Поляра множества и ее свойства: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника)
Строка 7: Строка 7:
  
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
 
+
[[Файл:Polar k2.png|400px|thumb|frame|right|$$K_1^\circ = K_\infty, ~K_2^\circ = K_2, ~K_\infty^\circ = K_1$$]]
# $$ (\bar{B}_r(0))^{\circ} = \bar{B}_{1/r}(0)$$;
+
[[Файл:Infty polar.png|400px|thumb|frame|right|Поляра ромба с параметрами $$a = (1,1), c = (1,1)$$]]
 +
# $$ (\bar{B}_r(0))^{\circ} = \bar{B}_{1/r}(0)$$, где $$B_r(0)$$ − шар радиуса $$r$$ с центром в нуле;
 
# $$ \{0\}^{\circ} = \mathbb{R}^n$$;
 
# $$ \{0\}^{\circ} = \mathbb{R}^n$$;
# Для $$p \neq 0, \{p\}^{\circ}$$ - замкнутое полупространство:\begin{gather*}
+
# для $$p \neq 0, \{p\}^{\circ}$$ замкнутое полупространство:\begin{gather*}
 
\{p\}^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n : \langle x,p \rangle \leqslant 1 \};\end{gather*}
 
\{p\}^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n : \langle x,p \rangle \leqslant 1 \};\end{gather*}
# Если $$A$$ - линейное подпространство, то $$A^{\circ} = A^{\perp}$$.
+
# если $$A$$ линейное подпространство, то $$A^{\circ} = A^{\perp}$$;
 +
# пусть $$R$$ − ромб с центром в точке $$c=(c_1, c_2)$$ и диагоналями длины $$a_1, a_2$$:\begin{gather*}
 +
    R = \left\{
 +
        x \in \mathbb{R}^2~\Big| ~\sum_{i=1}^2\frac{2|x_i-c_i|}{a_i} \leqslant 1
 +
        \right\}.
 +
\end{gather*} Тогда поляра ромба имеет вид:\begin{gather*}
 +
    R^{\circ} =
 +
    \left\{
 +
        l \in \mathbb{R}^2~\Big|~
 +
        \max_{i=1,2}\frac{|a_il_i|}{2} + \langle l, c \rangle \leqslant 1
 +
    \right\}.
 +
\end{gather*}
 +
# Поляра может быть неограниченным множеством. Пример − ромб с параметрами $$a = (1,1), c = (2,2)$$. Из формулы в прошлом примере следует, что границу поляры будет задавать кривая: $$\max\{x(\frac{a_1}{2} + c_1) + yc_2, xc_1 + y(\frac{a_2}{2} + c_2)\} = 1$$.  
 
== Свойства ==
 
== Свойства ==
 
1. Если $$\lambda > 0$$, то $$(\lambda A)^{\circ} = \frac{1}{\lambda}A^{\circ}$$.
 
1. Если $$\lambda > 0$$, то $$(\lambda A)^{\circ} = \frac{1}{\lambda}A^{\circ}$$.
Строка 20: Строка 33:
 
3. '''Антимонотонность:''' если $$A \subset B$$, то $$A^{\circ} \supset B^{\circ}$$.
 
3. '''Антимонотонность:''' если $$A \subset B$$, то $$A^{\circ} \supset B^{\circ}$$.
  
'''Следствие 1.''' Если $$A$$ - ограничено, то $$0 \in Int(A^{\circ})$$.
+
'''Следствие 1.''' Если $$A$$ ограничено, то $$0 \in \mathrm{int}(A^{\circ})$$.
  
'''Д-во:'''  
+
'''Доказательство:'''  
  
$$A$$ ограничено $$\Rightarrow \exists R > 0: A \subset \bar{B}_R(0)$$. По свойству 4: $$A^{\circ} \supset  \bar{B}_{1/R}(0)$$. Тогда $$0 \in Int(A^{\circ})$$.
+
$$A$$ ограничено $$\Rightarrow \exists R > 0: A \subset \bar{B}_R(0)$$. Тогда из свойства антимонотонности: $$A^{\circ} \supset  \bar{B}_{1/R}(0)$$. Тогда $$0 \in \mathrm{int}(A^{\circ})$$. $$\blacksquare$$
  
'''Следствие 2.''' Если $$0 \in Int(A)$$, то $$A^{\circ}$$ ограничено.
+
'''Следствие 2.''' Если $$0 \in \mathrm{int}(A)$$, то $$A^{\circ}$$ ограничено.
  
