Опорная функция множества

Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математический аппарат опорных функций. Будем рассматривать евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$, хотя опорные функции могут быть определены и для более общего класса линейных пространств.

Определение и интерпретация

Пусть $$Z \subseteq \mathbb{R}^n$$, тогда опорной функцией множества $$Z$$ будем называть функцию $$\rho(\cdot \mid Z) \colon\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$, такую что: \[ \begin{cases} \rho (l \mid Z) = \sup \{ \left< l, z \right> \mid z \in Z \}, & Z \neq \varnothing, \\ \rho (l \mid Z) = -\infty, & Z = \varnothing. \end{cases} \]