Вполне непрерывный линейный оператор

Определение вполне непрерывного (компактного) оператора

Пусть пространства $$X$$ и $$Y$$ — банаховы, оператор \(A: X \to Y\) — линейный.

Определение 1. Оператор \(A: X \to Y\) называется вполне непрерывным, если он любую слабо сходящуюся последовательность переводит в последовательность, сходящуюся по норме: \( x_n \xrightarrow{w} x \implies \|A x_n\| \to \|A x\|\).

Определение 2. Оператор \(A: X \to Y\) называется компактным, если он всякое ограниченное множество \(M \subset X\) переводит в предкомпактное множество в \(Y.\)

Замечание 1. Всякий вполне непрерывный или компактный оператор — ограничен.

Утверждение 1. Пусть $$H$$ — гильбертово. Если оператор \(A: H \to H\) — вполне непрерывен, то сопряжённый оператор $$A^*$$ тоже вполне непрерывен.

Доказательство. Заметим, что если \(x_n \xrightarrow{w} x\), то:

\[\|A^*x_n - A^*x\|^2 = \langle A^*(x_n - x), A^*(x_n - x) \rangle = \langle AA^*(x_n - x), x_n - x \rangle \leqslant \|A(A^*(x_n - x))\| \cdot \|x_n - x\|.\]

Так как последовательность \(\{x_n\}\) — ограничена, а оператор \(A^*\) — непрерывен, последовательность \(\{A^*(x_n - x)\}\) сходится слабо к нулю.

Оператор \(A\) — вполне непрерывен, поэтому он переводит слабо сходящуюся последовательность \(\{A^*(x_n - x)\}\) в сходящуюся по норме\[\|A(A^*(x_n - x))\| \to 0.\]

Так как множитель \(\|x_n - x\|\) ограничен, то вся правая часть неравенства стремится к нулю, откуда следует, что \(\|A^*x_n\| \to \|A^*x\|\). То есть, оператор \(A^*\) вполне непрерывен по определению. \(\blacksquare\)

Связь компактных и вполне непрерывных операторов

Лемма 1. Если \(x_n \xrightarrow{w} x\), то \(Ax_n \xrightarrow{w} Ax\).

Доказательство. \(\langle Ax_n, y \rangle = \langle x_n, A^*y \rangle \to \langle x, A^*y \rangle = \langle Ax, y \rangle\). \(\blacksquare\)

Теорема 1. Линейный оператор \(A \in \mathcal{L}(X, Y)\) является вполне непрерывным $$\Longleftrightarrow$$ этот линейный оператор является компактным.

В правую сторону. Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность $$\{x_n\}$$, из неё можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность \(\{x_{n_k}\} \xrightarrow{w} x\). По определению вполне непрерывного оператора это означает, что \(\{Ax_{n_k}\} \to Ax\). Наличие сильно сходящейся подпоследовательности для любой ограниченной последовательности означает, что образ ограниченного множества предкомпактен, то есть оператор \(A\) компактен.

В левую сторону. Предположим противное. Пусть существует такая $$x_n \xrightarrow{w} x$$, что $$Ax_n \not\to Ax$$. По лемме: $$Ax_n \xrightarrow{w} Ax$$. Заметим сначала, что $$Ax_n$$ может сходиться только к $$Ax$$. По предположению:\[\forall\ \varepsilon > 0 \ \exists\ \ \{n_k\}: \|Ax_{n_k} - Ax\| \geqslant \varepsilon.\] $$\{x_{n_k}\}$$ — сходится слабо, откуда следует, что она также и ограничена, откуда из определения компактного оператора следует, что $$\{Ax_{n_k}\}$$ — предкомпактное множество, значит из этой последовательности можно выбрать фундаментальную подпоследовательность $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$, а из банаховости $$Y$$, $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$ будет сходиться к некоторому $$y$$, и неравенство выше выполняться не будет: $$\|Ax_{n_{k_l}} - Ax\| < \varepsilon$$. Таким образом, существует $$y$$ такое, что $$\|Ax_{n_{k_l}} - y\| \to 0$$ и $$y$$ может быть равно только $$Ax$$. \(\blacksquare\)

Замкнутость множества вполне непрерывных (компактных) операторов

Теорема 2. Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, а $$\{A_n\}$$ — последовательность компактных операторов, такая что $$\|A_n - A\| \to 0$$ при $$n \to \infty$$, то оператор $$A$$ также является компактным.