'''Д-во:'''
+
'''Доказательство:'''
  
$$0 \in Int(A) \Rightarrow \exists r > 0: \bar{B}_r(0) \subset A$$. Тогда $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/r}(0) \Rightarrow A^{\circ}$$ - ограничено.
+
$$0 \in \mathrm{int}(A) \Rightarrow \exists r > 0: \bar{B}_r(0) \subset A$$. Тогда $$A^{\circ} \subset \bar{B}_{1/r}(0) \Rightarrow A^{\circ}$$ ограничено. $$\blacksquare$$
  
 
4. '''Поляра объединения множеств:''' $$\forall A,B \subset \mathbb{R}^n, (A \cup B)^{\circ} = A^{\circ} \cap B^{\circ}$$.
 
4. '''Поляра объединения множеств:''' $$\forall A,B \subset \mathbb{R}^n, (A \cup B)^{\circ} = A^{\circ} \cap B^{\circ}$$.
  
'''Д-во:'''
+
'''Доказательство:'''
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
(A \cup B)^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in (A \cup B), \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in A, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} \cap \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in B, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = A^{\circ} \cap B^{\circ}.
 
(A \cup B)^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in (A \cup B), \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in A, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} \cap \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in B, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = A^{\circ} \cap B^{\circ}.
\end{gather*}
+
\end{gather*} $$\blacksquare$$
  
'''Примечание:''' свойство выполняется в случае бесконечных объединений - пусть $$A = \cup A_i$$, тогда $$(\cup A_i)^{\circ} = \cap A_i^{\circ}$$. Доказывается аналогично.
+
'''Примечание:''' свойство выполняется в случае бесконечных объединений пусть $$A = \cup A_i$$, тогда $$(\cup A_i)^{\circ} = \cap A_i^{\circ}$$. Доказывается аналогично.
  
 
'''Следствие:''' поляра любого множества замкнута, выпукла и содержит 0.
 
'''Следствие:''' поляра любого множества замкнута, выпукла и содержит 0.
  
'''Д-во:'''
+
'''Доказательство:'''
  
Представим множество $$A$$ в виде $$A = \cup_{x \in A} \{x\}$$. Тогда $$A^{\circ} = \cap_{x \in A} \{x\}^{\circ}$$ - пересечение замкнутых полупространств, содержащих ноль.
+
Представим множество $$A$$ в виде $$A = \cup_{x \in A} \{x\}$$. Тогда $$A^{\circ} = \cap_{x \in A} \{x\}^{\circ}$$ пересечение замкнутых полупространств, содержащих ноль. $$\blacksquare$$
  
5. Из [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D1%85%D0%B5%D0%BB%D1%8F-%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%BE теоремы Фенхеля-Моро] выводится теорема о биполяре: для того чтобы $$A^{\circ\circ} = A$$, необходимо и достаточно, чтобы $$A$$ было выпуклым замкнутым множеством, содержащим нуль.
+
5. '''Теорема о биполяре:''' для того чтобы $$A^{\circ\circ} = A$$, необходимо и достаточно, чтобы $$A$$ было выпуклым замкнутым множеством, содержащим нуль.
 +
 
