Лемма о перестановке интеграла и супремума: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 1: Строка 1:
  
Условия перестановки интеграла и супремума складываются в лемму, которая возникает в [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F задаче быстродействия] (т.е. поиска управления, оптимального по времени) и применяется для облегчения расчета [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F опорной функции] множества достижимости.
+
Условия перестановки интеграла и супремума складываются в лемму, которая возникает в [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F задаче быстродействия] (т.е. поиска управления, оптимального по времени) и применяется для облегчения расчета [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0 опорной функции] множества достижимости.
  
 
== Задача быстродействия ==
 
== Задача быстродействия ==
Строка 50: Строка 50:
  
 
== Формулировка леммы о перестановке интеграла и супремума ==
 
== Формулировка леммы о перестановке интеграла и супремума ==
 
+
Пусть рассматривается задача быстродействия (\ref(main_sys)). Тогда справедливо тождество:
 +
\[\sup\limits_{u(\cdot)}\left[ \int\limits^{t_1}_{t_0} \langle s(\tau),\,u(\tau) \rangle d\tau\right] = \int\limits^{t_1}_{t_0}\left[\sup\limits_{u \in \mathcal{P}} \langle s(\tau),\,u \rangle\right] d\tau\]
  
  

Версия 11:12, 29 ноября 2021

Условия перестановки интеграла и супремума складываются в лемму, которая возникает в задаче быстродействия (т.е. поиска управления, оптимального по времени) и применяется для облегчения расчета опорной функции множества достижимости.

Задача быстродействия

Тип задач оптимального управления, заключающегося в переводе системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, за минимальное время.

Пусть наша система описывается следующими условиями:

\[ \left\{\begin{aligned} & \dot{x} = A(t)x(t) + B(t)u(t)+f(t), \\ & x(t_0) = x^0, \\ & x(t_1) = x^1, \\ & u(\tau) \in \mathcal{P} \in \textit{conv}R^m, \\ & t_1 - t_0 \longrightarrow \text{inf}, \end{aligned}\right. \label{main_sys} \]

где $$ x^0,\,x^1,\,t_0 $$ - фиксированы, $$ A(t),\,B(t),\,f(t) $$ - непрерывны, а $$ \mathcal{P} $$ непрерывно, как многозначное отображение (это требование гарантирует нам непрерывность опорной функции $$ \mathcal{\rho(l|\mathcal{P}(\tau))} $$ по $$ \tau $$ для любого $$ l $$).

Множество достижимости

Введем множество достижимости $$ \mathcal{X}[t_1] $$:

\[ \mathcal{X}[t_1] = \mathcal{X}(t_1,t_0,x^0) = \{x = x(t_1,t_0,x^0\,|\,u(\cdot)), u(\tau) \in \mathcal{P}\}. \]

Обозначение $$ \mathcal{X}[t_1] $$ означает, что в данный момент нам интересна зависимость $$ \mathcal{X} $$ только от переменной $$ t_1 $$, хотя в общем случае значение $$ \mathcal{X} $$ зависит от большего числа переменных.

Введем также трубку достижимости (функцию, отображающую время на соответствующее множество достижимости) как $$ \mathcal{X}[\cdot] $$. Ее графиком будем называть множество:

\[ \mathcal{X}[\cdot] = \{(t,\,x): x\in \mathcal{X}[t]\}. \]

Тогда опорная функция множества достижимости будет рассчитываться по следующей формуле:

\[ \rho(l\,|\,\mathcal{X}[t_1]) = \sup\limits_{u(\cdot)} \left[ \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u(\tau) \rangle d\tau + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau \right] = \] \[ = \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau + \sup\limits_{u(\cdot)} \left[ \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u(\tau) \rangle d\tau \right]. \]

Теперь, у нас все готово для рассмотрения основной леммы.

Формулировка леммы о перестановке интеграла и супремума

Пусть рассматривается задача быстродействия (\ref(main_sys)). Тогда справедливо тождество: \[\sup\limits_{u(\cdot)}\left[ \int\limits^{t_1}_{t_0} \langle s(\tau),\,u(\tau) \rangle d\tau\right] = \int\limits^{t_1}_{t_0}\left[\sup\limits_{u \in \mathcal{P}} \langle s(\tau),\,u \rangle\right] d\tau\]




Пример ссылки

Пример гиф/картинки

Переменная $$x$$

Жирный шрифт

  • таки перечисление 1,
  • таки перечисление 2.