Доказательство. Пусть $$M \subset X$$ — произвольное ограниченное множество, и \(C = \sup_{x \in M} \|x\|\). Для доказательства компактности $$A$$ воспользуемся критерием предкомпактности: покажем, что для любого $$\varepsilon > 0$$ образ $$A(M)$$ обладает конечной $$\varepsilon$$-сетью.

Зафиксируем $$\varepsilon > 0$$. Так как $$\|A_n - A\| \to 0$$, выберем такое число $$n$$, чтобы \(\|A_n - A\| < \frac{\varepsilon}{2C}\).

Множество $$A_n(M)$$ предкомпактно (так как операторы $$A_n$$ компактны по условию). Значит, для него существует конечная $$\frac{\varepsilon}{2}$$-сеть $$\{y_1, \dots, y_k\} \subset Y$$.

Проверим, что эта же сеть будет являться $$\varepsilon$$-сетью для множества $$A(M)$$. Для любого $$Ax \in A(M)$$:\[\|Ax - y_i\| = \|Ax - A_nx + A_nx - y_i\| \leqslant \|(A - A_n)x\| + \|A_nx - y_i\|.\]

Оценка первого слагаемого:\[\|(A - A_n)x\| \leqslant \|A - A_n\| \cdot \|x\| < \frac{\varepsilon}{2C} \cdot C = \frac{\varepsilon}{2}\].

А второе слагаемое оценивается выбором сетки для $$A_n(M)$$:\[\|A_nx - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2}\].

Откуда:\[\|Ax - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\].

Таким образом, для любого ограниченного множества образ имеет конечную $$\varepsilon$$-сеть, следовательно, $$A(M)$$ предкомпактно, и оператор $$A$$ компактен. \(\blacksquare\)

Замечание 2. Из Теоремы 2 следует, что пространство компактных операторов является замкнутым в пространстве всех ограниченных операторов. Следовательно, ограниченный, но не компактный оператор нельзя приблизить по норме последовательностью компактных.

Приближение вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными

Свойства проекторов в гильбертовом пространстве

Пусть $$H$$ — сепарабельное гильбертово пространство, а $$\{e_k\}$$ — его ортонормированный базис. Определим последовательность конечномерных проекторов $$P_n$$ и остаточных операторов $$R_n$$: \[P_n x = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k, \quad R_n x = \sum_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k.\]

Для этих операторов выполняются свойства:

• Разложение единицы: $$P_n + R_n = E$$, где $$E$$ — тождественный оператор.
• Сильная сходимость: $$P_n x \to x$$ для любого $$x \in H$$ при $$n \to \infty$$.
• Отсутствие сходимости по норме: $$\|P_n - E\| \not\to 0$$(в бесконечномерном случае).
• Самосопряженность: $$P_n = P_n^*$$ и $$R_n = R_n^*$$.

Теорема о приближении вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными

Лемма 2. Для любого компактного оператора $$A$$ существует вектор $$z \in H$$ с единичной нормой ($$\|z\|=1$$), на котором достигается норма оператора — $$\|A\| = \|Az\|.$$

Доказательство. Рассмотрим последовательность $$\{x_n\}$$, такую что $$\|x_n\|=1$$ и $$\|Ax_n\| \to \|A\|$$.

$$\{x_n\}$$ — ограничена, значит, можем выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность: $$x_{n_k} \xrightarrow{w} z$$.

Из компактности(вполне непрерывности) $$A$$ следует, что $$Ax_{n_k} \to Az$$. Значит, \(\|Az\| = \lim \|Ax_{n_k}\| = \|A\|\).

Так как $$\|Az\| \leqslant \|A\| \cdot \|z\|$$, а $$\|Az\| = \|A\|$$, то $$\|z\| \geqslant 1$$.

В то же время из свойств слабого предела получаем $$\|z\| \leqslant \underline{\lim} \|x_{n_k}\| = 1$$.

