Модель динамики популяции жуков (Tribolium): различия между версиями
Margo23 (обсуждение | вклад) |
Margo23 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 3: | Строка 3: | ||
$$ \gguad $$ Математические модели биоматематики нередко рассматриваются с целью понимания неких экономических эффектов и управления ими. Так, группа исследователей предложила модель популяции мучного жука [https://en.wikipedia.org/wiki/Tribolium_(beetle) '''Tribolium''']. | $$ \gguad $$ Математические модели биоматематики нередко рассматриваются с целью понимания неких экономических эффектов и управления ими. Так, группа исследователей предложила модель популяции мучного жука [https://en.wikipedia.org/wiki/Tribolium_(beetle) '''Tribolium''']. | ||
− | $$ \gguad $$ Жук '''Tribolium''' имеет три стадии развития: личинки - ''larva (L)'', куколки - ''pupa (P)'' и взрослая особь - ''adult (A)''. [ https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0&action=edit&redlink=1 Динамическая модель] численности жука, в которой естественно принять за единицу | + | $$ \gguad $$ Жук '''Tribolium''' имеет три стадии развития: личинки - ''larva (L)'', куколки - ''pupa (P)'' и взрослая особь - ''adult (A)''. [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0&action=edit&redlink=1 Динамическая модель] численности жука, в которой естественно принять за единицу |
времени две недели, имеет вид: | времени две недели, имеет вид: | ||
\begin{gather*} L \qquad P \qquad A \end{gather*} | \begin{gather*} L \qquad P \qquad A \end{gather*} | ||
Строка 17: | Строка 17: | ||
где $$\nu_{(\cdot)}$$ - отношение количества погибающих естественным путем особей соответствующего вида к их общему числу, $$b -$$ коэффициент рождаемости (количество личинок, отложенных одним взрослым насекомым за единицу времени). | где $$\nu_{(\cdot)}$$ - отношение количества погибающих естественным путем особей соответствующего вида к их общему числу, $$b -$$ коэффициент рождаемости (количество личинок, отложенных одним взрослым насекомым за единицу времени). | ||
== Исследование динамической системы == | == Исследование динамической системы == | ||
− | + | Исследуем [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B неподвижные точки] системы $$\ref{(sys1)}$$ рассмотрев её [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%AF%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%B8 матрицу якоби]: | |
+ | \[ | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | L = bA,\\ | ||
+ | P = (1-\nu_L)L,\\ | ||
+ | A = (1-\nu_P)P +(1+\nu_A)A, | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \Rightarrow | ||
+ | J = \left( | ||
+ | \begin{array}{ccccc} | ||
+ | 0 & 0 & b \\ | ||
+ | 1 - \nu_L & 0 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 1-\nu_P & 1-\nu_A\\ | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right), | ||
+ | \] | ||
+ | т.к. система линейна, получим единственную неподвижную точку — $$M(0,0, 0)$$ — неустойчива, при $$b > 1$$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Схематическое изображение бифуркационной диаграммы модели. Бифуркационный параметр — коэффициент смертности взрослых особей. [[Файл:Бифжук.jpg|мини]] | ||
+ | Для относительно низких коэффициентов смертности численность личинок приходит в стационарное состояние (неподвижную точку). При $$\nu_A > 0.1$$ существует устойчивый цикл периода два, когда численность личинок колеблется между двумя существенно различными величинами - "вспышки численности". При $$\nu_A > 0.6$$ цикл исчезает, остается единственная устойчивая неподвижная точка. Для высоких значений коэффициента смертности решение имеет сложное непериодическое поведение. | ||
== Улучшение модели == | == Улучшение модели == | ||
