её надграфик замкнут.

Замечание. Пусть $$f$$ — выпуклая собственная функция и $$X = \overline{\R}^n$$. Тогда её замыкание $$\operatorname{cl} f$$ также является собственной функцией.

Полунепрерывность снизу и замкнутость множества Лебега

Определение 9. Множеством Лебега назовем $$\mathcal{L}_a f = \{ x \in X | f(x) \leqslant a \}.$$

Теорема (критерий полунепрерывности снизу). Функция $$f$$ полунепрерывна снизу $$\Leftrightarrow$$, когда для $$\forall a \in \R$$ ее множество Лебега $$\mathcal{L}_a f$$ замкнутое.

Доказательство. Необходимость. Пусть $$f$$ полунепрерывна снизу. Рассмотрим предельную точку $$x_0$$ $$\{x_k\} \subset \mathcal{L}_a f$$. В силу полунепрерывности снизу имеем \begin{gather*} f(x_0) \leqslant \underline{\lim}_{x_k \to x_0} f(x_k) \leqslant a \Rightarrow f(x_0) \leqslant a \Rightarrow x_0 \in \mathcal{L}_a f, \end{gather*} что доказывает замкнутость множества Лебега $$\mathcal{L}_a f$$. Достаточность. Докажем от противного. Предположим $$\exists x_0$$, в которой функция $$f$$ не является полунепрерывной снизу. Тогда $$\{x_k\} \to x_0$$, что \begin{gather*} b = \lim_{x_k \to x_0}f(x_k) < f(x_0). \end{gather*} Выберем число $$a$$ так, что $$b<a<f(x_0)$$. Тогда $$x_k \in \mathcal{L}_a f$$ для всех достаточно больших $$k$$, откуда в силу замкнутости $$\mathcal{L}_a f$$ имеем $$x_0 \in \mathcal{L}_a f$$. Но по построению $$f(x_0)>a$$. Полученное противоречие завершает рассуждения. $$\blacksquare$$

Замкнутость

Теорема (критерий замкнутости). Для замкнутости функции необходимо и достаточно, чтобы она была полунепрерывна снизу.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция $$f$$ замкнута. Рассмотрим множество Лебега $$\mathcal{L}_a f$$ и лежащую в нем последовательность точек $$\{x_i\}$$, которая сходится к точке $$x_0$$. Тогда \begin{gather*} f(x_i) a \Rightarrow (x_i, a) \in \operatorname{epi} f, \; (x_i, a) \to (x_0, a). \end{gather*} Из определения замкнутости $$f$$ следует, что $$(x_0,a) \in \operatorname{epi} f \Rightarrow f(x_0) \leqslant a \Rightarrow x_0 \in \mathcal{L}_a f$$. Таким образом, доказано, что все множества Лебега функции $$f$$ замкнуты, откуда вытекает, что она полунепрерывна снизу. Достаточность. Пусть функция $$f$$ полунепрерывна снизу. Рассмотрим последовательность точек $$(x_i, a_i) \in \operatorname{epi} f$$, и пусть $$(x_i, a_i) \to (x_0, a_0)$$, $$i \to \infty$$. Для доказательства замкнутости функции $$f$$ нужно показать, что $$(x_0, a_0) \in \operatorname{epi} f$$. Докажем от противного, т.е. что $$(x_, a_0) \not \in \operatorname{epi} f$$. Тогда $$f(x_0)>a_0$$.

Выберем число γ такое, что $$a_0 < γ< f(x_0)$$. Тогда $$x_0 \not\in \mathcal{L}_γ f$$ и, значит, $$\existsε>0$$ такое, что $$O(x_0, ε)\cap\mathcal{L}_γ f = \varnothing$$, поскольку множества Лебега полунепрерывной снизу функции замкнуты. Поэтому для всех достаточно больших $$i$$ имеем $$x_i \not\in \mathcal{L}_γ f$$, откуда $$f(x_i)>γ$$. Поскольку $$γ>a_0$$, неравенство $$f(x_i)>a_i$$ справедливо для всех достаточно больших $$i$$, а это противоречит тому, что $$(x_0, a_0) \in \operatorname{epi} f$$. $$\blacksquare$$

Замечание. Мы показали, что следующие 3 свойства функции равносильны:

1. полунепрепрерывность снизу,

2. замкнутость всех её множеств Лебега,

3. замкнутость самой функции.

Полунепрерывность сверху

Определение 10. Множество $$M$$ будем называть симплектическим, если его можно представить в виде объединения конечного числа симплексов ($$n$$-мерных обобщений треугольника).

Определение 11. Пусть система векторов $$x_i \in \R^n, \; i = \overline{0, n}$$, аффинно независима, тогда любой вектор $$x \in \R^n$$ можно представить в виде $$x = \sum_{i=0}^n \alpha^ix_i, \; \sum_{i=0}^n \alpha^i = 1$$, причем это представление единственно. Числа $$\alpha^0,.. \alpha^n$$ называются барицентрическими координатами точки $$x$$ относительно системы $$x_0,...,x_n$$.