Таким образом, $$\|z\| = 1$$. \(\blacksquare\)

Теорема 3. Если оператор $$A: H \to H$$ компактен, то\[\|A - P_n A P_n\| \to 0 \quad \text{при } n \to \infty.\]

Доказательство. Сначала покажем, что если $$\{x_n\}$$ ограничена, то $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$. Действительно:\[ \forall\ y \in H: |\langle R_n x_n, y \rangle| = |\langle x_n, R_n y \rangle| \leqslant \|x_n\| \cdot \|R_n y\| \to 0,\] так как $$\|R_n y\| \to 0$$.

Далее рассмотрим разность\[\|A - P_n A P_n\| = \|P_n A + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A P_n + R_n A R_n + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A R_n + R_n A\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.\]

Теперь оценим норму:\[\|A - P_n A P_n\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.\] Первое слагаемое: Оператор $$P_n A R_n$$ компактен, значит, по лемме, существует $$\|x_n\|=1$$, такой что $$\|P_n A R_n\| = \|P_n A R_n x_n\|$$. Так как $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$, а $$A$$ вполне непрерывен, то $$A(R_n x_n) \to 0$$. Значит, $$\|P_n A R_n x_n\| \to 0$$.

Второе слагаемое: Заметим, что $$\|R_n A\| = \|A^* R_n\|$$. Так как $$A^*$$ компактен, то аналогично $$\|A^* R_n\| \to 0$$. \(\blacksquare\)

Полезное в решении задач утверждение

Теорема 4. Оператор $$A: X \to Y$$ — компактен $$\Longleftrightarrow$$ множество \(A(\bar{B}_1(0))\) — предкомпактно в \(Y\), где \(\bar{B}_1(0) = \{x \in X: \|x\| \leqslant 1\}\) — замкнутый шар радиуса 1 c центром в нуле.

Доказательство. В правую сторону: По определению: компактный оператор $$A$$ переводит ограниченное множество $$\bar{B}_1(0)$$ из $$X$$ в предкомпактное из $$Y$$.

В левую сторону: Рассмотрим $$M$$ — произвольное ограниченное множество из $$X$$, значит, существует число $$R > 0$$ такое, что $$M \subseteq B_R(0)$$. И любой элемент $$x$$ из $$M$$ можно представить в виде: $$x = R \cdot u$$, где $$u \in X; \|u\| \leqslant 1.$$

Из линейности оператора $$A$$ следует:\[A(B_R(0)) = \{A(Ru) : |u| \leqslant 1\} = \{R \cdot A(u) : |u| \leqslant 1\} = R \cdot A(B_1(0)),\] тогда как из условия помним, что $$A(\bar{B}_1(0))$$ — предкомпактно, значит, $$RA(\bar{B}_1(0)) = A(B_R)$$ — тоже предкомпактно.

Таким образом, $$A(M) \subseteq A(B_R(0))$$ — предкомпактно. \( \blacksquare \)

Следствие из теоремы 4. Для доказательства компактности оператора можно переписать Определение 2 в виде: оператор $$A: X \to Y$$ называют компактным, если множество \(A(\bar{B}_1(0))\) — предкомпактно в \(Y\). И проверять предкомпактность образа единичного шара \(A(\bar{B}_1(0))\) по теореме Арцела–Асколи.

Примеры вполне непрерывных (компактных) операторов в Гильбертовом пространстве

Пример 1. Если $$A$$ — вполне непрерывный, $$B$$ — ограниченный, то операторы $$AB$$ и $$BA$$ — вполне непрерывны.

Доказательство: Пусть $$M \subset H$$ — произвольное ограниченное множество.

Оператор $$BA$$: так как $$A$$ компактен, то множество $$A(M)$$ предкомпактно. Оператор $$B$$ ограничен, следовательно, $$B(A(M))$$ также предкомпактно, и $$BA$$ — компактен.

Оператор $$AB$$: $$B$$ — ограничен, значит, множество $$B(M)$$ также является ограниченным. И компактный $$A$$ переводит это ограниченное множество $$B(M)$$ в предкомпактное $$A(B(M))$$. Следовательно, $$AB$$ — компактен. \(\blacksquare\)

Пример 2. Конечномерные операторы.