В реальности динамика популяции жука '''Tribolium''' имеет особенность. Когда популяция жуков достигает некоторой плотности, взрослые особи начинают поедать куколок и отложенные яйца (будущие личинки), сами личинки также поедают яйца. С учетом этих обстоятельств исходная модель приобретает вид | В реальности динамика популяции жука '''Tribolium''' имеет особенность. Когда популяция жуков достигает некоторой плотности, взрослые особи начинают поедать куколок и отложенные яйца (будущие личинки), сами личинки также поедают яйца. С учетом этих обстоятельств исходная модель приобретает вид | ||
− | \ | + | \begin{equation} |
+ | \label{sys1} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
− | L_{t+1} = bA_te^{- | + | L_{t+1} = bA_te^{-C_{ll}A_t - C_{al}L_t},\\ |
P_{t+1} = (1-\nu_L)L_t,\\ | P_{t+1} = (1-\nu_L)L_t,\\ | ||
A_{t+1} = (1-\nu_P)P_te^{-C_{pa}A_t}+(1+\nu_A)A_t, | A_{t+1} = (1-\nu_P)P_te^{-C_{pa}A_t}+(1+\nu_A)A_t, | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
− | \ | + | \end{equation} |
Обозначения: | Обозначения: | ||
Строка 35: | Строка 56: | ||
$$~C_{ap}$$ - количество куколок съеденных взрослыми особями. | $$~C_{ap}$$ - количество куколок съеденных взрослыми особями. | ||
− | |||
− | |||
− |
Версия 17:12, 30 октября 2023
Базовая модель динамики жуков
$$ \gguad $$ Математические модели биоматематики нередко рассматриваются с целью понимания неких экономических эффектов и управления ими. Так, группа исследователей предложила модель популяции мучного жука Tribolium.
$$ \gguad $$ Жук Tribolium имеет три стадии развития: личинки - larva (L), куколки - pupa (P) и взрослая особь - adult (A). Динамическая модель численности жука, в которой естественно принять за единицу времени две недели, имеет вид: \begin{gather*} L \qquad P \qquad A \end{gather*}
\begin{equation} \label{sys1} \begin{cases} L_{t+1} = bA_t,\\ P_{t+1} = (1-\nu_L)L_t,\\ A_{t+1} = (1-\nu_P)P_t+(1+\nu_A)A_t, \end{cases} \end{equation} где $$\nu_{(\cdot)}$$ - отношение количества погибающих естественным путем особей соответствующего вида к их общему числу, $$b -$$ коэффициент рождаемости (количество личинок, отложенных одним взрослым насекомым за единицу времени).
Исследование динамической системы
Исследуем неподвижные точки системы $$\ref{(sys1)}$$ рассмотрев её матрицу якоби: \[ \begin{cases} L = bA,\\ P = (1-\nu_L)L,\\ A = (1-\nu_P)P +(1+\nu_A)A, \end{cases} \Rightarrow J = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & b \\ 1 - \nu_L & 0 & 0 \\ 0 & 1-\nu_P & 1-\nu_A\\ \end{array} \right), \] т.к. система линейна, получим единственную неподвижную точку — $$M(0,0, 0)$$ — неустойчива, при $$b > 1$$.
Схематическое изображение бифуркационной диаграммы модели. Бифуркационный параметр — коэффициент смертности взрослых особей.
Для относительно низких коэффициентов смертности численность личинок приходит в стационарное состояние (неподвижную точку). При $$\nu_A > 0.1$$ существует устойчивый цикл периода два, когда численность личинок колеблется между двумя существенно различными величинами - "вспышки численности". При $$\nu_A > 0.6$$ цикл исчезает, остается единственная устойчивая неподвижная точка. Для высоких значений коэффициента смертности решение имеет сложное непериодическое поведение.
Улучшение модели
В реальности динамика популяции жука Tribolium имеет особенность. Когда популяция жуков достигает некоторой плотности, взрослые особи начинают поедать куколок и отложенные яйца (будущие личинки), сами личинки также поедают яйца. С учетом этих обстоятельств исходная модель приобретает вид \begin{equation} \label{sys1} \begin{cases} L_{t+1} = bA_te^{-C_{ll}A_t - C_{al}L_t},\\ P_{t+1} = (1-\nu_L)L_t,\\ A_{t+1} = (1-\nu_P)P_te^{-C_{pa}A_t}+(1+\nu_A)A_t, \end{cases} \end{equation} Обозначения:
$$~C_{al}$$ - количество личинок съеденных взрослыми особями.
$$~C_{ll}$$ - коэффициент каннибализма личинок.
$$~C_{ap}$$ - количество куколок съеденных взрослыми особями.