Модель динамики популяции жуков (Tribolium)
Базовая модель динамики жуков
$$ \gguad $$ Математические модели биоматематики нередко рассматриваются с целью понимания неких экономических эффектов и управления ими. Так, группа исследователей предложила модель популяции мучного жука Tribolium.
$$ \gguad $$ Жук Tribolium имеет три стадии развития: личинки - larva (L), куколки - pupa (P) и взрослая особь - adult (A). [ https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0&action=edit&redlink=1 Динамическая модель] численности жука, в которой естественно принять за единицу времени две недели, имеет вид: \begin{gather*} L \qquad P \qquad A \end{gather*}
\begin{equation} \label{sys1} \begin{cases} L_{t+1} = bA_t,\\ P_{t+1} = (1-\nu_L)L_t,\\ A_{t+1} = (1-\nu_P)P_t+(1+\nu_A)A_t, \end{cases} \end{equation} где $$\nu_{(\cdot)}$$ - отношение количества погибающих естественным путем особей соответствующего вида к их общему числу, $$b -$$ коэффициент рождаемости (количество личинок, отложенных одним взрослым насекомым за единицу времени).
Исследование динамической системы
Система линейна. Единственная неподвижная точка — $$О(0,0)$$ — неустойчива, при $$b > 1$$.
Улучшение модели
В реальности динамика популяции жука Tribolium имеет особенность. Когда популяция жуков достигает некоторой плотности, взрослые особи начинают поедать куколок и отложенные яйца (будущие личинки), сами личинки также поедают яйца. С учетом этих обстоятельств исходная модель приобретает вид \[ \begin{cases} L_{t+1} = bA_te^{-(C_{ll}A_t + C_{al}L_t)},\\ P_{t+1} = (1-\nu_L)L_t,\\ A_{t+1} = (1-\nu_P)P_te^{-C_{pa}A_t}+(1+\nu_A)A_t, \end{cases} \] Обозначения:
$$~C_{al}$$ - количество личинок съеденных взрослыми особями.
$$~C_{ll}$$ - коэффициент каннибализма личинок.
$$~C_{ap}$$ - количество куколок съеденных взрослыми особями.
Схематическое изображение бифуркационной диаграммы модели. Бифуркационный параметр — коэффициент смертности взрослых особей.
Для относительно низких коэффициентов смертности численность личинок приходит в стационарное состояние (неподвижную точку). При $$\nu_A > 0.1$$ существует устойчивый цикл периода два, когда численность личинок колеблется между двумя существенно различными величинами - "вспышки численности". При $$\nu_A > 0.6$$ цикл исчезает, остается единственная устойчивая неподвижная точка. Для высоких значений коэффициента смертности решение имеет сложное непериодическое поведение.