 +
'''Доказательство:'''
 +
# Докажем, что $$A \subset A^{\circ\circ}$$. Если $$a \in A$$, то $$\forall b \in A^{\circ}: \langle a,b \rangle \leqslant 1$$. Из определения поляры легко следует, что $$a \in A^{\circ\circ}$$.
 +
# Докажем, что $$A \supset A^{\circ\circ}$$. Пусть $$\exists p \in A^{\circ\circ} \backslash A$$. Существует гиперплоскость $$H$$, строго отделяющая $$A$$ от $$p$$. Так как $$0 \in A$$, $$0 \notin H$$. Тогда $$H$$ имеет вид
 +
\begin{gather*}
 +
    H = \{x \in \mathbb{R}^n:\langle x, v \rangle = 1\},
 +
\end{gather*}
 +
где $$v \in \mathbb{R}^n$$.
 +
Пусть $$H^+ = \{x \in \mathbb{R}^n:\langle x, v \rangle > 1\}$$,  $$H^- = \{x \in \mathbb{R}^n:\langle x, v \rangle < 1\}$$.
 +
$$0 \in H^- \Rightarrow A \subset H^-, p \in H^+$$. $$A \subset H^- \Rightarrow \langle a, v \rangle < 1, \forall a \in A$$. Поэтому $$ v \in A^{\circ}$$. $$p \in H^+ \Rightarrow \langle p, v \rangle > 1$$. Поэтому $$p \notin A^{\circ\circ}$$, что противоречит начальному предположению.
  
 
== Операции над множеством, не меняющие поляру ==
 
== Операции над множеством, не меняющие поляру ==
 
1. $$(A \cup \{0\})^{\circ} = A^{\circ} $$.
 
1. $$(A \cup \{0\})^{\circ} = A^{\circ} $$.
  
'''Д-во:''' $$(A \cup \{0\})^{\circ} = A^{\circ} \cap \{0\}^{\circ} = A^{\circ}$$.
+
'''Доказательство:''' $$(A \cup \{0\})^{\circ} = A^{\circ} \cap \{0\}^{\circ} = A^{\circ}$$. $$\blacksquare$$
  
2. $$(conv(A))^{\circ} = A^{\circ}$$.
+
2. $$(\mathrm{conv}(A))^{\circ} = A^{\circ}$$.
  
'''Д-во:''' из свойства 2 и равенства $$\rho(y,A) = \rho(y,conv(A))$$.
+
'''Доказательство:''' из свойства 2 и равенства $$\rho(y,A) = \rho(y,\mathrm{conv}(A))$$. $$\blacksquare$$
  
3. $$(Cl(A))^{\circ} = A^{\circ}$$.
+
3. ($$\mathrm{cl}(A))^{\circ} = A^{\circ}$$.
  
'''Д-во:'''  
+
'''Доказательство:'''  
* Докажем, что $$A^{\circ} \subset (Cl(A))^{\circ}$$. Пусть $$p \in Cl(A) \Rightarrow p = \lim_{i \rightarrow \infty} a_i, a_i \in A$$. Рассмотрим скалярное произведение $$\langle x, p \rangle$$, $$\forall x \in A^{\circ}, \forall p \in Cl(A)$$:
+
* Докажем, что $$A^{\circ} \subset (\mathrm{cl}(A))^{\circ}$$. Пусть $$p \in \mathrm{cl}(A) \Rightarrow p = \lim_{i \rightarrow \infty} a_i, a_i \in A$$. Рассмотрим скалярное произведение $$\langle x, p \rangle$$, $$\forall x \in A^{\circ}, \forall p \in \mathrm{cl}(A)$$:
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
\langle x, p \rangle = \langle x, \lim_{i \rightarrow \infty} a_i \rangle = \lim_{i \rightarrow \infty} \langle x, a_i \rangle \leqslant 1.  
 
\langle x, p \rangle = \langle x, \lim_{i \rightarrow \infty} a_i \rangle = \lim_{i \rightarrow \infty} \langle x, a_i \rangle \leqslant 1.  
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
Следовательно, $$A^{\circ} \subset (Cl(A))^{\circ}$$.
+
Следовательно, $$A^{\circ} \subset (\mathrm{cl}(A))^{\circ}$$.  
* $$A \subset Cl(A)$$, следовательно, по свойству антимонотонности: $$A^{\circ} \supset (Cl(A))^{\circ}$$.
+
* $$A \subset \mathrm{cl}(A)$$, следовательно, по свойству антимонотонности: $$A^{\circ} \supset (\mathrm{cl}(A))^{\circ}$$.
Из этого следует доказываемое утверждение.
+
Из этого следует доказываемое утверждение. $$\blacksquare$$
 +
 
 +
== Список литературы ==
 +
# Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. "Выпуклый анализ и его приложения", М.: Едиториал УРСС, 2003.