Пусть $$L=\{\alpha = (\alpha^0,.. \alpha^n) \in \R^{n+1}: \sum_{i=0}^n \alpha^i = 1\}$$ — линейное многообразие. Определим отображение $$\alpha: \R^n \to L$$, где $$\alpha(x)=(\alpha^0,.. \alpha^n)$$ — барицентрические координаты точки $$x_i \in \R^n$$ относительно аффинно независимой системы $$x_0,...,x_n$$.

Теорема. Отображение $$\alpha(\cdot)$$ непрерывное.

Теорема о полунепрерывности сверху. Пусть $$f: \R^n \to \overline{\R}$$ — выпуклая функция и $$M \subset \operatorname{dom} f$$ — симплектическое множество. Тогда сужение $$f$$ на $$M$$ полунепрерывно сверху. То есть, если последовательность $$\{x+i\}$$ лежит во множестве $$M$$ и сходится к точке $$x_0$$, то верхний предел $$f(x_i)$$ не превышает $$f(x_0)$$.

Доказательство. Достаточно рассмотреть только случай, когда само $$M$$ является $$n$$-мерным симплексом. Возьмем точку $$x_0 \in M$$ и докажем, что сужение $$f$$ полунепрерывно сверху в этой точке.

Осуществим барицентрическое подразделение (триангуляцию) симплекса $$M$$ следующим образом. Возьмем какую-нибудь $$(n-1)$$-мерную грань $$Γ_i$$ симплекса $$M$$ (т.е. выпуклую оболочку его $$n$$ вершин) и положим $$M_i = \operatorname{conv}(Γ_i \cup \{x_0\})$$. Таким образом, исходный симплекс представим в виде объединения $$(n+1)$$ симплексов $$M_i$$, у каждого из которых $$x_0$$ является вершиной, и нам достаточно доказать, что $$f$$ полунепрерывна сверху на $$\forall Mi$$.

Не теряя общности считаем, что исходный симплекс $$M = \operatorname{conv}\{x_0,...,x_n\}$$. Для удобства $$x_0 = 0$$.

Произвольная точка $$x \in M$$ $$x = \sum_{i=0}^n \alpha^i(x)x_i$$, где $$\alpha(x) = (\alpha^0(x), ..., \alpha^n(x)))$$ — барицентрические координаты точки $$x$$. По теореме 1 отображение $$\alpha$$ непрерывно. Поэтому при $$x \to 0$$ имеет место $$\alpha^0(x) \to 1, \; \alpha^i(x) \to 0 \; i = 1,...,n$$. В силу выпуклости функции $$f$$ имеем

\begin{gather*} f(x_i) = f \bigl(\sum_{i=0}^n \alpha^i(x)x_i\bigr) \leqslant \sum_{i=0}^n \alpha^i(x)f(x_i) = \alpha^0(x)f(0) + \sum_{i=1}^n \alpha^i(x)f(x_i), \end{gather*} где, с учетом принятого соглашения, для тех номеров $$i$$, для которых $$\alpha^i(x) = 0, \; f(x_i) = -\infty$$, мы полагаем $$\alpha^i(x)f(x_i)=0$$. Из полученного неравенства заключаем, что верхний предел функции $$f$$ при $$x \to 0, \; x \in M$$ не превышает $$f(0)$$, что завершает доказательство полунепрерывности сверху сужения $$f$$ на $$M$$ в точке $$x_0$$. $$\blacksquare$$


Непрерывность в окрестности точки

Теорема о полунепрерывности в окрестности точки. Пусть выпуклая собственная функция $$f: X \to \overline{\R}$$ ограничена сверху в некоторой окрестности заданной точки $$x_0$$. Тогда $$f$$ непрерывна в этой окрестности точки $$x_0$$.

Доказательство. Не ограничивая общности, считаем $$f(0) = 0$$, $$x_0$$. Выберем числа $$c>0$$ и $$\delta > 0$$ так, что $$f(x) \leq x$$ для $$\forall x \in Q = Q_{\delta}$$. Очевидно, $$Q=-Q$$.

Достаточно доказать, что для $$\forall \varepsilon > 0$$ имеет место $$|f(x)|\leq \varepsilon$$ для $$\forall x \in V_{\varepsilon} = \frac{\varepsilon}{c}Q$$. Зафиксируем произвольное $$\varepsilon \in (0,c)$$ и положим $$V = V_{\varepsilon}$$. Очевидно, $$V = -V$$. В силу выпуклости $$f$$ имеем \begin{gather} x = \frac{\varepsilon}{c}\frac{c}{\varepsilon}x + \left(1-\frac{\varepsilon}{c}\right)0 \in V, \end{gather} \begin{gather} f(x) \leq \frac{\varepsilon}{c}f\left(\frac{c}{\varepsilon}x\right) + \left(1 - \frac{\varepsilon}{c}\right)f(0) \end{gather} \begin{gather} f(x) \leq \frac{\varepsilon}{c}f\left(\frac{c}{\varepsilon}x\right) \leq \frac{\varepsilon}{c} c \Longrightarrow f(x) \leq \varepsilon. \end{gather} Далее: \begin{gather} x \in V = -V = -\frac{\varepsilon}{c}Q \Longrightarrow \left(-x\frac{c}{\varepsilon} \right) \in Q, \end{gather} \begin{gather} 0 = \frac{1}{1+\varepsilon/c}x + \frac{\varepsilon/c}{1+\varepsilon/c}\left(-x\frac{c}{\varepsilon} \right). \end{gather} Отсюда в силу выпуклости функции $$f$$ получаем \begin{gather} 0 = f(0) \ leq \frac{1}{1+\varepsilon/c}f(x) + \frac{\varepsilon/c}{1+\varepsilon/c}f\left(-x\frac{c}{\varepsilon} \right) \leq \frac{1}{1+\varepsilon/c}f(x) + \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon/c} \Longrightarrow f(x) \geq \varepsilon. \end{gather} $$\blacksquare$$