Доказательство. Пусть $$A: H \to H$$ — конечномерный оператор. Тогда, его образ $$\text{im } A$$ является конечномерным подпространством в $$H$$.

Пусть $$M \subset H$$ — произвольное ограниченное множество. $$A$$ — ограничен, значит, множество $$A(M)$$ также ограничено. $$A(M)$$ лежит в конечномерном подпространстве, и по теореме Больцано–Вейерштрасса любое ограниченное множество в нём является предкомпактным. Следовательно, $$A$$ — компактный оператор. \(\blacksquare\)

Пример 3. $$H = l_2$$. Линейный оператор $$A$$ действует по правилу $$A(x_1, x_2, \dots) = (y_1, y_2, \dots)$$, где: \[y_i = \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j: \quad \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2 < \infty.\]

Доказательство.

Ограниченность: по неравенству Коши–Буняковского:\[|y_i|^2 = \left| \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j \right|^2 \leqslant \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2 \cdot \sum_{j=1}^\infty |x_j|^2 = \|x\|^2 \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2.\] Суммируя по $$i$$, получаем \(\|Ax\|^2 = \sum_{i=1}^\infty |y_i|^2 \leqslant \|x\|^2 \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2\). Таким образом, оператор ограничен и его норма \(\|A\| \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2}\).

Компактность: Рассмотрим последовательность конечномерных операторов $$A_n$$, для них матрица $$A = \{a_{ij}\}$$ обрезается до размера $$n \times n$$.

Так как \(\|A - A_n\|^2 \leqslant \sum_{i=n+1}^\infty \sum_{j=n+1}^\infty |a_{ij}|^2\), а правая часть неравенства, как хвост ряда, стремится к $$0$$ при $$n \to \infty$$, то $$A_n \to A$$ по норме.

По Теореме 2 и Примеру 2: предел по норме конечномерных (и, таким образом — компактных) операторов является компактным, то есть $$A$$ — компактен. \(\blacksquare\)

Пример 4. $$H = L_2[0, 1]$$. Оператор $$A$$ действует по правилу:\[(Ax)(t) = \int_{0}^{1} K(t, \tau) x(\tau) \, d\tau,\] где:\[\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau < \infty.\]

Доказательство.

Ограниченность: По неравенству Коши–Буняковского:\[|(Ax)(t)|^2 = \left| \int_{0}^{1} K(t, \tau) x(\tau) \, d\tau \right|^2 \leqslant \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, d\tau \cdot \int_{0}^{1} |x(\tau)|^2 \, d\tau.\] Интегрируя обе части по $$t$$:\[\|Ax\|^2 = \int_{0}^{1} |(Ax)(t)|^2 \, dt \leqslant \|x\|^2 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau.\]

Таким образом, оператор ограничен, и его норма \(\|A\| \leqslant \sqrt{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau}\).

Компактность: Воспользуемся теоремой Арцела–Асколи.

Равномерная ограниченность: Из доказательства ограниченности выше, для всех $$x: \|x\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant 1$$ существует постоянная $$C$$ такая, что $$\|Ax\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant C.$$

Равностепенная непрерывность. Снова применим неравенство Коши–Буняковского:\[ |(Ax)(t + h) - (Ax)(t)| = \left|\int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|x(\tau)d\tau\right| \leqslant \left(\int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau\right)^\frac{1}{2},\] после возведения в квадрат и интегрирования по $$t$$ получаем:\[ \|(Ax)(t + h) - (Ax)(t)\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant \int_{0}^1 \int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau dt \cdot \|u\|_{L_{(0,1)}^2}.\]

При этом: $$\lim \int_{0}^1 \int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau dt = 0$$ при $$h \to 0$$.

Таким образом, по теореме Арцела–Асколи получили, что $$\{Ax:\ \|x\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant 1\}$$ — предкомпактно в $$L_{(0,1)}^2$$, откуда по определению 2 и замечанию 3 получаем, что $$A$$ — компактен. \( \blacksquare \)

Список литературы

1. Полосин А. А. Лекции по функциональному анализу 2024-2025
2. Точилин П. А., Паршиков М. В. Семинарские занятия по функциональному анализу 2024-2025
3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. "Элементы функционального анализа." М: Наука, 1965.