Текущая версия на 22:25, 19 декабря 2022

Определение

Пусть $$A$$ непустое подмножество $$\mathbb{R}^n$$. Полярой множества $$A$$ называется множество \[ A^{\circ}=\left\{y \in \mathbb{R}^n~|~ \langle x, y \rangle \leqslant 1 , \forall x \in A\right\}. \] Поляра множества $$A^{\circ}$$ называется биполярой $$A$$.

Примеры

$$K_1^\circ = K_\infty, ~K_2^\circ = K_2, ~K_\infty^\circ = K_1$$
Поляра ромба с параметрами $$a = (1,1), c = (1,1)$$
  1. $$ (\bar{B}_r(0))^{\circ} = \bar{B}_{1/r}(0)$$, где $$B_r(0)$$ − шар радиуса $$r$$ с центром в нуле;
  2. $$ \{0\}^{\circ} = \mathbb{R}^n$$;
  3. для $$p \neq 0, \{p\}^{\circ}$$ − замкнутое полупространство:\begin{gather*} \{p\}^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n : \langle x,p \rangle \leqslant 1 \};\end{gather*}
  4. если $$A$$ − линейное подпространство, то $$A^{\circ} = A^{\perp}$$;
  5. пусть $$R$$ − ромб с центром в точке $$c=(c_1, c_2)$$ и диагоналями длины $$a_1, a_2$$:\begin{gather*} R = \left\{ x \in \mathbb{R}^2~\Big| ~\sum_{i=1}^2\frac{2|x_i-c_i|}{a_i} \leqslant 1 \right\}. \end{gather*} Тогда поляра ромба имеет вид:\begin{gather*} R^{\circ} = \left\{ l \in \mathbb{R}^2~\Big|~ \max_{i=1,2}\frac{|a_il_i|}{2} + \langle l, c \rangle \leqslant 1 \right\}. \end{gather*}
  6. Поляра может быть неограниченным множеством. Пример − ромб с параметрами $$a = (1,1), c = (2,2)$$. Из формулы в прошлом примере следует, что границу поляры будет задавать кривая: $$\max\{x(\frac{a_1}{2} + c_1) + yc_2, xc_1 + y(\frac{a_2}{2} + c_2)\} = 1$$.

Свойства

1. Если $$\lambda > 0$$, то $$(\lambda A)^{\circ} = \frac{1}{\lambda}A^{\circ}$$.

2. $$A^{\circ} = \{y \in \mathbb{R}^n | \rho(y,A) \leqslant 1\}$$, где $$\rho$$ — опорная функция.

3. Антимонотонность: если $$A \subset B$$, то $$A^{\circ} \supset B^{\circ}$$.

Следствие 1. Если $$A$$ − ограничено, то $$0 \in \mathrm{int}(A^{\circ})$$.

Доказательство:

$$A$$ ограничено $$\Rightarrow \exists R > 0: A \subset \bar{B}_R(0)$$. Тогда из свойства антимонотонности: $$A^{\circ} \supset \bar{B}_{1/R}(0)$$. Тогда $$0 \in \mathrm{int}(A^{\circ})$$. $$\blacksquare$$

Следствие 2. Если $$0 \in \mathrm{int}(A)$$, то $$A^{\circ}$$ ограничено.

Доказательство:

$$0 \in \mathrm{int}(A) \Rightarrow \exists r > 0: \bar{B}_r(0) \subset A$$. Тогда $$A^{\circ} \subset \bar{B}_{1/r}(0) \Rightarrow A^{\circ}$$ − ограничено. $$\blacksquare$$

4. Поляра объединения множеств: $$\forall A,B \subset \mathbb{R}^n, (A \cup B)^{\circ} = A^{\circ} \cap B^{\circ}$$.

