Отделимость множеств

Для получения многих результатов в выпуклом анализе ключевую роль занимают теоремы об отделимости выпуклых множеств. Дадим необходимые определения.

Пример выпуклого множества.

Пример невыпуклого множества.

Далее будем считать, что $$X = (X, \, ||\cdot||)$$ - нормированное пространство, а $$A$$ и $$B$$ - его непустые подмножества. Дадим необходимые определения.

Определения

Определение 1. Аффинной комбинацией точек $$x_1, x_2, \ldots, x_n \in X$$ назовём выражение $$\sum_{i = 1} ^ n \alpha_i x_i$$, где числа $$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$$ удовлетворяют условию $$\sum_{i = 1} ^ n \alpha_i = 1$$.

Определение 2. Аффинной оболочкой множества $$A$$ назовём множество всевозможных аффинных комбинаций точек множества $$A: \, aff A := \{\sum_{i = 1} ^ n \alpha_i x_i \, | \, n \in \mathbb N, \, x_1, \, x_2, \ldots, x_n \in X, \, \sum_{i = 1} ^ n \alpha_i = 1\}$$.

Определение 3. Относительной внутренностью множества $$A$$ назовём его «внутренность относительно аффинной оболочки $$A$$», то есть множество точек $$ri A := \{x \in X \, | \, \exists \varepsilon > 0: O(x, \, \varepsilon) \cap aff A \subset A\}$$. Здесь $$ O(x, \, \varepsilon) = \{y \in X \, | \, ||y - x|| < \varepsilon \}$$ - открытый шар в нормированном пространстве $$X$$.

Определение 4. Будем говорить, что множества $$A$$ и $$B$$ отделимы, если найдётся такой действующий на $$X$$ линейный непрерывный функционал $$l \not= 0$$, что \begin{gather*} \sup\limits_{x \in A}\left<l, x\right>\leq\inf\limits_{x \in A}\left<l, y\right>. \end{gather*}

Также говорят, что функционал $$l$$ разделяет множества $$A$$ и $$B$$.

Определение 5. Будем говорить, что множества $$A$$ и $$B$$ строго отделимы, если найдётся такой действующий на $$X$$ линейный непрерывный функционал $$l \not= 0$$, что \begin{gather*} \sup\limits_{x \in A}\left<l, x\right><\inf\limits_{x \in A}\left<l, y\right>. \end{gather*}

Также говорят, что функционал $$l$$ строго разделяет множества $$A$$ и $$B$$.

Теоремы отделимости

Предложение 1. Множества $$A, \, B$$ можно отделить тогда и только тогда, когда множество $$A − B$$ (имеется в виду сумма по Минковскому множеств $$A$$ и $$-B$$, то есть множество $$\{a - b \, | \, a \in A, \, b \in B \}$$) можно отделить от $$\{0\}$$ (множества, состоящего из одного нуля).

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть множества $$A, \, B$$ отделимы. Это означает, что $$\exists l \not= 0$$ - линейный непрерывный функционал на $$X$$ такой, что \begin{gather*} \sup\limits_{x \in A}\left<l, x\right>\leq\inf\limits_{x \in A}\left<l, y\right>. \end{gather*} То есть \begin{gather*} \forall x \in X \; \forall y \in Y \left<l, x\right> \leq \left<l, y\right>, \end{gather*} что означает: \begin{gather*} \forall x \in X \; \forall y \in Y \left<l, x - y\right> \leq 0 = \left<l, 0\right>, \end{gather*} или \begin{gather*} \sup_{z \in A - B} \left<l, z\right> \leq 0 = \inf_{z \in \{0\}} \left<l, z\right>. \end{gather*} Последнее неравенство эквивалентно отделимости множества $$A - B$$ от множества $$\{0\}$$.

2. Достаточность. Пусть множество $$A - B$$ отделимо от нуля. Тогда $$\exists l \not= 0$$ - линейный непрерывный функционал на $$X$$ такой, что \begin{gather*} \sup_{z \in A - B} \left<l, z\right> \leq 0 = \left<l, 0\right>, \end{gather*} то есть \begin{gather*} \sup_{z \in A - B} \left<l, z\right> \leq 0 = \left<l, 0\right>, \end{gather*} и поскольку $$\sup (A - B) = \sup A -\inf B$$, то заключаем \begin{gather*} \sup\limits_{x \in A}\left<l, x\right>\leq\inf\limits_{x \in A}\left<l, y\right>. \end{gather*} Последнее неравенство эквивалентно отделимости множеств $$A$$ и $$B$$. $$~~\blacksquare$$

Этим фактом мы воспользуемся при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 1. (О конечномерной отделимости). Пусть $$A, B$$ — непустые выпуклые подмножества $$\mathbb R^n$$ и их относительные внутренности $$ri A$$ и $$ri B$$ не пересекаются. Тогда множества $$A$$ и $$B$$ можно отделить.

Доказательство. Заметим, что так как $$ri A$$ и $$ri B$$ не пересекаются, то $$0\not\in (ri A - ri B)$$. Множество $$(ri A - ri B)$$ выпукло $$\Longrightarrow$$ (указать ссылку на лемму 1.4.2) $$\Longrightarrow$$ $$(ri A-ri B)$$ отделимо от нуля, а значит $$ri A$$ и $$ri B$$ отделимы, т.е. $$\exists l\not=0$$ и $$\gamma\in\mathbb{R}:$$$$\forall x\in{ri A},y\in{ri B} \Longrightarrow\left<l, x\right>\leq\gamma\leq\left<l, y\right>$$.

Пусть $$x \in A$$. Тогда существует последовательность точек $$\{x_i\}$$, лежащая в $$ri A$$ и сходящаяся к $$x$$. Поэтому, $$\left<l, x_i\right>\leq\gamma,$$ $$\forall i$$. Переходя к пределу по $$i$$, получаем, что, $$\left<l, x\right>\leq\gamma$$. Поступив аналогично для точек $$y$$ множества $$B$$, получим, что полученный линейный непрерывный функционал $$l$$ также разделяет $$A$$ и $$B$$.$$~~\blacksquare$$