Следствие (липшицевость в окрестности). Пусть для выпуклой собственной функции $$f: X \to \overline{\R}$$ и точки $$x_0 \in X$$ $$\exists c > 0$$, $$\delta >0$$, что $$f(x) \leqslant c$$ $$\forall x \in O(x_0, 2\delta)$$. Тогда на множестве $$O(x_0, 2\delta)$$ функция $$f$$ удовлетворяет условию Липшица с константой $$c$$: окрестности точки $$x_0 \in X$$, то \begin{gather} \mid f(x_2) - f(x_1)\mid \leqslant c \mid \mid x_2 - x_1 \mid \mid \; \forall x_1, x_2 \in O(x_0, \delta). \end{gather}

Следствие. Пусть выпуклая собственная функция $$f: X \to \overline{\R}$$ ограничена сверху на некотором непустом открытом множестве. Тогда она непрерывна на множестве $$\operatorname{int}(\operatorname{dom f}) \not = \varnothing$$.

$$\text{int A} $$— внутренность множества$$A $$ множество всех внутренних точек множества $$A$$.

Теорема о липшицевости на выпуклом компакте

Лемма. Пусть $$f$$ выпукла, $$S$$ — выпуклый компакт, $$S \subset \operatorname{int}\operatorname{dom f}$$. Тогда $$\exists \varepsilon > 0$$ т.ч. \begin{gather} \varepsilon B + S \subset \operatorname{int}\operatorname{dom f}, \end{gather} где $$B$$ — единичный шар в $$X = R^n$$.

Доказательство. От противного. Пусть $$\exists \{x_i\}:$$ $$x_i \in (B/i + S) \notin \operatorname{int}\operatorname{dom f}.$$ Так как $$ (B/i + S)$$ — последовательность вложенных компактов, то последовательность $$\{x_i\}$$ ограничена. Переходя к подпоследовательности считаем $$x_i \rightarrow x_0$$. Очевидно $$x_0 \in S$$, $$x_0 \notin \operatorname{int}\operatorname{dom f}.$$ Противоречие с условием $$S \subset \operatorname{int}(\operatorname{dom f})$$. Значит, такой $$\varepsilon$$ существует. $$\blacksquare$$


Теорема. Пусть $$f: \R^n \to \overline{\R}$$ — собственная выпуклая функция, $$S$$ - выпуклый компакт и $$S \subset \operatorname{int}(\operatorname{dom f})$$. Тогда на множестве $$S$$ функция $$f$$ удовлетворяет условию Липшица.

Доказательство. 1. Обозначим $$m = \min_{x \in B + S} f(x)$$, $$M = \max_{x \in B + S} f(x)$$. Эти величины существуют в силу $$f \in C(\operatorname{dom f})$$. $$\blacksquare$$

2. $$\forall x, y \in S$$ положим $$z = y + \varepsilon(y-x)/|y-x|$$. Значит, $$z \in S + \varepsilon B$$. Выражая $$y$$, получим $$y = (1-\lambda)x + \lambda z$$, где $$\lambda = |y-x|/(|y-x| + \varepsilon) = 1 - \varepsilon/(|y-x| + \varepsilon) < 1.$$

3. В силу выпуклости $$f$$: \begin{gather} f(y) \leqslant (1-\lambda)f(x) + \lambda f(z) = f(x) + \lambda (f(z) - f(x)) \\ f(y) - f(x) \leqslant \lambda(f(z) - f(x)) = \frac{|y-x|(f(z)-f(x))}{|y-x|+\varepsilon} \leqslant \frac{|y-x|(M-m)}{|y-x|+\varepsilon} \leqslant \frac{M-m}{\varepsilon}|y-x| = C|y-x|, \end{gather} Где $$C = (M-m)\varepsilon$$ — константа Липшица. Таким образом, в силу произвольности точек $$x, y \in S$$ выражение \begin{gather} |f(x) - f(y)| \leqslant C|x-y| \end{gather} выполняется всегда. $$\blacksquare$$

Список литературы

1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004;

2. Фих­тен­гольц Г. М. "Курс диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния." 8-е изд. М.; СПб., 2001;

3. Иль­ин В. А., По­зняк Э. Г. "Ос­но­вы ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за." 6-е изд. М., 2001. Т. 1.