Доказательство: \begin{gather*} (A \cup B)^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in (A \cup B), \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in A, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} \cap \{x \in \mathbb{R}^n: \forall a \in B, \langle x, a \rangle \leqslant 1\} = A^{\circ} \cap B^{\circ}. \end{gather*} $$\blacksquare$$

Примечание: свойство выполняется в случае бесконечных объединений − пусть $$A = \cup A_i$$, тогда $$(\cup A_i)^{\circ} = \cap A_i^{\circ}$$. Доказывается аналогично.

Следствие: поляра любого множества замкнута, выпукла и содержит 0.

Доказательство:

Представим множество $$A$$ в виде $$A = \cup_{x \in A} \{x\}$$. Тогда $$A^{\circ} = \cap_{x \in A} \{x\}^{\circ}$$ − пересечение замкнутых полупространств, содержащих ноль. $$\blacksquare$$

5. Теорема о биполяре: для того чтобы $$A^{\circ\circ} = A$$, необходимо и достаточно, чтобы $$A$$ было выпуклым замкнутым множеством, содержащим нуль.

Доказательство:

  1. Докажем, что $$A \subset A^{\circ\circ}$$. Если $$a \in A$$, то $$\forall b \in A^{\circ}: \langle a,b \rangle \leqslant 1$$. Из определения поляры легко следует, что $$a \in A^{\circ\circ}$$.
  2. Докажем, что $$A \supset A^{\circ\circ}$$. Пусть $$\exists p \in A^{\circ\circ} \backslash A$$. Существует гиперплоскость $$H$$, строго отделяющая $$A$$ от $$p$$. Так как $$0 \in A$$, $$0 \notin H$$. Тогда $$H$$ имеет вид

\begin{gather*} H = \{x \in \mathbb{R}^n:\langle x, v \rangle = 1\}, \end{gather*} где $$v \in \mathbb{R}^n$$. Пусть $$H^+ = \{x \in \mathbb{R}^n:\langle x, v \rangle > 1\}$$, $$H^- = \{x \in \mathbb{R}^n:\langle x, v \rangle < 1\}$$. $$0 \in H^- \Rightarrow A \subset H^-, p \in H^+$$. $$A \subset H^- \Rightarrow \langle a, v \rangle < 1, \forall a \in A$$. Поэтому $$ v \in A^{\circ}$$. $$p \in H^+ \Rightarrow \langle p, v \rangle > 1$$. Поэтому $$p \notin A^{\circ\circ}$$, что противоречит начальному предположению.

Операции над множеством, не меняющие поляру

1. $$(A \cup \{0\})^{\circ} = A^{\circ} $$.

Доказательство: $$(A \cup \{0\})^{\circ} = A^{\circ} \cap \{0\}^{\circ} = A^{\circ}$$. $$\blacksquare$$

2. $$(\mathrm{conv}(A))^{\circ} = A^{\circ}$$.

Доказательство: из свойства 2 и равенства $$\rho(y,A) = \rho(y,\mathrm{conv}(A))$$. $$\blacksquare$$

3. ($$\mathrm{cl}(A))^{\circ} = A^{\circ}$$.

Доказательство:

  • Докажем, что $$A^{\circ} \subset (\mathrm{cl}(A))^{\circ}$$. Пусть $$p \in \mathrm{cl}(A) \Rightarrow p = \lim_{i \rightarrow \infty} a_i, a_i \in A$$. Рассмотрим скалярное произведение $$\langle x, p \rangle$$, $$\forall x \in A^{\circ}, \forall p \in \mathrm{cl}(A)$$:

\begin{gather*} \langle x, p \rangle = \langle x, \lim_{i \rightarrow \infty} a_i \rangle = \lim_{i \rightarrow \infty} \langle x, a_i \rangle \leqslant 1. \end{gather*} Следовательно, $$A^{\circ} \subset (\mathrm{cl}(A))^{\circ}$$.

  • $$A \subset \mathrm{cl}(A)$$, следовательно, по свойству антимонотонности: $$A^{\circ} \supset (\mathrm{cl}(A))^{\circ}$$.

Из этого следует доказываемое утверждение. $$\blacksquare$$

Список литературы

  1. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. "Выпуклый анализ и его приложения", М.: Едиториал УРСС, 2003.